解析幾何中的定值與定點問題近年高考中的熱點問題，其解決思路下；
（1）定值問題：[：解決這類問題時，要運用辯證的觀點，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性；
一種思路是進(jìn)行一般計算推理求出其結(jié)果，選定一個適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡整理求出結(jié)果；
另一種思路是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。
（2）定點問題：定點問題是動直線（或曲線）恒過某一定點的問題；一般方法是先將動直線（或曲線）用參數(shù)表示出來，再分析判斷出其所過的定點．定點問題的難點是動直線（或曲線）的表示，一旦表示出來，其所過的定點就一目了然了．所以動直線（或曲線）中，參數(shù)的選擇就至關(guān)重要．解題的關(guān)健在于尋找題中用來聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點的直線系、曲線系來解決。
二．解題策略
類型一 定值問題
【例1】（2020?青浦區(qū)一模）過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點作兩條相互垂直的弦AB和CD，則+的值為（ ）
A．B．C．2pD．
【舉一反三】
1.（2020?華陰市模擬）已知F是拋物線y2＝4x的焦點，過點F的直線與拋物線交于不同的兩點A，D，與圓（x﹣1）2+y2＝1交于不同的兩點B，C（如圖），則|AB|?|CD|的值是（ ）
A．2B．2C．1D．
2．（2020溫州高三月考）如圖，P為橢圓上的一動點，過點P作橢圓的兩條切線PA，PB，斜率分別為k1，k2．若k1?k2為定值，則λ＝（ ）
A．B．C．D．
3．（2020?公安縣高三模擬）已知橢圓的離心率為，三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，設(shè)它的三條邊AB、BC、AC的中點分別為D、E、F，且三條邊所在直線的斜率分別為k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直線OD、OE、OF的斜率之和為﹣1（O為坐標(biāo)原點），則＝ ．
類型二 定點問題
【例2】（2020?渝中區(qū)高三模擬）已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，A是拋物線C上異于坐標(biāo)原點的任意
一點，過點A的直線l交y軸的正半軸于點B，且A，B同在一個以F為圓心的圓上，另有直線l′∥l，且
l′與拋物線C相切于點D，則直線AD經(jīng)過的定點的坐標(biāo)是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）
【舉一反三】
1．（2020·全國高考模擬（理））已知拋物線，過點作該拋物線的切線，，切點為，，若直線恒過定點，則該定點為（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·重慶高考模擬（理））已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線為切點，則直線經(jīng)過定點.（ ）
A． B． C． D．
3．（2020大理一模）已知橢圓的左頂點為A，過A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點，直線AM、AN的斜率記為，滿足，則直線MN經(jīng)過的定點為___________．
三．強(qiáng)化訓(xùn)練
1．（2020·黑龍江高三模擬）直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，若直線的斜率，滿足，則的橫截距（ ）
A．為定值 B．為定值 C．為定值 D．不是定值
2．（2020·遼寧省朝陽市第二高級中學(xué)高二期中（文））如果直線（，）
和函數(shù)（，）的圖象恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020·全國高三模擬）過軸上的點的直線與拋物線交于兩點，若為定值，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C． D．
4．（2020?越城區(qū)高三期末）已知A、B是拋物線y2＝4x上異于原點O的兩點，則“?＝0”是“直線
AB恒過定點（4，0）”的（ ）
A．充分非必要條件B．充要條件
C．必要非充分條件D．非充分非必要條件
5．（2020·湖北高考模擬）設(shè)是雙曲線的左右焦點，點是右支上異于頂點的任意一點，是的角平分線，過點作的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點，則的長為（ ）
A．定值B．定值
C．定值D．不確定，隨點位置變化而變化
