專題11 切線問題（講義）-2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解析幾何壓軸題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識之間的橫向聯(lián)系，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。

專題11 切線問題
1.橢圓的切線方程：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是；橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線方程是.
2.雙曲線的切線方程：雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是；雙曲線上一點(diǎn)所引兩條切線方程是.
3.拋物線的切線方程：拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是；拋物線上一點(diǎn)所引兩條切線方程是.
4．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)的直線分別與拋物線相切于兩點(diǎn)，則.
5．設(shè)橢圓:的焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)的直線分別與橢圓相切于兩點(diǎn)，則.
6．設(shè)雙曲線:的焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)的直線分別與橢圓相切于兩點(diǎn)，則.
1. 已知圓方程為:,
若已知切點(diǎn)在圓上,則切線只有一條,其方程是:
2. 已知圓方程為:,
若已知切點(diǎn)在圓上,則該圓過點(diǎn)的切線方程為;
3. 已知圓方程為圓:.
(1)過圓上的點(diǎn)的切線方程為.
(2)過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線,則切點(diǎn)弦方程為.
例1．（2021·河南鄭州·統(tǒng)考三模）已知圓過點(diǎn)、、，則圓在點(diǎn)處的切線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)圓的一般方程為，將點(diǎn)、、的坐標(biāo)代入圓的方程，可求得、、的值，可得出圓心的坐標(biāo)，求出所在直線的斜率，可求得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程．
【詳解】設(shè)圓的一般方程為，
由題意可得，解得，
所以，圓的方程為，圓心為，
直線的斜率為，
因此，圓在點(diǎn)處的切線方程為，即.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：
（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．
如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；
②圓心在任意弦的中垂線上；
③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線；
（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，由切線長公式求出的長，進(jìn)而可得以為圓心，為半徑為圓，則為兩圓的公共弦所在的直線，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，兩方程作差后計(jì)算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，可知圓的圓心為，半徑，
過點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為、，
而，則，
則以為圓心，為半徑為圓為，即圓，
所以為兩圓的公共弦所在的直線，則有，
作差變形可得：；
即直線的方程為.
故選：B.
1．（2022·河北石家莊·一模）與直線垂直，且與圓相切的直線方程是（）．
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)所求的直線方程為，解方程即得解．
【詳解】
解：由題得直線的斜率為，所以所求的直線的斜率為，
設(shè)所求的直線方程為.
因?yàn)樗笾本€與圓相切，所以.
所以所求的直線方程為或.
故選：C
2．（2022·江西·模擬預(yù)測（理））已知圓O：，直線l：，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，則（）
A．點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最小距離為B．線段PA長度的最小值為
C．的最小值為3D．存在點(diǎn)P，使得的面積為
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件結(jié)合圓的性質(zhì)、圓的切線長定理逐項(xiàng)分析各個(gè)選項(xiàng)，計(jì)算判斷作答．
【詳解】
圓O：的圓心，半徑，如圖，
對于A，點(diǎn)O到直線l的距離，則點(diǎn)P到圓O上的點(diǎn)的最小距離為，A不正確；
對于B，由選項(xiàng)A知，，由切線長定理得，B不正確；
對于C，依題意，，在中，，
則，
由選項(xiàng)B知，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，C正確；
對于D，，
，由選項(xiàng)B知，顯然對單調(diào)遞增，
因此，當(dāng)時(shí)，，D不正確．
故選：C
3．（2021·重慶八中模擬預(yù)測）已知直線與x軸相交于點(diǎn)A，過直線l上的動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D兩點(diǎn)，記M是的中點(diǎn)，則的最小值為（）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得C，D在以O(shè)P為直徑的圓上，求得其圓的方程，再由C，D在圓上，可得直線CD的方程，求得直線CD恒過定點(diǎn)，從而得M在以O(shè)Q為直徑的圓，得出圓的方程可求得的最小值．
【詳解】
設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)镻D，PC是圓的切線，所以，
所以C，D在以O(shè)P為直徑的圓上，其圓的方程為，
又C，D在圓上，則將兩個(gè)圓的方程作差得直線CD的方程：，即，所以直線CD恒過定點(diǎn)，
又因?yàn)?，M，Q，C，D四點(diǎn)共線，所以，即M在以O(shè)Q為直徑的圓上，其圓心為，半徑為，
所以，所以的最小值為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求直線恒過點(diǎn)的方法：方法一（換元法）：根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式直線的方程變成，將帶入原方程之后，所以直線過定點(diǎn)；方法二（特殊引路法）：因?yàn)橹本€的中的m是取不同值變化而變化，但是一定是圍繞一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，需要將兩條直線相交就能得到一個(gè)定點(diǎn)．取兩個(gè)m的值帶入原方程得到兩個(gè)方程，對兩個(gè)方程求解可得定點(diǎn)．
1．設(shè) Px0,y0 為橢圓 x2a2+y2b2=1上的點(diǎn), 則過該點(diǎn)的切線方程為:xx0a2+yy0b2=1
設(shè) Px0,y0 為橢圓 x2a2+y2b2=1 外一點(diǎn), 過該點(diǎn)作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)為 A, B 則弦 AB 的方程為:
xx0a2+yy0b2=1例3．（2023下·天津·模擬）圓在點(diǎn)處的切線方程為，類似地，可以求得橢圓在點(diǎn)處的切線方程為 .
