專題13 定值問題（模擬+真題）-2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解析幾何壓軸題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、注意基礎(chǔ)知識(shí)的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識(shí)，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補(bǔ)缺，保強(qiáng)攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強(qiáng)各章節(jié)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實(shí)際情況作出合理的安排。
三、提高運(yùn)算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運(yùn)算占很大比例，一定要重視運(yùn)算技巧粗中有細(xì)，提高運(yùn)算準(zhǔn)確性和速度，同時(shí)，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識(shí)體系。同學(xué)們在聽課時(shí)注意把重點(diǎn)要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時(shí)做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯(cuò)反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動(dòng)作要快要自信。
六、重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運(yùn)用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。

專題13 定值問題
1、已知橢圓：離心率，且經(jīng)點(diǎn)．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓C右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)D，且，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，若，證明為定值．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可得，解方程求出，即可得出答案；
（2）設(shè)，，設(shè)直線方程為：，將直線方程與隨圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得的表達(dá)式，由此表示出，再代入化簡即可得出答案．
【詳解】（1）由題意知，解得，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意直線的斜率一定存在，由（1）知，則橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線方程為：，坐標(biāo)為．所以，
設(shè)，，將直線方程與隨圓方程聯(lián)立，
∴，又恒成立，
由韋達(dá)定理知，，
，
∴
∴
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)直線方程得到坐標(biāo)為，則，直線方程與隨圓方程聯(lián)立，化簡整理，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，代入化簡即可得出答案．
2、已知橢圓過點(diǎn)，離心率．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的斜率為直線交橢圓于另一點(diǎn)，若的面積為2，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率的值；
(3)設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，，直線，分別交直線于點(diǎn)，．求證：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)0
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出關(guān)于的方程組并求解即得．
（2）由點(diǎn)斜式寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合三角形面積求出k值即得．
（3）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算得解．
【詳解】（1）令橢圓半焦距為c，依題意，，
解得，，，所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，
則原點(diǎn)到直線的距離為，
由消去并化簡得，
顯然，設(shè)，有，則，
于是，
則，解得，
所以直線的方程為．

（3）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由，消去并化簡得，
則，，
由，得，所以，
顯然直線，的斜率存在，直線的方程為，
令，得，
同理得，
所以
，
所以線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過定點(diǎn)的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積；
過定點(diǎn)直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積.
3、設(shè)橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為C，D，且焦距為2.F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓上且異于C，D兩點(diǎn)．若直線與的斜率之積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作一條斜率不為0的直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（A在B，P之間），直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為H，求證：點(diǎn)A，H關(guān)于x軸對稱．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)直線與的斜率之積得到，故，結(jié)合焦距得到，，得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，得到結(jié)論．
【詳解】（1）由題意有，，
設(shè)，，化簡得，結(jié)合，
可得，
由橢圓焦距為2，有，得，，
橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）顯然直線方程斜率不存在時(shí)，與橢圓方程無交點(diǎn)，
根據(jù)橢圓的對稱性，欲證，H關(guān)于軸對稱，
只需證，即證，

設(shè)，，直線方程為，
由消去得，
，解得，
所以，.