6．（2020·浙江省杭州第二中學(xué)高三）設(shè)點是圓上任意一點，若為定值，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·湖北高考模擬（理））已知圓： ，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線， 為切點，則直線經(jīng)過定點（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全國高三期末（理））已知圓O：，直線l：y=kx+b(k≠0)，l和圓O交于E，F(xiàn)兩點，以O(shè)x為始邊，逆時針旋轉(zhuǎn)到OE，OF為終邊的最小正角分別為α，β，給出如下3個命題：
①當(dāng)k為常數(shù)，b為變數(shù)時，sin(α＋β)是定值；
②當(dāng)k為變數(shù)，b為變數(shù)時，sin(α＋β)是定值；
③當(dāng)k為變數(shù)，b為常數(shù)時，sin(α＋β)是定值．
其中正確命題的個數(shù)是( )
A．0B．1C．2D．3
9．（2020·浙江高三期末）斜率為的直線過拋物線焦點，交拋物線于兩點，點為中點，作，垂足為，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．為定值B．為定值
C．點的軌跡為圓的一部分D．點的軌跡是圓的一部分
10．（2020·安徽高三月考（理））已知拋物線，圓，直線自上而下順次與上述兩曲線交于四點，則下列各式結(jié)果為定值的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2020·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高三月考（理））在平面直角坐標(biāo)系中，兩點間的“L-距離”定義為則平面內(nèi)與軸上兩個不同的定點的“L-距離”之和等于定值（大于）的點的軌跡可以是（ ）
A．B．C．D．
12．（2020·東北育才學(xué)校高三月考（理））有如下3個命題；
①雙曲線上任意一點到兩條漸近線的距離乘積是定值；
②雙曲線的離心率分別是，則是定值；
③過拋物線的頂點任作兩條互相垂直的直線與拋物線的交點分別是，則直線過定點；其中正確的命題有（ ）
A．3個B．2個C．1個D．0個
13．已知為坐標(biāo)原點，點在雙曲線（為正常數(shù)）上，過點作雙曲線的某一條漸近線的垂線，垂足為，則的值為（ ）
A．B．C．D．無法確定
【來源】四川省南充市2021屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題
14．已知、是雙曲線：的左、右兩個焦點，若雙曲線在第一象限上存在一點，使得，為坐標(biāo)原點，且，則的值為（ ）.
A．
B．
C．
D．
【來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考理數(shù)試題
15．已知，是雙曲線的焦點，是過焦點的弦，且的傾斜角為，那么的值為
A．16B．12C．8D．隨變化而變化
16．已知橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，，平分角，則與的面積之和為( )
A．1B．C．2D．3
【來源】中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期1月測試?yán)砦臄?shù)學(xué)（一卷）試題
17．已知橢圓的上頂點為為橢圓上異于A的兩點，且，則直線過定點（ ）
A．B．C．D．
18．已知橢圓，圓，過橢圓上任一與頂點不重合的點引圓的兩條切線，切點分別為，直線與軸，軸分別交于點，則（ ）
A．B．C．D．
【來源】安徽省宣城市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試題
19．已知橢圓的左右頂點分別為，過軸上點作一直線與橢圓交于兩點（異于），若直線和的交點為，記直線和的斜率分別為，則（ ）
A．B．3C．D．2
【來源】湖北省“大課改、大數(shù)據(jù)、大測評”2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題
20.（2020·北京市第二中學(xué)分校高三（理））拋物線上兩個不同的點，，滿足，則直線一定過定點，此定點坐標(biāo)為__________．
21．（2020·江蘇揚州中學(xué)高三月考）已知點，圓點是圓上任意一點，若為定值，則________.
22．（2020·江蘇海安高級中學(xué)高三）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為y軸上的一個定點．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長為_____．
23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓上一點，點B是橢圓上任意一點（異于點A），過點B作與直線OA平行的直線交橢圓于點C，當(dāng)直線AB、AC斜率都存在時，=___________.
