?專題13 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題
【壓軸綜述】
縱觀近幾年的高考試題，高考對圓錐曲線的考查，一般設(shè)置一大一小兩道題目，主要考查以下幾個方面：一是考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義，與橢圓的焦點(diǎn)三角形結(jié)合，解決橢圓、三角形等相關(guān)問題；二是考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合基本量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；三是考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，小題較多地考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)；四是考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系問題，綜合性較強(qiáng)，往往與向量結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長問題、不等式、范圍、最值、定值、定點(diǎn)、定直線、存在性和探索性問題等.
本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)說明求解定點(diǎn)、定值、定直線問題.
一、定點(diǎn)問題
1.求解(或證明)直線和曲線過定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x，y視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)．
2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).
二、定值問題
1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：
（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示
（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡，看能否得到一個常數(shù).
2. 定值問題的處理技巧：
（1）對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個方向.
（2）在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏
（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算
三、定直線問題
定直線問題是證明動點(diǎn)在 定直線上，其實質(zhì)是求動點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為 求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．
【壓軸典例】
1．（2021·上海高三專題練習(xí)）若AB是過橢圓中心的一條弦，M是橢圓上任意一點(diǎn)，且AM?BM與兩坐標(biāo)軸均不平行，kAM?kBM分別表示直線AM?BM的斜率，則kAM·kBM=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】設(shè)，，，，則，，則,，在橢圓上，，，兩式相減得，即，所以，所以，
即.
2．（2020·江蘇鎮(zhèn)江市·高三期中）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用.直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，恰好是 的“勾”“股”（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則此直線恒過定點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設(shè)直線的方程為，，，由 得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，若，恰好是 的“勾”“股”（為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得，所以，即，所以，，
所以，即，解得或（舍）所以直線的方程為，恒過點(diǎn)，
3．（2020·全國高三專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線：相切于點(diǎn)、，的中點(diǎn)為，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．直線過定點(diǎn)；
B．的斜率不存在；
C．軸上存在一點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對稱；
D．、兩點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)和為定值.
【答案】A
【詳解】設(shè)，，∵，∴，∴過點(diǎn)的切線方程為，即，∴，同理過點(diǎn)的切線方程為，將分別代入上式，得，，∴直線的方程為，∴直線過定點(diǎn)，故A選項錯誤，符合題意；
聯(lián)立方程得：，，則，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴軸，故B選項正確，不符合題意；設(shè)，由題意得，，設(shè)直線、的斜率分別為、，
則，當(dāng)時，，即直線與直線關(guān)于軸對稱，C選項正確，不符合題意；∵點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
∴，D選項正確，不符合題意.
4.(2020·全國卷Ⅰ高考文科·T21)已知A,B分別為橢圓E:+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),·=8,P為直線x=6上的動點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.
(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過定點(diǎn).
【解析】(1)依據(jù)題意作圖如圖所示:

由題設(shè)得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).則=(a,1),=(a,-1).由·=8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程為+y2=1.
(2)設(shè)P,則直線AP的方程為:y=,即:y=,聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得:整理得:x2+6x+9-81=0,解得:x=-3或x=,
將x=代入直線y=可得:y=,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
同理可得:點(diǎn)D的坐標(biāo)為,
所以直線CD的方程為:y-=,
整理可得:y+==,
整理得:y=x+=故直線CD過定點(diǎn).
5.(2020·新高考全國Ⅰ卷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,且過點(diǎn)A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.
【解析】(1)由題意得+=1,=,解得a2=6,b2=3.所以C的方程為+=1.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).若直線MN與x軸不垂直,設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,代入+=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.于是x1+x2=-,x1x2=.①,由AM⊥AN知·=0,
故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.將①代入上式可得(k2+1)-(km-k-2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因為A(2,1)不在直線MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1(A(2,1)不在直線MN上).于是MN的方程為y=k-(k≠1).所以直線MN過點(diǎn)P.若直線MN與x軸垂直,可得N(x1,-y1).由·=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又+=1,可得3-8x1+4=0.解得x1=2(舍去),x1=.此時直線MN過點(diǎn)P.令Q為AP的中點(diǎn),即Q.若D與P不重合,則由題設(shè)知AP是Rt△ADP的斜邊,
故|DQ|=|AP|=.若D與P重合,則|DQ|=|AP|.綜上,存在點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.
6.(2020·北京高考·T20)已知橢圓C:+=1過A(-2,-1),且a=2b.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)B(-4,0)作直線l與C交于M,N,MA與NA與x=-4交于P,Q,求.
【解析】(1)由已知得,+=1,a=2b,所以a2=8,b2=2,所以橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),顯然MN斜率存在,設(shè)為k,則MN:y=k(x+4),

