一、注意基礎(chǔ)知識的整合、鞏固。二輪復(fù)習(xí)要注意回歸課本，課本是考試內(nèi)容的載體，是高考命題的依據(jù)。濃縮課本知識，進一步夯實基礎(chǔ)，提高解題的準(zhǔn)確性和速度
二、查漏補缺，保強攻弱。在二輪復(fù)習(xí)中，對自己的薄弱環(huán)節(jié)要加強學(xué)習(xí)，平衡發(fā)展，加強各章節(jié)知識之間的橫向聯(lián)系，針對“一?！笨荚囍械膯栴}要很好的解決，根據(jù)自己的實際情況作出合理的安排。
三、提高運算能力，規(guī)范解答過程。在高考中運算占很大比例，一定要重視運算技巧粗中有細，提高運算準(zhǔn)確性和速度，同時，要規(guī)范解答過程及書寫。
四、強化數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建知識體系。同學(xué)們在聽課時注意把重點要放到理解老師對問題思路的分析以及解法的歸納總結(jié)，以便于同學(xué)們在刷題時做到思路清晰，迅速準(zhǔn)確。
五、解題快慢結(jié)合，改錯反思。審題制定解題方案要慢，不要急于解題，要適當(dāng)?shù)剡x擇好的方案，一旦方法選定，解題動作要快要自信。
六、重視和加強選擇題的訓(xùn)練和研究。對于選擇題不但要答案正確，還要優(yōu)化解題過程，提高速度。靈活運用特值法、排除法、數(shù)形結(jié)合法、估算法等。

專題06 中點弦問題
1、相交弦中點（點差法）
直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情況處理該式子。
主要有以下幾種問題：
（1）求中點坐標(biāo)；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；
中點， ，
橢圓中的中點弦解題步驟:
第一步：若，是橢圓上不重合的兩點，則，
第二步：兩式相減得，
第三步：是直線的斜率，是線段的中點，化簡可得，此種方法為點差法。
特別提醒：
若是橢圓上不垂直于x軸的兩點，是的中點，為橢圓的中心，則直線與的斜率之積為定值
2、同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：
3、設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得； ；
將兩式相減，可得；整理得：
例1、（2021·全國·高二單元測試）橢圓中，以點為中點的弦所在直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)弦的兩端點為A(x1,y1),B(x2,y2)，
代入橢圓得，
兩式相減得，
即，
即，又
即，
即，
∴弦所在的直線的斜率為，
故選：C.
例2、（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)，則，，
則，
兩式相減得：，
∴===，
又==，∴，
聯(lián)立，得.
∴橢圓方程為.
故選：D．
例3、（2022·廣東·清遠市博愛學(xué)校高二階段練習(xí)）已知橢圓的短軸長為，焦點坐標(biāo)分別為和.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)斜率為的直線與橢圓交于?兩點，若線段的中點為，為坐標(biāo)原點，且直線的斜率存在，試判斷與的乘積是否為定值，若是請求出，若不是請說明理由．
【答案】(1)；
(2).
(1)由題可設(shè)橢圓的方程為，
則，
∴
∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
(2)設(shè)，，，，則，，，
兩式相減得，
∴，
而弦的中點，則有，
所以，即k與kOP的乘積為定值.
例4、（2023上·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓.
(1)求過點且被點平分的弦所在直線的方程；
(2)過點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用“點差法”求出直線的斜率，利用點斜式求出直線方程，從而可得結(jié)論；
（2）設(shè)過點的直線與橢圓截得的弦的中點，交點為，利用點差法分析求解．
【詳解】（1）因為，
所以在橢圓的內(nèi)部，則所求弦必然存在，
設(shè)這條弦與橢圓交于點，
由中點坐標(biāo)公式知，
把代入，則，
作差整理得，可得，
所以這條弦所在的直線方程為，即.
（2）由題意可知：過點引橢圓的割線的斜率存在且不為0，
設(shè)割線方程為，
聯(lián)立方程，消去得，
則，解得，
設(shè)過點的直線與橢圓截得的弦的中點，交點為，
根據(jù)橢圓性質(zhì)可知，則，
令，則，
可得，
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，可知，
則，所以，
則，可得，
把代入，則，
兩式相減得，整理得，
即，整理得.