24．（2020·河北定州一中高三月考）為圓上任意一點，異于點的定點滿足為常數(shù)，則點的坐標(biāo)為______．
25．（2020·上海長島中學(xué)高三）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，、是雙曲線上的兩個動點，動點滿足，直線與直線斜率之積為2，已知平面內(nèi)存在兩定點、，使得為定值，則該定值為________
26．（2020·江蘇高三月考）橢圓：的左頂點為，點是橢圓上的兩個動點，若直線 的斜率乘積為定值，則動直線恒過定點的坐標(biāo)為__________．
27．已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線相交于、兩點，若以線段為直徑的圓過定點，則______．
【來源】金科大聯(lián)考2020屆高三5月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）試題
28．雙曲線的左右頂點為，以為直徑作圓，為雙曲線右支上不同于頂點的任一點，連接交圓于點，設(shè)直線的斜率分別為，若，則_____.
29．過雙曲線的右焦點的直線交雙曲線于、兩點，交軸于點，若，，規(guī)定，則的定值為.類比雙曲線這一結(jié)論，在橢圓中，的定值為________.
【來源】貴州省銅仁市思南中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題
30．若M，P是橢圓兩動點，點M關(guān)于x軸的對稱點為N，若直線PM，PN分別與x軸相交于不同的兩點A(m，0)，B(n，0)，則mn=_________.
【來源】四川省資陽市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)文科試題
31．橢圓：的左頂點為，點是橢圓上的兩個動點，若直線 的斜率乘積為定值，則動直線恒過定點的坐標(biāo)為__________．
第19講 解析幾何中的定值與定點問題
一．方法綜述
解析幾何中的定值與定點問題近年高考中的熱點問題，其解決思路下；
（1）定值問題：[：解決這類問題時，要運用辯證的觀點，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性；
一種思路是進(jìn)行一般計算推理求出其結(jié)果，選定一個適合該題設(shè)的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質(zhì)，再用韋達(dá)定理，點差法等導(dǎo)出所求定值關(guān)系所需要的表達(dá)式，并將其代入定值關(guān)系式，化簡整理求出結(jié)果；
另一種思路是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或三角形式，證明該式是恒定的。
（2）定點問題：定點問題是動直線（或曲線）恒過某一定點的問題；一般方法是先將動直線（或曲線）用參數(shù)表示出來，再分析判斷出其所過的定點．定點問題的難點是動直線（或曲線）的表示，一旦表示出來，其所過的定點就一目了然了．所以動直線（或曲線）中，參數(shù)的選擇就至關(guān)重要．解題的關(guān)健在于尋找題中用來聯(lián)系已知量，未知量的垂直關(guān)系、中點關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關(guān)系，通過整理，變形轉(zhuǎn)化為過定點的直線系、曲線系來解決。
二．解題策略
類型一 定值問題
【例1】（2020?青浦區(qū)一模）過拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點作兩條相互垂直的弦AB和CD，則+的值為（ ）
A．B．C．2pD．
【答案】D
【解析】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標(biāo)為（），所以設(shè)經(jīng)過焦點直線AB的方程為y＝k（x﹣），
所以，整理得，設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），
所以，所以，
同理設(shè)經(jīng)過焦點直線CD的方程為y＝﹣（x﹣），
所以，整理得，
所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，
則則+＝．故選：D．
【點評】求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
【舉一反三】
1.（2020?華陰市模擬）已知F是拋物線y2＝4x的焦點，過點F的直線與拋物線交于不同的兩點A，D，與圓（x﹣1）2+y2＝1交于不同的兩點B，C（如圖），則|AB|?|CD|的值是（ ）
A．2B．2C．1D．
【答案】C
【解析】設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），
拋物線方程為y2＝4x的焦點為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，
圓（x﹣1）2+y2＝1的圓心為F（1，0），
圓心與焦點重合，半徑為1，
又由直線過拋物線的焦點F，
則|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，
即有|AB|?|CD|＝x1x2，
設(shè)直線方程為x＝my+1，代入拋物線方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，
則y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故選：C．
2．（2020溫州高三月考）如圖，P為橢圓上的一動點，過點P作橢圓的兩條切線PA，PB，斜率分別為k1，k2．若k1?k2為定值，則λ＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取P（a，0），設(shè)切線方程為：y＝k（x﹣a），