則，
因?yàn)椋?br>所以，即A，H關(guān)于軸對稱．
4．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，不在軸上，的面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求證：直線，的斜率之和為定值，并求出定值．
【答案】(1)；(2)定值，
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程即可；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，列出表達(dá)式利用韋達(dá)定理計(jì)算即可．
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，
設(shè)到的距離為，因?yàn)椋?br>所以，易得當(dāng)時(shí)面積取得最大值，
所以，因?yàn)椋?br>所以，，所以橢圓的方程為；
（2）證明：如圖，易知點(diǎn)在橢圓外，
設(shè)直線的方程為，，，
由得，
所以，，，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第（2）問的化簡，這里化簡主要是利用了韋達(dá)定理和直線的方程，在化簡過程中同時(shí)涉及到通分，計(jì)算比較復(fù)雜，要認(rèn)真計(jì)算．
5、（2024下·廣西桂林·高二桂林中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，且橢圓的短軸長為．
(1)求橢圓的方程．
(2)設(shè)是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)．記的面積為，的面積為．證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分別表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出，然后結(jié)合橢圓的方程，代入計(jì)算，即可證明．
【詳解】（1）由題可知，，解得，
故橢圓的方程為．
（2）
證明：設(shè)，則直線的方程為，令，得．
直線的方程為，令，得．
，，
．
由，得，
則．
故為定值．
6、（2024上·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，直線過的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)且與圓相切．
(1)求的方程．
(2)過上一點(diǎn)作圓的兩條切線，（均不與坐標(biāo)軸垂直），，與的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，．證明：
①直線，的斜率之積為定值；
②．
【答案】(1)
(2)① 證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）利用已知求參數(shù)，得到橢圓方程即可．
（2）①利用點(diǎn)到直線的距離得到斜率滿足的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到斜率的乘積，簡單轉(zhuǎn)化得到定值即可． ②聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理用斜率表示所求式，化簡得到定值即可．
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．依題意，離心率，則，①．
直線，即，由題可知②．
聯(lián)立①②，解得，，故的方程為．
（2）
（i）設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為，
則，整理得，
記直線，的斜率分別為，，則，為定值．
（ii）由（i）的過程可知直線，聯(lián)立方程得
則有，故．
直線，同理可得．
故
，
則．
7、（2024下·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)動(dòng)直線與相切于點(diǎn)A，且與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，直線的傾斜角分別為．證明：存在定點(diǎn)，使得．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由漸近線傾斜角結(jié)合右焦點(diǎn)到漸近線的距離可得，即可得方程；
（2）將與雙曲線方程，聯(lián)立，可得A，B坐標(biāo)，后由對稱性可得點(diǎn)必在軸上，設(shè)，
后由可證明結(jié)論．
【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，
右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故，
又且，解得：
故雙曲線的方程是．
（2）由，得．
動(dòng)直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以，化簡得．（*）
此時(shí)，
由，得．
假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)滿足條件，由圖形對稱性知，點(diǎn)必在軸上．設(shè)，
要使，則，
則對滿足（*）式的恒成立．
，由，
得，整理得．（**）
由于（**）式對滿足（*）式的恒成立， .
故存在定點(diǎn)，使得.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，有時(shí)可通過對稱性確定定點(diǎn)位置，從而簡化計(jì)算流程．此外，向量與韋達(dá)定理也是經(jīng)常使用的工具．
8、（2024下·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，已知橢圓與橢圓有相同的離心率，點(diǎn)在橢圓上．過點(diǎn)的兩條不重合直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與橢圓相交于和四點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求證：；
(3)若，設(shè)直線的傾斜角分別為，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)，證明見解析
【分析】（1）由離心率和橢圓上的點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）要證，只需證，通過直線與橢圓聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間距離公式證明；
（3）由題意有，由韋達(dá)定理和距離公式化簡得，由題意，所以，可得.
【詳解】（1）由題意知，兩橢圓有相同的離心率，則有，，
又點(diǎn)在橢圓上，有，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）要證，即證，
設(shè)，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由橢圓對稱性可知成立，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則方程為，
由得，
，
由得，
，
得，，
，，則有.
所以與等底等高，有.
（3）由（2）可知，同理有，
由，可得，則有，
設(shè)直線的斜率為，直線方程為，設(shè)，
由得，
，
，
，
所以，
即，
化簡得，即，由題意，所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
9、（2024·四川德陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，、為曲線與軸的左右交點(diǎn)，、分別與曲線交于、兩點(diǎn)．證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明過程見解析
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行求解即可；
（2）設(shè)出相應(yīng)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）如圖所示：連接，
由，
所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)榫€段的垂直平分線交于點(diǎn)，
所以有，
由，
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，
即，
所以的方程為；
（2）設(shè)，，
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的方程為，代入橢圓方程中，得
，
顯然有，，
即，
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的方程為，代入橢圓方程中，得
，
顯然有，，
即，
于是有，
，
，
，
因此為常數(shù)．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．