由得(1+4k2)x2+32k2x+64k2-8=0,所以x1+x2=-,x1x2=,*
AM方程為y+1=(x+2),又y1=k(x1+4),令x=-4得,yP=-,同理,yQ=-,所以===,結(jié)合*知,x1x2+2(x1+x2)+8==-(x1+x2),
所以===1,與M,N順序無關(guān),所以=1.
7．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三一模）已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為.
（1）求動點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，直線，分別交軸于點(diǎn)，.試問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn).
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，化簡得
故動點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組，得，
得: 或
，.設(shè)，定點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為
.
則,令，求出與軸的交點(diǎn)


即有:
即,




,即
當(dāng)直線與軸重合時，
解得所以存在定點(diǎn)，的坐標(biāo)為.
例8.（2019·全國高考真題）已知曲線，為直線上的動點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.
（1）證明：直線過定點(diǎn)：
（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的方程.
【答案】(1)見詳解；(2) 或.
【解析】
(1)證明：設(shè),,則.又因為，所以.則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點(diǎn)，而兩個不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時等式恒成立.所以直線恒過定點(diǎn).
(2)由(1)得直線方程為，和拋物線方程聯(lián)立得：
化簡得.于,設(shè)為線段的中點(diǎn)，則由于，而,與向量平行，所以，解得或.
當(dāng)時，，所求圓的方程為;
當(dāng)時，或，所求圓的方程為.
所以圓的方程為或.
例9．（2019·全國高考真題）已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，│AB│ =4，⊙M過點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切．
（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑．
（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動時，│MA│－│MP│為定值？并說明理由．
【答案】（1）或；（2）見解析.
【解析】（1）在直線上,設(shè)，則,又,，解得：,過點(diǎn)，,圓心必在直線上,設(shè)，圓的半徑為
與相切,,又，即
，解得：或,當(dāng)時，；當(dāng)時，的半徑為：或
（2）存在定點(diǎn)，使得,說明如下：
，關(guān)于原點(diǎn)對稱且
直線必為過原點(diǎn)的直線，且
①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程為：,則的圓心必在直線上
設(shè)，的半徑為,與相切,
又，整理可得：,即點(diǎn)軌跡方程為：，準(zhǔn)線方程為：，焦點(diǎn)
，即拋物線上點(diǎn)到的距離, ,
當(dāng)與重合，即點(diǎn)坐標(biāo)為時，
②當(dāng)直線斜率不存在時，則直線方程為：,在軸上，設(shè)
，解得：，即若，則
綜上所述，存在定點(diǎn)，使得為定值.
例10.（2019·全國高考真題（理））已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.
（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：
（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.
【答案】(1)見詳解；(2) 3或.
【解析】(1)證明：設(shè),,則.又因為，所以.則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點(diǎn)，而兩個不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，
當(dāng)時等式恒成立.所以直線恒過定點(diǎn).
（2）由（1）得直線的方程為.由，可得，
于是
.設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則，
由于，而，與向量平行，所以，解得或.當(dāng)時，；當(dāng)時
因此，四邊形的面積為3或.
【壓軸訓(xùn)練】
1．（2021·上海高三專題練習(xí)）已知，是雙曲線的焦點(diǎn)，是過焦點(diǎn)的弦，且的傾斜角為，那么的值為( )
A．16 B．12 C．8 D．隨變化而變化
【答案】A
【詳解】由雙曲線方程知，，雙曲線的漸近線方程為,直線的傾斜角為，所以，又直線過焦點(diǎn)，如圖,所以直線與雙曲線的交點(diǎn)都在左支上.由雙曲線的定義得，…………(1)，
…………(2),由(1)+(2)得，.