代入橢圓橢圓方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，
令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，
化為：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，
∴k1?k2＝，
取P（0，b），設(shè)切線方程為：y＝kx+b，
代入橢圓橢圓方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，
令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，
化為：λa2k2＝b2（1﹣λ），
∴k1?k2＝，
又k1?k2為定值，
∴＝，
解得λ＝．故選：C．
3．（2020?公安縣高三模擬）已知橢圓的離心率為，三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，設(shè)它的三條邊AB、BC、AC的中點分別為D、E、F，且三條邊所在直線的斜率分別為k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直線OD、OE、OF的斜率之和為﹣1（O為坐標(biāo)原點），則＝ ．
【答案】2
【解析】∵橢圓的離心率為，
∴，則，得．
又三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，
三條邊AB、BC、AC的中點分別為D、E、F，三條邊所在直線的斜率分別為k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不為0．
O為坐標(biāo)原點，直線OD、OE、OF的斜率之和為﹣1，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
則，，
兩式作差得，，
則，即，
同理可得，．
∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．
類型二 定點問題
【例2】（2020?渝中區(qū)高三模擬）已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，A是拋物線C上異于坐標(biāo)原點的任意
一點，過點A的直線l交y軸的正半軸于點B，且A，B同在一個以F為圓心的圓上，另有直線l′∥l，且
l′與拋物線C相切于點D，則直線AD經(jīng)過的定點的坐標(biāo)是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）
【答案】A
【解析】設(shè)A（m，m2），B（0，n），
∵拋物線C：x2＝4y的焦點為F（0，1）
又A，B同在一個以F為圓心的圓上，
∴|BF|＝|AF|
∴n﹣1＝＝m2+1
∴n＝m2+2
∴直線l的斜率k＝＝﹣
∵直線l′∥l，
∴直線l′的斜率為k，
設(shè)點D（a，a2），
∵y＝x2，∴y′＝x，
∴k＝a，∴a＝﹣，
∴a＝﹣
∴直線AD的斜率為＝＝＝，
∴直線AD的方程為y﹣m2＝（x﹣m），
整理可得y＝x+1，
故直線AD經(jīng)過的定點的坐標(biāo)是（0，1），故選：A．
【點評】圓錐曲線中定點問題的兩種解法
(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點．
(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān)．
【舉一反三】
1．（2020·全國高考模擬（理））已知拋物線，過點作該拋物線的切線，，切點為，，若直線恒過定點，則該定點為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)的坐標(biāo)為，
，，
的方程為，
由，，可得，
切線都過點
，，
故可知過，兩點的直線方程為，
當(dāng)時，
直線恒過定點，故選
2．（2020·重慶高考模擬（理））已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線為切點，則直線經(jīng)過定點.（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)是圓的切線，
是圓與以為直徑的兩圓的公共弦，
可得以為直徑的圓的方程為， ①
又 ， ②
①-②得，
可得滿足上式，即過定點，故選B.
3．（2020大理一模）已知橢圓的左頂點為A，過A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點，直線AM、AN的斜率記為，滿足，則直線MN經(jīng)過的定點為___________．
【答案】
【解析】 由，
同理．
，,
取，由對稱性可知，直線MN經(jīng)過軸上的定點.
【歸納總結(jié)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓上一定點A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點，直線AM、AN的斜率記為，當(dāng)為非零常數(shù)時，直線MN經(jīng)過定點.
三．強(qiáng)化訓(xùn)練
1．（2020·黑龍江高三模擬）直線與拋物線交于兩點，為坐標(biāo)原點，若直線的斜率，滿足，則的橫截距（ ）
A．為定值 B．為定值 C．為定值 D．不是定值
【答案】A
【解析】設(shè)直線的方程為，由題意得，則得；
設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)為，，則得，；
又因為，即，
所以 ，
則得，直線的方程為；
當(dāng)時，，所以直線的橫截距為定值.故選A.
2．（2020·遼寧省朝陽市第二高級中學(xué)高二期中（文））如果直線（，）
和函數(shù)（，）的圖象恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)，恒過定點.