10、（2024下·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線是上不同的三點(diǎn)，過三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)，則稱三角形為拋物線的外切三角形．
(1)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，且時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)設(shè)外切三角形的垂心為，試判斷是否在定直線上，若是，求出該定直線；若不是，請說明理由；
(3)證明：三角形與外切三角形的面積之比為定值．
【答案】(1)
(2)是，
(3)2
【分析】（1）求導(dǎo)，求出，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先求切線的方程和切線的方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)，同理得坐標(biāo)，利用垂線性質(zhì)得推理得垂心在定直線上；
（3）法一：利用弦長和點(diǎn)線距分別表示兩三角形面積得比值；法二：利用向量面積公式，表示面積求比值．
【詳解】（1）由題意可知，即為，
求導(dǎo)得，則，由直線的點(diǎn)斜式化簡得切線的方程為
為切線與軸的交點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）設(shè)，
由（1）易知，則拋物線在A點(diǎn)處的切線的方程為，
同理可得切線的方程為，
直線和直線聯(lián)立可得交點(diǎn)．
同理可得．
設(shè)垂心的坐標(biāo)為，則．
由可知，
即．
同理可得．
兩式相減可得，即．
因此垂心在定直線上．
（3）易知，則直線的方程為，
化簡得
且，
點(diǎn)到直線的距離為
，
則三角形的面積．
由（2）知切線的方程為
可知，
點(diǎn)到直線的距離為
，
則外切三角形的面積．
故．
因此三角形與外切三角形的面積之比為定值2．
解法二：因?yàn)椋?br>由（2）得
所以
所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查拋物線的切線相關(guān)問題，解決第二問的關(guān)鍵是利用垂直得垂心的軌跡進(jìn)而求得定直線，并且第三問重在計(jì)算能力對的考查．
11、（2024下·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值與最小值；
(2)若，求的斜率；
(3)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)最大值為，最小值為；
(2)
(3)存在定點(diǎn)
【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義可得，則，當(dāng)點(diǎn)與的左、右頂點(diǎn)重合時(shí)取到最值；
（2）設(shè)，根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)表示斜率公式計(jì)算即可求解；
（3）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，易知直線的斜率不存在時(shí)；設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出，代入，化簡計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）設(shè)的左焦點(diǎn)為，則，
由橢圓的定義知，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與的左頂點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，
即的最大值為；
，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與的右頂點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)．
即的最小值為.
（2）設(shè)，則由，得，
所以，即，又在上，
所以，即解得
即.
故直線的斜率為.
（3）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，設(shè)，
則，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，
把代入，得，
所以，
，
，
所以為定值，
所以，解得，
存在定點(diǎn)，使得為定值；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得滿足為定值.
綜上，存在定點(diǎn)，使得為定值．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法一般有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
12、（2024下·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在滿足
【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；
（2）設(shè)其方程為，，設(shè)，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達(dá)定理，化簡，從而得到定點(diǎn)與定值．
【詳解】（1）由題意可得，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）依題意，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，，
代入得，
設(shè)，，，
則，，
∴
，
若要上式為定值，則必須有，即，
∴，
故存在點(diǎn)滿足.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
13、（2024上·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，，點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程：
(2)過點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），直線OP與直線交于點(diǎn)Q．若直線與的斜率分別為，，試問是否為定值？若是，求出此定值；否不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)是定值3，理由見解析
【分析】（1）由點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出，結(jié)合，得到雙曲線方程；
（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，計(jì)算出.
【詳解】（1）由題意知．點(diǎn)到直線的距離為，解得，
從而雙曲線C的方程為；
（2）設(shè)，，直線的方程為，
聯(lián)立，
則，
從而，
解得且，此時(shí)．
直線OP的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立解得，．
由于
.
即．
【點(diǎn)睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
14、（2024下·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，且的面積為2．
(1)求的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件，可確定，的值，寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，確定，，再分別表示直線，的方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)以及與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，探索的值．
【詳解】（1）由題意知離心率為，
因?yàn)榈拿娣e為2，所以，得，
所以，，
故的方程為．
（2）如圖：
由題意知，設(shè)直線，因?yàn)榕c的左、右兩支分別相交，與軸也有交點(diǎn)，
的漸近線方程為，所以且．
由得，
設(shè)，則，.
則直線的方程為，直線的方程為，
將直線和的方程聯(lián)立，可得，
所以，又因?yàn)椋?br>所以
．
因?yàn)榍遥裕?br>易知，，所以，
綜上，，解得．
所以．
在中，令，得，
所以．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，其縱坐標(biāo)為，也就是的縱坐標(biāo)為，所以的縱坐標(biāo)不用求，這樣可以省下很多的計(jì)算量．
15、（2024下·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線（，）的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線l交C于P，Q兩點(diǎn)（均不與A重合），當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，.