【點睛】方法點睛：弦中點問題的解決方法
（1）用“點差法”求解弦中點問題的解題步驟；
（2）對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交．
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：上存在兩點M，N關(guān)于直線對稱，且線段MN中點的縱坐標(biāo)為，則的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【詳解】解：設(shè)，，則，，
兩式相減，得，
即，
，關(guān)于直線對稱，，
又線段中點的縱坐標(biāo)為，線段中點的橫坐標(biāo)為，所以
，解得．
故選：A．
2．（2022·四川省資中縣球溪高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若斜率為的直線與橢圓交于，兩點，且的中點坐標(biāo)為，則___________.
【答案】-1
【詳解】依題意，線段的中點在橢圓C內(nèi)，設(shè)，，
由兩式相減得：，
而，于是得，即，
所以.
3．（2022·全國·高二）已知橢圓：的右焦點為，過點的直線交橢圓于、兩點．若的中點坐標(biāo)為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)，則有①，②，
兩式作差可得：，即，
又，
故，，
所以，
又，解得，
故的方程為.
故選：C
4．（2023上·河北石家莊·高二石家莊市第四中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為，短軸長為2．
(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分．求此弦所在的直線方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由離心率、短軸長及橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù)，即得橢圓方程；
（2）設(shè)直線交橢圓于，將點代入橢圓方程，點差法求直線斜率，最后應(yīng)用點斜式寫出直線方程．
【詳解】（1）由題意，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）令過橢圓內(nèi)一點的直線交橢圓于，
所以，兩式作差得，則，
又，，故直線斜率為，
所以直線為，即.
例5、（2022·廣東·普寧市華美實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）過點作斜率為的直線與雙曲線相交于，兩點，若是線段的中點，則雙曲線的離心率為___________.
【答案】##
【詳解】解：設(shè)，，，，則①，②，
是線段的中點，
，，
直線的方程是，
，
過點作斜率為的直線與雙曲線相交于，兩點，是線段的中點，
①②兩式相減可得，即，
．
故答案為：．
例6、（2022上·湖北孝感·高二校考期末）已知雙曲線，過點且被平分的弦所在的直線斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用點差法求出斜率即可．
【詳解】設(shè)，因為點在雙曲線上，
所以，
兩式相減得到，
因為過點且被平分，
所以，代入上式可得，
故選：C
例7、（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的離心率，雙曲線上任意一點到其右焦點的最小距離為．
（1）求雙曲線的方程．
（2）過點是否存在直線，使直線與雙曲線交于，兩點，且點是線段的中點？若直線存在，請求直線的方程：若不存在，說明理由．
【答案】（1）；（2）這樣的直線不存在，證明見解析．
【詳解】（1）由題意可得，當(dāng)為右頂點時，可得到右焦點的距離最小，即有，解得，，，可得雙曲線的方程為；
（2）過點假設(shè)存在直線，使直線與雙曲線交于，兩點，且點是線段的中點．
設(shè)，，可得，，
兩式相減可得，由中點坐標(biāo)公式可得，，可得直線的斜率為，即有直線的方程為，，即為，
代入雙曲線的方程，可得，由判別式為，可得方程無實數(shù)解．故這樣的直線不存在．
例8、（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線()經(jīng)過點，其漸近線方程為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？請說明理由．
【答案】(1)；
(2)不能，證明見解析；
【分析】（1）由漸近線方程求得一個關(guān)系，再代入點的坐標(biāo)，可解得得雙曲線方程；
（2）設(shè)出交點坐標(biāo)，若是線段的中點，利用點差法求出直線l方程，再聯(lián)直線與雙曲線查看是否有解，即可判斷．
【詳解】（1）由題雙曲線()經(jīng)過點，其漸近線方程為，
所以，，
解得，
所以雙曲線C的方程為：.