將點代入，可得.
由于始終落在所給圓的內(nèi)部或圓上，所以.
又由解得或，所以點在以和為端點的線段上運動，
當(dāng)取點時，，取點時，，所以的取值范圍是.
3．（2020·全國高三模擬）過軸上的點的直線與拋物線交于兩點，若為定值，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)直線的方程為，代入，得，
設(shè)，則.
，
同理，，
∴
，∵為定值，
是與無關(guān)的常數(shù)，∴．故選D．
4．（2020?越城區(qū)高三期末）已知A、B是拋物線y2＝4x上異于原點O的兩點，則“?＝0”是“直線
AB恒過定點（4，0）”的（ ）
A．充分非必要條件B．充要條件
C．必要非充分條件D．非充分非必要條件
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，A、B是拋物線y2＝4x上異于原點O的兩點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
若“?＝0”，則設(shè)直線AB方程為x＝my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4b＝0，則y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4b，
若?＝0，則?＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝b2﹣4b＝0，
解可得：b＝4或b＝0，又由b≠0，則b＝4，
則直線AB的方程為x＝my+4，即my＝x﹣4，則直線AB恒過定點（4，0），
“?＝0”是“直線AB恒過定點（4，0）”的充分條件；
反之：若直線AB恒過定點（4，0），設(shè)直線AB的方程為x＝my+4，
將直線AB方程代入拋物線方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣16＝0，則有y1y2＝﹣16，
此時?＝x1x2+y1y2＝（）+y1y2＝+y1y2＝0，
故“?＝0”是“直線AB恒過定點（4，0）”的必要條件；
綜合可得：“?＝0”是“直線AB恒過定點（4，0）”的充要條件；故選：B．
5．（2020·湖北高考模擬）設(shè)是雙曲線的左右焦點，點是右支上異于頂點的任意一點，是的角平分線，過點作的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點，則的長為（ ）
A．定值B．定值
C．定值D．不確定，隨點位置變化而變化
【答案】A
【解析】依題意如圖，延長F1Q，交PF2于點T，
∵是∠F1PF2的角分線．TF1是的垂線，
∴是TF1的中垂線，∴|PF1|＝|PT|，
∵P為雙曲線1上一點，
∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∴|TF2|＝2a，
在三角形F1F2T中，QO是中位線，
∴|OQ|＝a．
故選：A．
6．（2020·浙江省杭州第二中學(xué)高三）設(shè)點是圓上任意一點，若為定值，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
直線與圓相切時，，，
當(dāng)時，圓在直線上方，，當(dāng)時，圓在直線下方，，
若為定值，則，因此．只有D滿足．
故選：D.
7．（2020·湖北高考模擬（理））已知圓： ，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線， 為切點，則直線經(jīng)過定點（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)
則
即
因此、在直線上，直線方程為，
又，所以
即，直線經(jīng)過定點，選A.
8．（2020·全國高三期末（理））已知圓O：，直線l：y=kx+b(k≠0)，l和圓O交于E，F(xiàn)兩點，以O(shè)x為始邊，逆時針旋轉(zhuǎn)到OE，OF為終邊的最小正角分別為α，β，給出如下3個命題：
①當(dāng)k為常數(shù)，b為變數(shù)時，sin(α＋β)是定值；
②當(dāng)k為變數(shù)，b為變數(shù)時，sin(α＋β)是定值；
③當(dāng)k為變數(shù)，b為常數(shù)時，sin(α＋β)是定值．
其中正確命題的個數(shù)是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】設(shè)點，，由三角函數(shù)的定義得
將直線的方程與的方程聯(lián)立
得，
由韋達(dá)定理得
所以
因此，當(dāng)是常數(shù)時，是常數(shù)，故選B(特值法可秒殺)
9．（2020·浙江高三期末）斜率為的直線過拋物線焦點，交拋物線于兩點，點為中點，作，垂足為，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．為定值B．為定值
C．點的軌跡為圓的一部分D．點的軌跡是圓的一部分
【答案】C
【解析】設(shè)拋物線上兩點坐標(biāo)分別為，則兩式做差得，，
整理得為定值，所以A正確.
