一、方法綜述多元函數(shù)的最值問題就是在多個約束條件下，某一個問題的最大和最小值．在所列的式子之中，有多個未知數(shù)．求解多元函數(shù)的最值問題技巧性強、難度大、方法多，靈活多變，多元函數(shù)的最值問題蘊含著豐富的數(shù)學思想和方法．解題辦法常有：導數(shù)法、消元法、基本不等式法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、向量法等．二、解題策略類型一  導數(shù)法例1．【2019福建三明上學期期末考】若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的值為（   ）A．1    B．2   C．3    D．4【答案】C 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，即對任意恒成立，同理可證：對任意恒成立，∴即，∴，故選C．學#科網(wǎng)【舉一反三】【2019福建福州第一學期質(zhì)量抽測】已知函數(shù)，對于任意，，恒成立，則的取值范圍是（  ）A．    B．    C．    D．【答案】A類型二  消元法例2．【2019四川攀枝花期末考】已知函數(shù)，若方程有四個不等實根，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（　?。?/span>A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】當2＜x＜4時，0＜4﹣x＜2，所以f（x）＝f（4﹣x）＝|ln（4﹣x）|，由此畫出函數(shù)f（x）的圖象，由題意知，f（2）＝ln2，故0＜m＜ln2，且x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4＝x2+x3＝4，x1x2＝1，（4﹣x3）（4﹣x4）＝1，，由，可知，，得，設(shè)t＝x1+x2，則，又在上單調(diào)遞增，所以，∴，即，∴實數(shù)的最大值為，故選B．學科*網(wǎng)【解題秘籍】題設(shè)條件中變量較多，但可以把看成整體，從而把問題轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的最值．[來源:學|科|網(wǎng)]【舉一反三】1．【2019合肥一?！?/span>已知函數(shù)有兩個不同的極值點，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是(      )．A．    B．    C．    D．【答案】A2．【2018河北省廊坊市第八高級中學模擬】若對任意的實數(shù)，都存在實數(shù)與之對應，則當時，實數(shù)的取值范圍為（   ）A．            B．         C．            D．【答案】D【解析】由題設(shè)有，令，則，所以，當時，，在為增函數(shù)；當時，，在為減函數(shù)，所以，注意到當時，，故選D．類型三  基本不等式法例3．【2019湖北1月聯(lián)考】在中，角、、的對邊分別是、、，若，則的最小值為（   ）A．    B．    C．    D．【答案】D【解題秘籍】本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)間基本關(guān)系，基本不等式在解三角形中的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想．【舉一反三】【2019湖南五市十校12月聯(lián)考】已知正實數(shù)，，滿足，則當取得最大值時，的最大值為（   ）A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】由正實數(shù)，，滿足，得，當且僅當，即時，取最大值，又因為，所以此時，所以 ，故最大值為1【解題秘籍】在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子特征靈活變形，然后再利用基本不等式，要注意條件：一正二定三相等．類型四  換元法例4．【2019山東濟南期末考】已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，其中，則的取值范圍是(   )A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】作出函數(shù)的圖象，由圖像可知：函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，學科#網(wǎng)即，由函數(shù)在R上單調(diào)遞減，可得：，變量分離可得：，令，則，又，∴，∴，故選B．【舉一反三】【2018四川廣元統(tǒng)考】若正項遞增等比數(shù)列滿足，則的最小值為（   ）A．                  B．                C．                D．【答案】C∴當，即時，有最小值，且．∴的最小值為．故選C．三、強化訓練1．【2019江西宜豐中學月考二】已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（  ）A．    B．    C．    D．【答案】C2．【2019天津一中期中考】已知函數(shù)，若對任意，總存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A．    B．   C．    D．【答案】C【解析】因為對任意，總存在，使得，所以，因為當且僅當時取等號，所以，因為，所以，選C．