2．（2021·安徽高三一模）已知F1?F2為雙曲線=1(a>0，b>0)的左?右焦點(diǎn)，過F2作傾斜角為60°的直線l交雙曲線右支于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，則的內(nèi)切圓半徑r1與的內(nèi)切圓半徑r2之比為___________.
【答案】
【詳解】由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，的內(nèi)切圓和的內(nèi)切圓都與軸相切于雙曲線的右頂點(diǎn)，可知三點(diǎn)共線.連接交于點(diǎn)，如圖：

直線l的傾斜角為60°，所以，，在與中，
則，則為
3．（2020·全國高三其他模擬）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，則______．
【答案】3
【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線的方程可化為，
①當(dāng)直線的斜率不存在時，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，此時以線段為直徑的圓的方程為；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，記雙曲線的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立方程，消去后整理為，,
即時，有，
，
，，
．故以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，．
4．（2020·仙居縣文元橫溪中學(xué)高三）已知雙曲線，點(diǎn)，在雙曲線上任取兩點(diǎn)、滿足，則直線恒過定點(diǎn)__________；
【答案】
【詳解】設(shè)的方程為,則由.
設(shè),則是該方程的兩根,∴,.
又,,故,∴,
又,,∴,
代入,得：

整理得：,∴,
∴或.當(dāng)時,過與題意不符,故舍去。當(dāng)時,過定點(diǎn).
5．（2020·哈爾濱市第一中學(xué)校高三）已知拋物線，過定點(diǎn)作一弦，則______．
【答案】
【詳解】直線的斜率不存在時，的方程為，代入，解得，，從而．直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，代入中，消去得，
設(shè)，，則，，則有
，從而
．
綜上，．
6．（2021·四川高三月考）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．
（1）證明為定值，并寫曲線的方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得對任意實數(shù)，直線，的斜率乘積為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明見解析；；（2）存在，定點(diǎn)或者.
【詳解】因為，兩邊平方得．
而，且，從而，
即，所以，從而的軌跡方程為．
設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，記，．由消去，
得．顯然其判別式，所以，，
于是

．上式為定值，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或．此時，或．從而，存在定點(diǎn)或者滿足條件．
7．（2021·江蘇鹽城市·高三一模）設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)B為橢圓C的上頂點(diǎn)，求直線的方程；
（2）設(shè)直線的斜率分別為，，求證：為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【詳解】（1）若B為橢圓的上頂點(diǎn)，則.又過點(diǎn)，故直線
由可得，解得即點(diǎn)，又，故直線.
（2）設(shè)，
方法一：
設(shè)直線，代入橢圓方程可得：.
所以.故
.又均不為0，故，即為定值
方法二：
設(shè)直線，代入橢圓方程可得：.
所以.所以，即，
所以，
即為定值.
方法三：
設(shè)直線，代入橢圓方程可得：.
所以，所以.
所以，
把代入得.
方法四：
設(shè)直線，代入橢圓的方程可得，
則.
所以.
因為，
代入得.
8．（2021·河南高三月考）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么樣的曲線；
（2）設(shè)，是曲線上的兩個動點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，.
①求證：點(diǎn)在定直線上；
②求證：直線與直線的斜率之積為定值.
【答案】（1），曲線為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含，兩點(diǎn)；（2）①證明見解析；②證明見解析.
【詳解】
（1）解：由題意，得，化簡，得，
所以曲線為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含，兩點(diǎn).
（2）證明：①由題設(shè)知，直線，的斜率存在且均不為0.設(shè)直線的方程為，由，可知直線的斜率為，方程為.
由得，解得，則，即.
直線的斜率為，則直線的方程為，將代入，解得，故點(diǎn)在直線上.
②由（1），得，，
所以.
結(jié)合，得為定值.即直線與直線的斜率之積為定值.
9．（2021·山東威海市·高三期末）已知橢圓的離心率為分別是它的左、右頂點(diǎn)，是它的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與交于(異于)兩點(diǎn)，當(dāng)軸時，的面積為.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，求證:點(diǎn)在定直線上.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【詳解】（1）由題意知，所以，又，所以
當(dāng)軸時，的面積為，所以,解得
所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為，
與橢圓聯(lián)立，得.顯然恒成立.
設(shè)，所以有
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立兩方程可得，所以
,由式可得，
代入上式可得，解得
故點(diǎn)在定直線上.
10．（2021·山東淄博市·高三一模）已知，是橢圓：長軸的兩個端點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線，的斜率之積等于.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，直線方程為，若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線，與的交點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)為.判斷是否存在正數(shù)使直線的斜率為定值，并說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.
【詳解】（1）由已知：，，因為在橢圓上，直線，的斜率之積等于，所以，解得：，
又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
（2）設(shè)，為過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)，
①當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，此時，為橢圓長軸端點(diǎn)，不妨設(shè)，，因為，，三點(diǎn)共線，坐標(biāo)為，同理坐標(biāo)為，此時線段的中點(diǎn)為，所以，
②當(dāng)該直線的斜率存在時，設(shè)該直線的方程是，聯(lián)立方程得：，
消元并化簡得：，所以，，
設(shè)，，因為，，三點(diǎn)共線，即，
所以，由已知得，點(diǎn)不在直線上，且，所以，同理可得，
所以，
,將，代入上式并化簡得：，所以的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，直線的斜率，因為與的取值無關(guān)，所以，即，此時.
綜合①②可知：存在使得直線的斜率為定值.
11.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，原點(diǎn)到過點(diǎn)的直線距離是
（1）求橢圓的方程
（2）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，過作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上，并求出定直線的方程
【答案】（1）；（2）在這條定直線上.
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
直線的方程為：