因為焦點，所以直線AB方程為.由得，則
.
為定值.故B正確.
點的軌跡是以O(shè)F為直徑的圓的一部分，故D正確.
本題選擇C選項.
10．（2020·安徽高三月考（理））已知拋物線，圓，直線自上而下順次與上述兩曲線交于四點，則下列各式結(jié)果為定值的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
由消去y整理得，
設(shè)，則．
過點分別作直線的垂線，垂足分別為，
則．
對于A，
，不為定值，故A不正確．
對于B，，不為定值，故B不正確．
對于C，，為定值，故C正確．
對于D，，不為定值，故D不正確．選C．
11．（2020·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高三月考（理））在平面直角坐標(biāo)系中，兩點間的“L-距離”定義為則平面內(nèi)與軸上兩個不同的定點的“L-距離”之和等于定值（大于）的點的軌跡可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，再設(shè)動點，動點到定點的“L-距離”之和等于，由題意可得：，即，
當(dāng)時，方程化為；
當(dāng)時，方程化為；
當(dāng)時，方程化為；
當(dāng)時，方程化為；
當(dāng)時，方程化為；
當(dāng)時，方程化為；
結(jié)合題目中給出四個選項可知，選項A中的圖象符合要求，故選A．
12．（2020·東北育才學(xué)校高三月考（理））有如下3個命題；
①雙曲線上任意一點到兩條漸近線的距離乘積是定值；
②雙曲線的離心率分別是，則是定值；
③過拋物線的頂點任作兩條互相垂直的直線與拋物線的交點分別是，則直線過定點；其中正確的命題有（ ）
A．3個B．2個C．1個D．0個
【答案】A
【解析】①雙曲線（a＞0，b＞0）上任意一點P，設(shè)為（m，n），
兩條漸近線方程為y=±x，可得兩個距離的乘積為?=，
由b2m2﹣a2n2=a2b2，可得兩個距離乘積是定值；
②雙曲線=1與（a＞0，b＞0）的離心率分別是e1，e2，即有e12=，e22=，可得為定值1；
③過拋物線x2=2py（p＞0）的頂點任作兩條互相垂直的直線與拋物線的交點分別是A，B，可設(shè)A（s，），B（t，），由OA⊥OB可得st+=0，即有st=﹣4p2，
kAB==，可得直線AB的方程為y﹣=（x﹣s），即為y=x+2p，
則直線AB過定點（0，2p）．三個命題都正確．故選A．
13．已知為坐標(biāo)原點，點在雙曲線（為正常數(shù)）上，過點作雙曲線的某一條漸近線的垂線，垂足為，則的值為（ ）
A．B．C．D．無法確定
【來源】四川省南充市2021屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題
【答案】A
【解析】設(shè)，即有，雙曲線的漸近線為，可得 ，由勾股定理可得 ，
可得 ．
故選：A．
14．已知、是雙曲線：的左、右兩個焦點，若雙曲線在第一象限上存在一點，使得，為坐標(biāo)原點，且，則的值為（ ）.
A．
B．
C．
D．
【來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考理數(shù)試題
【答案】C
【解析】，，∴，，，
設(shè)點，
，
∴，，
則，，
∴，∴，
故選：C.
15．已知，是雙曲線的焦點，是過焦點的弦，且的傾斜角為，那么的值為
A．16B．12C．8D．隨變化而變化
【答案】A
【解析】由雙曲線方程知，，雙曲線的漸近線方程為
直線的傾斜角為，所以，又直線過焦點，如圖
所以直線與雙曲線的交點都在左支上.
由雙曲線的定義得，…………(1)，
…………(2)
由(1)+(2)得，.