3．【2019浙江臺州統(tǒng)考】已知函數(shù)，若對任意，總存在，使得，則的取值范圍是（   ）[來源:Zxxk.Com][來源:學*科*網(wǎng)Z*X*X*K]A．    B．    C．    D．【答案】C【解析】對?x1∈[1，2]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2）等價于f（x）min≥g（x）min．f（x）==+，換元令t=∈[，1]，h（t）=t+t2知h（t）在（﹣，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）min=h（）=；g（x）=log2x+m，在x∈[1，4]上為單調(diào)增函數(shù)，故g（x）min=g（1）=m，所以m≤，故選C．4．【2019廣西百色摸底調(diào)研】若直線：被圓截得的弦長為4，則當取最小值時直線的斜率為（    ）A．2    B．    C．    D．【答案】A【解析】圓x2+y2+2x﹣4y+1=0是以（﹣1，2）為圓心，以2為半徑的圓，學&科網(wǎng)又∵直線ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x2+y2+2x﹣4y+1=0所截得的弦長為4，∴直線過圓心，∴a+2b=2，∴=（）（a+2b）=（4++）≥（4+4）=4，當且僅當a=2b時等號成立，∴k=2，故選A．5．【2019重慶西大附中月考】已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（    ）A．    B．    C．    D．【答案】A6．【2019湖北、山東一聯(lián)】在中，角的對邊分別為，若，則當取最小值時，=（  ）A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】因為，由正弦定理及余弦定理得：，整理得：，又，當且僅當，即時取等號，故選B．7．【2019新疆昌吉模擬】在1和17之間插入個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，若這個數(shù)中第一個為，第個為，當取最小值時，的值為（  ）A．6    B．7    C．8    D．9【答案】D【解析】由已知得，則，所以當且僅當時取等號，此時，，可得．故選D．學科#網(wǎng)8．【2019廣東六校一聯(lián)】拋物線上有一動弦，中點為，且弦的長度為，則點的縱坐標的最小值為（    ）A．    B．    C．    D．【答案】A9．【2019浙江鎮(zhèn)海中學上學期期中考】已知正項等比數(shù)列滿足，若存在兩項，使得，則的最小值為（    ）[來源:學科網(wǎng)ZXXK]A．    B．    C．    D．【答案】B10．【2019安徽皖中名校10月聯(lián)考】在中，點是上一點，且，為上一點，向量，則的最小值為（  ）A．16    B．8    C．4    D．2【答案】A【解析】由題意可知：，其中B，P，D三點共線，由三點共線的充分必要條件可得：，則：，當且僅當時等號成立，[來源:學,科,網(wǎng)]即的最小值為16，故選A．學科#網(wǎng)11．【2019山東青島零模】已知函數(shù)在點處的切線為，動點在直線上，則的最小值是（   ）A．4    B．2    C．    D．【答案】D【解析】由題得所以切線方程為即，故選D．12．【2019上海交大附中10月月考】定義域為的函數(shù)圖像的兩個端點為，向量，是圖像上任意一點，其中，．若不等式恒成立，則稱函數(shù)在上滿足“范圍線性近似”，其中最小的的正實數(shù)稱為該函數(shù)的線性近似閾值．下列定義在上函數(shù)中，線性近似閾值最小的是（    ）A．    B．    C．    D．【答案】D 13．【2019江蘇南師大附中第一學期期中考】己知實數(shù)x，y，z[0，4]，如果x2，y2，z2是公差為2的等差數(shù)列，則的最小值為_______．【答案】4－2【解析】由于數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，故，且，故， ，而函數(shù)在上為增函數(shù)，故當時取得最大值為，所以．14．【2019江蘇鹽城、南京一?！?/span>若正實數(shù)、、滿足，，則的最大值為________．【答案】【解析】由，，解得，，，，．15．【2019陜西榆林一?！?/span>已知正數(shù)滿足，則的最小值為__________．【答案】【解析】∵正數(shù)x，y滿足x2+y2＝1，令z0，可得z2＝22+24，當且僅當即x＝y時取等號，而由題意可得1＝x2+y2≥2xy可得2，當且僅當x＝y時取等號，∴z2≥4+4＝8，∴z≥2，當且僅當x＝y時取等號，∴的最小值為2，故答案為：．學*科網(wǎng)16．【2019遼寧沈陽東北育才模擬】已知對滿足的任意正實數(shù)x，y，都有，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】（﹣∞，]17．【2019江蘇清江中學二模】在中，設(shè)角的對邊分別是若成等差數(shù)列，則的最小值為________．【答案】【解析】由題得，所以，所以因為所以 故答案為：．18．【2019廣東深圳寶安區(qū)零模】定義在上的函數(shù)滿足，且當 若任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是 ____________．【答案】 

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