(1)求C的方程；
(2)若直線AP和AQ分別與直線交于點(diǎn)M和N，證明：為定值．
【答案】(1)
(2)為定值63，證明過程見解析
【分析】（1）由題意得，并代入求出，根據(jù)求出，得到答案；
（2）直線l的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，得到直線，求出，同理得到，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式，代入兩根之和，兩根之積得到.
【詳解】（1）由題意得，故，
令得，解得，
由于，故，解得，
所以C的方程為；
（2）直線l交C于P，Q兩點(diǎn)（均不與A重合），故直線l的斜率不為0，
設(shè)直線l方程為，聯(lián)立得，
設(shè)，則且，
解得，
，
直線，令得，
同理可得，故，
則
.

為定值．
【點(diǎn)睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
16、（2024下·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且的面積為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)記點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．探究：是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)，為定值．
【分析】（1）根據(jù)的面積為，表示為，結(jié)合雙曲線方程，即可得到答案；
（2）首先設(shè)直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，并用坐標(biāo)表示和，并利用韋達(dá)定理表示，即可化簡求解．
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，
由題意得，，
解得，故雙曲線的方程為．
（2）
由題意得，，
當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，則．
當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，
聯(lián)立，整理得，
則，解得且，
所以，
所以
．
綜上，，為定值．
17、（2024上·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知曲線是以原點(diǎn)O為中心、為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線是以原點(diǎn)O為中心，為焦點(diǎn)的雙曲線的一部分，A是曲線和曲線的交點(diǎn)，且為鈍角，我們把曲線和曲線合成的曲線C稱為“月蝕圓”．設(shè).

(1)求曲線和所在的橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作一條與x軸不垂直的直線，與“月蝕圓”依次交于B，C，D，E四點(diǎn)，記G為CD的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)．問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)是定值，為，理由見解析
【分析】（1）設(shè)橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)在曲線上、焦點(diǎn)坐標(biāo)可得答案；
（2）設(shè)直線的方程為，，直線的方程與橢圓方程、雙曲線方程分別聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出、，由轉(zhuǎn)化為化簡可得答案．
【詳解】（1）設(shè)橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)椋?br>所以可得，，
解得，，
所以橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）是定值，為，理由如下，
由（1）橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)橹本€與“月蝕圓”依次交于B，C，D，E四點(diǎn)，所以直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為，，
雙曲線的漸近線方程為，所以，
可得，，
直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，整理得
，
所以，
所以，
直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，整理得
，
所以，
所以，
所以
，
所以是定值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問解題的關(guān)鍵點(diǎn)是由轉(zhuǎn)化為，再利用韋達(dá)定理．
18、（2024下·寧夏吳忠·高二青銅峽市高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知拋物線：上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，列式計(jì)算，求出p，即可得答案；
（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，表示出并化簡，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）由題意知拋物線：上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5，
故，
則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）證明：由于過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，則l斜率不等于0，
設(shè)其方程為，聯(lián)立得，
得，，
設(shè)，則，
由于，
故，
即：為定值．.
19、（2024下·云南昆明·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知焦點(diǎn)在軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，以上一點(diǎn)為圓心的圓過定點(diǎn)，記、為圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)．
(1)求拋物線的方程；
(2)當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷是否為一定值？請證明你的結(jié)論．
【答案】(1)
(2)是定值，證明見解析
【分析】（1）設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)代入求出p即可求解；
（2）設(shè)圓的圓心，利用幾何法求出弦長，即可下結(jié)論．
【詳解】（1）由題意知，設(shè)拋物線方程為，
代入，得，
拋物線的方程為；
（2）設(shè)圓的圓心，則，且圓的半徑，
圓被軸截得的弦長為
，
即，
是一定值．
20．（22·23·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可．
【詳解】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因?yàn)?，則直線，
令，解得，即,
同理可得，
則
，
所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟
（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；
（3）得出結(jié)論．
21．（21·22·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解．
【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，
則，解得，，
所以橢圓E的方程為：.
（2），所以，
①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線．代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到．求得HN方程：
，過點(diǎn).
②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).