【答案】
【分析】類比得到在點(diǎn)處的切線方程為，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案．
【詳解】在點(diǎn)處的切線方程為，
類比得到在點(diǎn)處的切線方程為，
故橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了類比推理，意在考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力．
例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓在點(diǎn)處的切線方程為類似地,可以求得橢圓在點(diǎn)(4,2)處的切線方程為
【答案】
【分析】把寫成，切線方程寫成，根據(jù)圓方程與其切線方程的結(jié)構(gòu)形式可以得到橢圓相應(yīng)的切線方程．
【詳解】圓的方程可寫成,圓在點(diǎn)處的切線方程為,類似地,因橢圓方程為：，故橢圓在點(diǎn)處的切線方程為即，
故答案為：.
1．（2022·河南焦作·一模（理））已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，M為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)心為，若的面積為4b，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)橢圓的定義，三角形的面積可求出橢圓的離心率，所求即為離心率的倒數(shù)可得解．
【詳解】
由題意可得，的內(nèi)心到軸的距離就是內(nèi)切圓的半徑．
又點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義，得，，即.
又，所以，
因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以.
故選：B
2．（2022·河南·一模（理））已知橢圓，其長軸長為4且離心率為，在橢圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（）
A．B．C．D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知條件解得a，b，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．不妨設(shè)，得，換元，利用函數(shù)單調(diào)性即可求解．
【詳解】
由橢圓：，
其長軸長為4且離心率為，
，，，解得，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
再設(shè)點(diǎn)，則，可得，點(diǎn)，
，
，則
不妨設(shè)，
則
，
令，，
則，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在遞增，
故，此時(shí)，
故的最小值為0，
故選：D．
3．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓方程為，橢圓的離心率為，為蒙日圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用橢圓的離心率可得，分析可知為圓的一條直徑，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面積的最大值．
【詳解】
因?yàn)椋?，，所以，蒙日圓的方程為，
由已知條件可得，則為圓的一條直徑，則，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．
故選：A.1、設(shè) Px0,y0 為雙曲線 x2a2?y2b2=1 上的點(diǎn), 則過該點(diǎn)的切線方程為:xx0a2?yy0b2=1
過 Px0,y0 為雙曲線 x2a2?y2b2= 的兩支作兩條切線, 則切點(diǎn)弦方程為xx0a2?yy0b2=1
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．
【答案】/
【分析】依題意，注意到點(diǎn)在橢圓上，由此得到橢圓在點(diǎn)處的切線方程；再結(jié)合上述性質(zhì)得到橢圓與雙曲線在其公共點(diǎn)處的斜率間的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率．也可以利用結(jié)論6直接得到答案．
【詳解】根據(jù)結(jié)論6，由題意得橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，
即，該直線的斜率為，由結(jié)論5得知，該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．
故答案為：.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線：上點(diǎn)．求雙曲線在點(diǎn)處的切線的方程．
【答案】.