故選：A
16．已知橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，，平分角，則與的面積之和為( )
A．1B．C．2D．3
【來源】中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期1月測試?yán)砦臄?shù)學(xué)（一卷）試題
【答案】C
【解析】如圖，橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，作一圓與線段F1P，F(xiàn)1F2的延長線都相切，并且與線段PF2也相切，切點分別為D，A，B，
，
，
所以(c為橢圓半焦距)，從而點A為橢圓長軸端點，即圓心M的軌跡是直線x=a(除點A外).
因點M(2,1)在的平分線上，且橢圓右端點A(2,0)，所以點M是上述圓心軌跡上的點，即點M到直線F1P，PF2，F(xiàn)1F2的距離都相等，且均為1，
與的面積之和為.
故選：C
17．已知橢圓的上頂點為為橢圓上異于A的兩點，且，則直線過定點（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)直線的方程為，，則由
整理得，
所以，
，
因為，，，
所以
解得或，
當(dāng)時，直線的方程為，直線過點而，而不在同一直線上，不合題意；
當(dāng)時，直線的方程為，直線過，符合題意.
故選：D.
18．已知橢圓，圓，過橢圓上任一與頂點不重合的點引圓的兩條切線，切點分別為，直線與軸，軸分別交于點，則（ ）
A．B．C．D．
【來源】安徽省宣城市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試題
【答案】D
【解析】設(shè)，則
切線的方程為，切線的方程為，
因為點在切線上，
所以，，
所以直線的方程為，
所以，
因為點在橢圓上，
所以，
所以，
故選：D
19．已知橢圓的左右頂點分別為，過軸上點作一直線與橢圓交于兩點（異于），若直線和的交點為，記直線和的斜率分別為，則（ ）
A．B．3C．D．2
【來源】湖北省“大課改、大數(shù)據(jù)、大測評”2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題
【答案】A
【解析】設(shè)，，，設(shè)直線的方程：
由和三點共線可知 ，
解得：
，，（*）
聯(lián)立 ，得，
，
，
代入（*）得，
， ，.
故選：A
20.（2020·北京市第二中學(xué)分校高三（理））拋物線上兩個不同的點，，滿足，則直線一定過定點，此定點坐標(biāo)為__________．
【答案】.
【解析】設(shè)直線的方程為代入拋物線，消去得,
設(shè)，，則，，
∴
，
∴（舍去）或,
故直線過定點．
21．（2020·江蘇揚州中學(xué)高三月考）已知點，圓點是圓上任意一點，若為定值，則________.
【答案】0
【解析】設(shè)，，則，
整理得，
又是圓上的任意一點，故，
圓的一般方程為，因此，
，解得.
22．（2020·江蘇海安高級中學(xué)高三）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為y軸上的一個定點．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長為_____．
【答案】
【解析】設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），則
∵∠APB的大小恒為定值，
∴t＝，∴|OP|=．故答案為
23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓上一點，點B是橢圓上任意一點（異于點A），過點B作與直線OA平行的直線交橢圓于點C，當(dāng)直線AB、AC斜率都存在時，=___________.
【答案】0
【解析】取特殊點B，則BC的方程為，由得C
所以.
24．（2020·河北定州一中高三月考）為圓上任意一點，異于點的定點滿足為常數(shù)，則點的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】設(shè)，則，可得，①
，②
由①②得，
可得，解得，
點坐標(biāo)為，故答案為.