聯(lián)立得，
可得，，
且
聯(lián)立可得
可求得此時(shí)，
將，代入整理得，
將代入，得
顯然成立，
綜上，可得直線HN過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
22．（21·22·全國·專題練習(xí)）如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線l的方程為：．
(1)求橢圓的方程；
(2)在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，證明：為定值，并求此定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】(1)根據(jù)準(zhǔn)線的幾何性質(zhì)，求出a，再算出b，可得橢圓方程；
(2)根據(jù)題設(shè)，分別求出與x軸正方向的夾角之間的關(guān)系，代入中計(jì)算即可．
【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為．因焦點(diǎn)為，故半焦距，又右準(zhǔn)線的方程為，
從而由已知，因此，，
故所求橢圓方程為；
（2）
記橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，
假設(shè) ，且，．
又設(shè)點(diǎn)在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有
．
解得．
因此，
而，
故為定值．
綜上，橢圓方程為；.
【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在于運(yùn)用橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離表達(dá)為到準(zhǔn)線的距離乘以離心率，再對運(yùn)用三角函數(shù)計(jì)算化簡．
23．（19·20·山東·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
【答案】（1）；（2）詳見解析．
【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程．
（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為, 聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置．
【詳解】（1）由題意可得：，解得：，
故橢圓方程為：.
(2)［方法一］：通性通法
設(shè)點(diǎn)，
若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，
代入橢圓方程消去并整理得：，
可得，，
因?yàn)?，所以，即?br>根據(jù),代入整理可得：
，
所以，
整理化簡得，
因?yàn)椴辉谥本€上，所以，
故，于是的方程為，
所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，
由得：，
得，結(jié)合可得：，
解得：或（舍）．
此時(shí)直線過點(diǎn).
令為的中點(diǎn)，即，
若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，
若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值．
［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系
將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．
設(shè)，因?yàn)閯t，即．
代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)．
又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．
故存在，使得．
［方法三］：建立曲線系
A點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．
則過A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．
用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．
即．
對比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得
將①代入②③，消去并化簡得，即．
故直線的方程為，直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．
經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．
［方法四］：
設(shè)．
若直線的斜率不存在，則．
因?yàn)?，則，即．
由，解得或（舍）．
所以直線的方程為．
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．
令，則．
又，令，則．
因?yàn)椋裕?br>即或．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過．
綜上，直線恒過，所以．
又因?yàn)?，即，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
取線段的中點(diǎn)為，則．
所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．
【整體點(diǎn)評】（2）方法一：設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過題目條件可知直線過定點(diǎn)，再根據(jù)平面幾何知識(shí)可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法也是本題的通性通法；
方法二：通過坐標(biāo)系平移，將原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，設(shè)直線的方程為，再通過與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)建齊次式，由韋達(dá)定理求出的關(guān)系，從而可知直線過定點(diǎn)，從而可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法是本題的最優(yōu)解；
方法三：設(shè)直線，再利用過點(diǎn)的曲線系，根據(jù)比較對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可求出的關(guān)系，從而求出直線過定點(diǎn)，故可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)；
方法四：同方法一，只不過中間運(yùn)算時(shí)采用了一元二次方程的零點(diǎn)式賦值，簡化了求解以及的計(jì)算．
24．已知雙曲線的實(shí)軸長為4，離心率為．過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)，若直線QA，QB的斜率均存在，試問其斜率之積是否為定值？請給出判斷與證明．
【答案】(1)
(2)斜率之積為定值4，證明見解析
【分析】（1）由雙曲線的實(shí)軸長和離心率，求出與，可得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分直線l斜率存在和不存在兩種類型，通過聯(lián)立方程組，設(shè)點(diǎn)，利用韋達(dá)定理表示直線QA，QB的斜率之積，化簡得定值．
【詳解】（1）雙曲線的實(shí)軸長為4，則，即，
雙曲線離心率為，則雙曲線是等軸雙曲線，得．
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線QA，QB的斜率均存在，其斜率之積為定值4，證明如下：
過點(diǎn)的直線l，若斜率不存在，則直線方程為，
與雙曲線方程聯(lián)立解得，，.
直線l斜率存在，設(shè)直線斜率為，直線方程為，
雙曲線漸近線方程為，當(dāng)時(shí)，直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，
由，消去得，
設(shè)，，有，，
，
，
當(dāng)直線QA，QB的斜率均存在，
.
所以當(dāng)直線QA，QB的斜率均存在，其斜率之積為定值4.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
解答直線與雙曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
25．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，離心率.