（2）
當(dāng)直線l垂直x軸時，直線l的方程為，此時直線l與雙曲線只有一個交點，不滿足；
當(dāng)直線l不垂直x軸時，斜率存在，
設(shè)，
所以，
兩式作差得，
即，
若是線段的中點，則，
則，
所以直線l的斜率，
則直線l的方程為，
將直線l與雙曲線聯(lián)立，得，
，方程無解，
所以這樣的直線不存在，即點P不能是線段的中點．
1．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點．若的中點坐標(biāo)為，則E的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，由，利用點差法求解．
【詳解】解：設(shè)，
則，兩式相減得，
即，化簡得，
又，解得，
所以雙曲線的方程為： .
故選：D.
2．（2023上·山東煙臺·高二統(tǒng)考期末）已知直線過雙曲線的左焦點，且與的左?右兩支分別交于兩點，設(shè)為坐標(biāo)原點，為的中點，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由點差法得，由條件知直線的傾斜角為傾斜角的兩倍，代入兩直線的斜率關(guān)系式即可求得的斜率．
【詳解】設(shè),
由均在上，為的中點，
得，則，
∴，
∴，
設(shè)直線的傾斜角為，則，不妨設(shè)為銳角，
∵是以為底邊的等腰三角形，∴直線的傾斜角為，則.
∴，
∴，解得，
∴由對稱性知直線的斜率為.
故選：D
【點睛】中點弦定理：直線與橢圓（雙曲線）交于兩點，中點為，則有，（為坐標(biāo)原點）
此題解答過程中中點弦定理起了核心作用，通過中點弦定理建立了與的關(guān)系，另一方面通過是以為底邊的等腰三角形可能建立兩直線傾斜角的關(guān)系，從而得到所求直線的斜率．
3．（2024上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，是雙曲線：上的兩點，點是線段的中點．
(1)求直線的方程；
(2)若線段的垂直平分線與相交于，兩點，證明：，，，四點共圓．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）通過作差法求解直線的斜率，然后求解直線方程；
（2）首先求解出線段中垂線的方程為：，然后求解中點，最后證明驗證即可證明；
【詳解】（1）依題意，直線的斜率必定存在，設(shè)其斜率為，，，
所以，，所以，
又，，所以，
故直線的方程為，即，經(jīng)檢驗，符合題意，
所以直線的方程為.
（2）
證明：由得，
解得或，所以，.
線段中垂線的方程為：，
設(shè)，
由得，
所以，
故的中點，所以，
，
所以，，，在以為圓心，為半徑的圓上，
所以，，，四點共圓．
4．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二期中）已知雙曲線.
(1)若離心率為，求的值，的頂點坐標(biāo)、漸近線方程；
(2)若，是否存在被點平分的弦?如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由．
【答案】(1)，頂點坐標(biāo)，漸近線；
(2)不存在，理由見解析．
(1)，
a＝1，故雙曲線頂點為，漸近線方程為；
(2)當(dāng)時，雙曲線為，
假設(shè)雙曲線存在被點平分的弦，設(shè)弦的兩個端點為，，
則，，
∵A、B在雙曲線上，∴，
①－②得：，
則，
∴弦AB所在直線方程為：，
代入雙曲線方程得，
∵，故AB與雙曲線無交點，假設(shè)不成立．
故不存在被點平分的弦．
例9、（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，直線交于，兩點，若弦的中點的縱坐標(biāo)為，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】設(shè)，則兩式相減．
因為弦AB的中點的縱坐標(biāo)為，所以，
所以直線l的斜率為，故直線l的傾斜角為．
故選：C
例10、（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選題）已知為拋物線的焦點，直線與交于，兩點，弦中點的橫坐標(biāo)為4，，則（ ）
A．的斜率為1B．在軸上的截距為
C．弦中點的縱坐標(biāo)為D．
【答案】ACD
【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理，即可根據(jù)中點關(guān)系求解，進而由弦長公式求解，利用拋物線焦半徑公式即可求解.
【詳解】易得的斜率存在，設(shè)，，，
由得，則由，得.
由，得，
所以，弦中點的縱坐標(biāo)為，.
故ACD正確，B錯誤，
故選：ACD
例11、（2022上·北京東城·高三北京二中?？茧A段練習(xí)）已知A，B是拋物線上的兩點，線段AB的中點為，則直線AB的方程為 ．
【答案】
【分析】先由題意判斷得，再由點差法求得，由此得到，從而利用點斜式即可求得直線AB的方程．
【詳解】依題意，設(shè)，
若，則直線，由拋物線的對稱性可知，線段AB的中點為，顯然不符合題意，故，
因為A，B是拋物線上的兩點，
所以，兩式相減得，，整理得，
因為線段AB的中點為，
所以，即，
又，所以，
所以直線AB的方程為，即.