25．（2020·上海長島中學(xué)高三）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，、是雙曲線上的兩個動點，動點滿足，直線與直線斜率之積為2，已知平面內(nèi)存在兩定點、，使得為定值，則該定值為________
【答案】
【解析】設(shè)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
則由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），
即x=2x1-x2，y=2y1-y2，
∵點M，N在雙曲線上，所以，，
故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），
設(shè)k0M，kON分別為直線OM，ON的斜率，根據(jù)題意可知k0MkON=2，
∴y1y2-2 x1x2=0，
∴2x2-y2=20，
所以P在雙曲線2x2-y2=20上；
設(shè)該雙曲線的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，
由雙曲線的定義可推斷出為定值，該定值為
26．（2020·江蘇高三月考）橢圓：的左頂點為，點是橢圓上的兩個動點，若直線 的斜率乘積為定值，則動直線恒過定點的坐標(biāo)為__________．
【答案】
【解析】當(dāng)直線BC的斜率存在時，設(shè)直線BC的方程為y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，
又A（﹣2，0），由題知kAB?kAC==﹣，
則（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，
則x1?x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4
=+（2+4km）+4m2+4=0
則m2﹣km﹣2k2=0，
∴（m﹣2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=﹣k．
當(dāng)m=2k時，直線BC的方程為y=kx+2k=k（x+2）．
此時直線BC過定點（﹣2，0），顯然不適合題意．
當(dāng)m=﹣k時，直線BC的方程為y=kx﹣k=k（x﹣1），此時直線BC過定點（1，0）．
當(dāng)直線BC的斜率不存在時，若直線BC過定點（1，0），B、C點的坐標(biāo)分別為（1，），（1，﹣），滿足kAB?kAC=﹣．
綜上，直線BC過定點（1，0）．
故答案為：（1，0）．
27．已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與雙曲線相交于、兩點，若以線段為直徑的圓過定點，則______．
【來源】金科大聯(lián)考2020屆高三5月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）試題
【答案】3
【解析】點的坐標(biāo)為，雙曲線的方程可化為，
①當(dāng)直線的斜率不存在時，點、的坐標(biāo)分別為、，
此時以線段為直徑的圓的方程為；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)點、的坐標(biāo)分別為，，
記雙曲線的左頂點的坐標(biāo)為，直線的方程為，
聯(lián)立方程，
消去后整理為，
,即時，
有，
，
，
，，
．
故以線段為直徑的圓過定點，．
28．雙曲線的左右頂點為，以為直徑作圓，為雙曲線右支上不同于頂點的任一點，連接交圓于點，設(shè)直線的斜率分別為，若，則_____.
【答案】
【解析】設(shè)
，
交圓于點，所以
易知:
即.
故答案為：
29．過雙曲線的右焦點的直線交雙曲線于、兩點，交軸于點，若，，規(guī)定，則的定值為.類比雙曲線這一結(jié)論，在橢圓中，的定值為________.
【來源】貴州省銅仁市思南中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題
【答案】
【解析】如圖，設(shè)橢圓的右焦點為，過點的直線為，代入橢圓的方程得：，
設(shè)，，則，，
過點分別作軸的垂線，垂足為，則，，
所以
將，代入化簡得：.
故答案為：.
30．若M，P是橢圓兩動點，點M關(guān)于x軸的對稱點為N，若直線PM，PN分別與x軸相交于不同的兩點A(m，0)，B(n，0)，則mn=_________.
【來源】四川省資陽市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)文科試題
【答案】4
【解析】
設(shè)，則，，則，
所以
直線的方程為，令可得
同理有
直線的方程為，令可得
則
31．橢圓：的左頂點為，點是橢圓上的兩個動點，若直線 的斜率乘積為定值，則動直線恒過定點的坐標(biāo)為__________．
【答案】
【解析】當(dāng)直線BC的斜率存在時，設(shè)直線BC的方程為y=kx+m，
由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，
又A（﹣2，0），由題知kAB?kAC==﹣，
則（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，
則x1?x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）
=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4
=+（2+4km）+4m2+4=0
則m2﹣km﹣2k2=0，
∴（m﹣2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=﹣k．
當(dāng)m=2k時，直線BC的方程為y=kx+2k=k（x+2）．
此時直線BC過定點（﹣2，0），顯然不適合題意．
當(dāng)m=﹣k時，直線BC的方程為y=kx﹣k=k（x﹣1），此時直線BC過定點（1，0）．
當(dāng)直線BC的斜率不存在時，若直線BC過定點（1，0），B、C點的坐標(biāo)分別為（1，），（1，﹣），滿足kAB?kAC=﹣．
綜上，直線BC過定點（1，0）．
故答案為（1，0）．

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