【分析】將雙曲線在某點(diǎn)的切線方程轉(zhuǎn)化為曲線在某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求出在某點(diǎn)的切線斜率，進(jìn)一步求出切線的方程．
【詳解】由可得，
根據(jù)題目條件，可知求曲線在點(diǎn)P處的切線的方程，
∴曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為
∴曲線在點(diǎn)P處的切線方程為
化簡得
∴雙曲線C在點(diǎn)P處的切線的方程為．1、（2021·山西呂梁·一模（理））過雙曲線：的右焦點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為B，交y軸于D，若，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)切線的性質(zhì)，利用三角形的等積法建立方程可化簡求出離心率．
【詳解】
因?yàn)?，且切點(diǎn)為B，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故，
因?yàn)椋?br>故，
化簡可得，
即，
所以，
故選：C
2．（2022·廣西廣西·模擬預(yù)測（理））已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使直線與圓相切，則雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)直線與圓相切以及直線與漸近線的斜率的關(guān)系列不等式，化簡求得離心率的取值范圍．
【詳解】
依題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
即，
圓的圓心為，半徑，
圓心到直線的距離，
兩邊平方并化簡得，
雙曲線的一條漸近線為，
由于在雙曲線的右支，所以，
即，
，
.
故選：A
1、設(shè) Px0,y0 為拋物線 y2=2px 上的點(diǎn), 則過該點(diǎn)的切線方程為yy0=px+x0
設(shè) Px0,y0 為拋物線 y2=2px 開口外一點(diǎn), 則切點(diǎn)弦的方程為:yy0=px+x0
例7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的一條切線方程為，則的準(zhǔn)線方程為．
【答案】
【分析】由，消去得，由求出，從而求得準(zhǔn)線方程．
【詳解】由，消去得，
由題意，解得，
則拋物線方程為：，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，即．
故答案為：．
例8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過直線上一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為．則的取值范圍為．
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，所以．
設(shè)．由，求導(dǎo)得，
則直線，直線．
由解得所以，
又在直線上，得．
所以
．
故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的切線方程．
1、(2014年遼寧卷)已知點(diǎn)在拋物線：的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)的直線與在第一象限相切于點(diǎn)，記的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】拋物線為：，設(shè)，則切線方程為：，代入點(diǎn)A，得，選D。
秒殺公式：阿基米德三角形：由，選D。
2、（2021·江西·上高二中模擬預(yù)測（文））拋物線：與雙曲線：有一個(gè)公共焦點(diǎn)，過上一點(diǎn)向作兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則（）
A．49B．68C．32D．52
【答案】A
【解析】
【分析】
將P坐標(biāo)代入雙曲線方程求得雙曲線的方程，進(jìn)一步求得拋物線的方程中的參數(shù)p,利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得兩切線的方程，利用韋達(dá)定理求得兩根之和，兩根之積，利用拋物線的定義，將A,B到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，表示為A,B的縱坐標(biāo)的關(guān)系式，求得|AF||BF|關(guān)于A,B縱坐標(biāo)的表達(dá)式．
【詳解】
由P在雙曲線上，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，，
∴雙曲線的方程為，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，∴,
∴,雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
∵拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)重合，∴，∴拋物線的準(zhǔn)線為，，
拋物線的方程為,即,
,設(shè),切線PA,PB的斜率分別為,切線方程分別為
將P的坐標(biāo)及,代入，并整理得,,
可得為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得
,
=,
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查雙曲線與拋物線的方程和性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究切線問題，關(guān)鍵是設(shè)而不求思想和韋達(dá)定理的靈活運(yùn)用．
例9．（2020·甘肅·武威第六中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知拋物線：，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)、，分別以、為切點(diǎn)作拋物線的切線、，直線、交于點(diǎn).
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)求面積的最小值，并求出此時(shí)直線的方程．
【答案】(1)
(2)1，
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，，分別求出以為切點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立兩切線方程表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)直線的方程為：，與拋物線的方程聯(lián)立，代入可得點(diǎn)的軌跡方程；
（2）由（1）知和到直線的距離，利用三角形面積公式求得面積，可求得S的最小值和直線的方程．
(1)
設(shè)，，，
則以A為切點(diǎn)的切線為，整理得：，
同理：以為切點(diǎn)的切線為：，
聯(lián)立方程組：，解得，
設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立方程組，整理得：，
恒成立，
由韋達(dá)定理得：，，故，
所以點(diǎn)的軌跡方程為；
(2)
解：由（1）知：，
到直線的距離為：，
∴，
∴時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線的方程為.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的交點(diǎn)相關(guān)問題，涉及到拋物線的切線和三角形的面積的最值，直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．屬中檔題．
例10．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（理））已知圓過點(diǎn)，且與直線相切．
(1)求圓心的軌跡的方程；
(2)過點(diǎn)作直線交軌跡于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，過點(diǎn)作，垂足為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得為定值．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在定點(diǎn)，使得，點(diǎn).