橢圓方程為
（2）因為直線與橢圓相切
聯(lián)立直線與橢圓方程：


即
切點(diǎn)坐標(biāo)
即
的方程為
聯(lián)立方程：

解得
在這條定直線上
12．（2019·北京高考真題（理））已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(diǎn)．
【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)見解析.
【解析】
(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：，
故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.
(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.
故：.
設(shè)，則，
直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，
易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，
且：，，
則圓的方程為：，
令整理可得：，解得：，
即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(diǎn).
13．（2020湖北高考模擬）已知動點(diǎn)到直線的距離比到定點(diǎn)的距離多1.
（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程
（2）若為（1）中曲線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交曲線于另外一點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則.
當(dāng)時，，即，整理得.
當(dāng)時，，即，
整理得，由知，矛盾，舍去.∴所求軌跡方程為.
（2）設(shè)，，，則.
由、、三點(diǎn)共線知，即.
所以.①由得，
所以②,由①②得，即，此表達(dá)式對任意恒成立，
∴.即直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

14．（2020·貴州高三開學(xué)考試）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).
（1）求的方程；
（2）設(shè)與軸的正半軸交于點(diǎn)，直線：與交于、兩點(diǎn)（不經(jīng)過點(diǎn)），且.證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過定點(diǎn).
【解析】（1）由題意，設(shè)橢圓：，焦距為，則，橢圓的另一個焦點(diǎn)為，由橢圓定義得，，，所以的方程.
（2）由已知得，由得，
當(dāng)時，，，則，，
，，
由得，即，
所以，，解得或，
①當(dāng)時，直線經(jīng)過點(diǎn)，舍去；
②當(dāng)時，顯然有，直線經(jīng)過定點(diǎn).
15．（2020·江西高三月考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動點(diǎn)滿足
（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，求證：為定值.
【答案】（1）；（2）見解析.
【解析】設(shè)，則由知化簡得，即動點(diǎn)的軌跡方程為；
設(shè)過點(diǎn)的直線為： ，由得，
,將代入得,故為定值.

相關(guān)試卷

專題19 拋物線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用）：

這是一份專題19 拋物線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用），文件包含專題19拋物線中的定點(diǎn)定值定直線問題原卷版docx、專題19拋物線中的定點(diǎn)定值定直線問題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共23頁， 歡迎下載使用。

專題13 雙曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用）：

這是一份專題13 雙曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用），文件包含專題13雙曲線中的定點(diǎn)定值定直線問題原卷版docx、專題13雙曲線中的定點(diǎn)定值定直線問題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共23頁， 歡迎下載使用。

專題06 橢圓中的定點(diǎn)、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用）：

這是一份專題06 橢圓中的定點(diǎn)、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用），文件包含專題06橢圓中的定點(diǎn)定值定直線問題原卷版docx、專題06橢圓中的定點(diǎn)定值定直線問題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共24頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題29 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題

專題29 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題第23講 圓錐曲線中定點(diǎn)定值定直線問題（含解析）

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題第23講 圓錐曲線中定點(diǎn)定值定直線問題（含解析）
專題22 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題 微點(diǎn)4 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練試題及答案

專題22 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題 微點(diǎn)4 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練試題及答案
專題12 圓錐曲線中的最值、范圍問題-備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖破壓軸題講與練

專題12 圓錐曲線中的最值、范圍問題-備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖破壓軸題講與練
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部