故答案為：.
例12、（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點為，點在上，，已知.
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因為，所以，即軸，因為拋物線的通徑長為，代入即可得解；
（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，然后利用點差法結(jié)合條件可得斜率進而即得,
【詳解】（1）
因為，
所以，即軸．
令，可得，
，，
所以，得，
故拋物線的方程為.
（2）如圖，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，
則
兩式相減得，整理得.
因為的中點為，
所以，
所以直線的方程為，即.
由直線過點，必和拋物線有兩個交點，
所以直線的方程為.
1．（2022上·浙江·高二校聯(lián)考期中）（多選題）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點，下列說法正確的是（ ）
A．為定值
B．線段的中點在一條定直線上
C．為定值（、分別為直線、的斜率）
D．為定值（為拋物線的焦點）
【答案】BC
【分析】分析可知，，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理可判斷A選項；求出線段中點的縱坐標(biāo)，可判斷B選項；利用斜率公式結(jié)合韋達定理可判斷C選項；利用拋物線的焦半徑公式可判斷D選項．
【詳解】若，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，則，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，
，

對于A選項，不一定是定值，A錯；
對于B選項，設(shè)線段的中點為，則，
為定值，故線段的中點在定直線上，B對；
對于C選項，為定值，C對；
對于D選項，不一定為定值，D錯．
故選：BC.
2．（2021上·上海楊浦·高二上海市控江中學(xué)校考期末）若拋物線的弦被點平分，則此弦所在直線的斜率為 ．
【答案】
【分析】利用點差法可求得該弦所在直線的斜率．
【詳解】設(shè)過點的弦的端點為、，
若直線軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意．
所以，直線的斜率存在，則，
兩式作差可得，
因此，直線的斜率為.
故答案為：.
3．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知為拋物線的焦點，過的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），過線段的中點作軸的垂線，交拋物線于點，交拋物線的準(zhǔn)線于點，為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，直線的斜率為
B．
C．的面積不小于的面積
D．
【答案】ACD
【分析】由拋物線，得，準(zhǔn)線為,設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理可得，，進而得到，．進而結(jié)合拋物線定義可求解A；結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得，進而得到，進而判斷B；結(jié)合弦長公式可求解C；結(jié)合兩點間距離公式可求解D.
【詳解】由拋物線，得，準(zhǔn)線為.
設(shè)直線的方程為，即，設(shè)，，
聯(lián)立，整理得，
則，，
所以，
.
對于A，因為，
所以，即，
聯(lián)立，解得，
所以直線的方程為，即，
即直線的斜率為，故A正確；
對于B，由，，
所以，則，
代入拋物線，得，即，
則，，
所以，故B錯誤；
對于C，，
點到直線的距離為，
點到直線的距離為，
則，
，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以，故C正確；
對于D，，
即，
即，
即，
而，即，
所以，故D正確．
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：解決圓錐曲線與直線相交于兩點問題，常常聯(lián)立直線與曲線方程，利用設(shè)而不求的思想，消元結(jié)合韋達定理可得，，進而求解問題即可．
4．（2023上·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）已知圓的圓心是拋物線的焦點．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線交拋物線于兩點，且點是弦的中點，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圓心是拋物線的焦點，找到拋物線的焦點，從而得到拋物線的方程；
（2）利用點差法，找到直線的斜率，進而求得直線的方程．
【詳解】（1）圓的方程可化為，
故圓心的坐標(biāo)為．
設(shè)拋物線的方程為()，所以，所以，
所以拋物線的方程為．
（2）設(shè)，，則兩式相減，
得，即，
所以直線的斜率．
因為點是的中點，所以，所以．
所以直線的方程為，即．

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2022-2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題專項練習(xí) 專題11 破譯解析幾何中點差法通法（試題+解析版）

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第三講.圓錐曲線問題中的“設(shè)而不求”和“用點差法解圓錐曲線的中點弦問題”

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