【解析】
【分析】
（1）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用給定條件列式化簡作答．
（2）設(shè)出直線的方程，與軌跡的方程聯(lián)立，探求出直線所過定點(diǎn)，再推理計(jì)算作答．
(1)
設(shè)圓心，依題意，，化簡整理得：，
所以圓心的軌跡的方程是：.
(2)
依題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，，則，，
由拋物線對稱性知，點(diǎn)在軌跡C上，直線的斜率為，
直線的方程為：，化簡整理得：，
由消去x并整理得：，則有，
直線的方程化為：，因此直線恒過定點(diǎn)，
因于點(diǎn)Q，于是得是直角三角形，且點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，則恒有，
令點(diǎn)為E，從而有，
所以存在定點(diǎn)，使得為定值，點(diǎn)E坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：涉及動(dòng)直線與圓錐曲線相交滿足某個(gè)條件問題，可設(shè)出直線方程，再與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合已知推理求解．
例11．（2022·山西晉中·一模（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與圓：相切，另外，橢圓：的離心率為，過左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于C，D兩點(diǎn)．且．
(1)求圓的方程與橢圓的方程；
(2)經(jīng)過圓上一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓相交于M，N兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），求△OAB的面積的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由直線與圓的相切關(guān)系及點(diǎn)線距離公式求參數(shù)r，即可得圓的方程，根據(jù)橢圓離心率、及橢圓參數(shù)關(guān)系求出a、b、c，即可得橢圓的方程．
（2）設(shè)、、，討論直線PA，PB斜率存在性，則直線PA為、直線PB為，聯(lián)立橢圓方程并結(jié)合所得一元二次方程求、，進(jìn)而得直線PA為、直線PB為，結(jié)合在直線PA，PB上有AB為，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)線距離公式，結(jié)合三角形面積公式得求面積范圍．
(1)
由題設(shè)，圓：的圓心為，
因?yàn)橹本€與圓相切，則，
所以圓的方程為，
因?yàn)闄E圓的離心率為，即，即，
由，則，又，
所以，解得，，
所以橢圓的方程為．
綜上，圓為，橢圓為.
(2)
設(shè)點(diǎn)，，．
當(dāng)直線PA，PB斜率存在時(shí)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，則直線PA為，直線PB為．
由，消去y得：．
所以．
令，整理得，則，
所以直線PA為，化簡得：，即．
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)直線PA斜率不存在時(shí)，直線PA為或也滿足．
同理，可得直線PB為．
因?yàn)樵谥本€PA，PB上，所以，．
綜上，直線AB為．
由，消去y得：．
所以，．
所以．
又O到直線AB的距離．
所以．
令，，則，又，
所以△OAB的面積的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，設(shè)點(diǎn)及直線PA，PB的方程，聯(lián)立橢圓結(jié)合相切關(guān)系求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而確定PA，PB的方程，由在直線PA，PB上求直線的方程，再聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)線距離公式求三角形面積的范圍．
例12．（2021·江西·新余四中模擬預(yù)測（理））已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左半個(gè)橢圓上含短軸頂點(diǎn)上一點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，記直線PA，PB的斜率為，，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)離心率可得，再將點(diǎn)代入橢圓可得，解方程組即可求出，從而可得橢圓的方程；
(2)設(shè)，，設(shè)過P的切線方程為，根據(jù)由直線和圓相切的條件可得，即，由，為方程的兩根，利用根與系數(shù)關(guān)系可得，再根據(jù)，即，消去，利用函數(shù)法即可求出的取值范圍．
【詳解】
（1）由題意可得，即，
又，解得，，
所以橢圓的方程為；
（2）設(shè)，，則即，
設(shè)過P的切線方程為，
圓C：的圓心為，半徑為1，
由直線和圓相切的條件可得，
化為，
由，為上面方程的兩根，可得
，
令，則，
則在遞增，
所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法:
(1)利用幾何方法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；
(2)利用代數(shù)方法，即把要求范圍的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法進(jìn)行求解．

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