(1)求的方程；
(2)若直線過點(diǎn)且與的右支交于M，N兩點(diǎn)，記的左、右頂點(diǎn)分別為，，直線，的斜率分別為，，證明：為定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析；
【分析】（1）利用離心率的概念求出即可；
（2）根據(jù)直線過定點(diǎn)設(shè)出直線，聯(lián)立，分別求出斜率，最后得到斜率的比值即可．
【詳解】（1）因?yàn)榈挠医裹c(diǎn)為，所以的半焦距，
又離心率為，所以，所以，所以，
故的方程為.
（2）易知，.
設(shè)，，易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
由，消去x可得，
，且
又因?yàn)橹本€與的右支交于M，N兩點(diǎn)，所以
所以
，
即為定值.
26．（2007·江西·高考真題）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)和的距離分別為和，，且存在常數(shù)，使得．
(1)證明：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
(2)如圖，過點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于兩點(diǎn)．問：是否存在，使是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見解析；.
(2)存在；.
【分析】（1）在中，利用余弦定理得出是一個(gè)常數(shù)，從而動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)的雙曲線，最后求出雙曲線的方程即可；
（2）在中，設(shè),對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)為等腰直角三角形，再利用方程組，求出的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
【詳解】（1）證明：在中，，
因?yàn)榇嬖诔?shù)，使得，故，
∴ （小于2的常數(shù)），
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線，，
雙曲線方程為.
（2）在中，設(shè),
假設(shè)為等腰直角三角形，則 ,
由②與③得，則,
由⑤得，即，又，，
故，故存在滿足題設(shè)條件．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了軌跡方程的求解，考查了雙曲線定義的應(yīng)用以及雙曲線中的探索性問題，解答的關(guān)鍵是利用雙曲線的性質(zhì)結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)得到相應(yīng)等量關(guān)系，進(jìn)而化簡求值,解答時(shí)等量關(guān)系式較多，要注意化簡順序和技巧，可使得計(jì)算簡化，本題綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大．
27．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長大于．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡即可；
（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可．
法二：設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公式和放縮法得，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長最值，再排除邊界值即可．
法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明．
【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡得，
故.
（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則,令，
同理令，且，則，
設(shè)矩形周長為,由對稱性不妨設(shè)，，
則，易知
則令,
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
則，
故,即.
當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,
得證．
法二：不妨設(shè)在上，且，

依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，
則設(shè),的斜率分別為和，由對稱性，不妨設(shè)，
直線的方程為，
則聯(lián)立得，
，則
則，
同理，
令，則，設(shè)，
則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
則，
，
但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.
法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線,
矩形變換為矩形,則問題等價(jià)于矩形的周長大于.
設(shè) , 根據(jù)對稱性不妨設(shè) .
則 , 由于 , 則 .
由于 , 且介于之間,
則 . 令 ,
,則,從而
故
①當(dāng)時(shí),
②當(dāng) 時(shí),由于,從而,
從而又,
故,由此
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故矩形周長大于.
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的第二個(gè)的關(guān)鍵是通過放縮得，同時(shí)為了簡便運(yùn)算，對右邊的式子平方后再設(shè)新函數(shù)求導(dǎo)，最后再排除邊界值即可．
28．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1) 利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；
(2)方法一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，最后化簡計(jì)算可得的值．
【詳解】(1) 因?yàn)椋?br>所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為.
（2）[方法一] 【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立
如圖所示，設(shè),
設(shè)直線的方程為．

聯(lián)立,
化簡得.
則．
故．
則．
設(shè)的方程為，同理．
因?yàn)?，所以?br>化簡得，
所以，即．
因?yàn)?，所以?br>[方法二] ：參數(shù)方程法
設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，
則其參數(shù)方程為，
聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，
可得，
整理得．
設(shè)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得．
設(shè)直線的傾斜角為，，
同理可得
由，得．
因?yàn)?，所以?br>由題意分析知．所以，
故直線的斜率與直線的斜率之和為0．
[方法三]：利用圓冪定理
因?yàn)?，由圓冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．
設(shè),直線的方程為，
直線的方程為,
則二次曲線．
又由，得過A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項(xiàng)的系數(shù)為0，即.
【整體點(diǎn)評】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應(yīng)用到題目中．
方法三：圓冪定理的應(yīng)用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡單．

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