高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青團(tuán)員，女生中共有10名共青團(tuán)員．
問(wèn)題1：從該班學(xué)生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？
[提示] eq \f(2,5)．
問(wèn)題2：已知抽出的是女同學(xué)的前提下，該同學(xué)是共青團(tuán)員的概率又是多少？
[提示] eq \f(1,2)．
知識(shí)點(diǎn)1 條件概率
P(A|B)與P(B|A)相同嗎？
[提示] 不同，前者是事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，而后者是事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率．一般情況下，它們也不相等．
當(dāng)題目涉及“在……前提下”等字眼時(shí)，一般為條件概率，如題目中沒(méi)有上述字眼，但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率，也是條件概率．在條件概率的表示中，“|”之后的部分表示條件．
1．(對(duì)接教材)設(shè)某動(dòng)物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物，則它活到25歲的概率是________．
0.5 [根據(jù)條件概率公式知P＝eq \f(0.4,0.8)＝0.5．]
知識(shí)點(diǎn)2 條件概率的性質(zhì)
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B與C互斥，則P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若事件A，B互斥，則P(B|A)＝1．( )
(2)P(B|A)≠P(A∩B)．( )
[答案] (1)× (2)√
類型1 利用定義求條件概率
【例1】 (對(duì)接教材)一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，那么：
(1)先摸出1個(gè)白球不放回，再摸出1個(gè)白球的概率是多少？
(2)先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率是多少？
[解] (1)設(shè)“先摸出1個(gè)白球不放回”為事件A，“再摸出1個(gè)白球”為事件B，則“先后兩次摸出白球”為事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3種結(jié)果，所以P(A)＝eq \f(1,2)，P(A∩B)＝eq \f(2×1,4×3)＝eq \f(1,6)，所以P(B|A)＝eq \f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq \f(1,3)．所以先摸出1個(gè)白球不放回，再摸出1個(gè)白球的概率為eq \f(1,3)．
(2)設(shè)“先摸出1個(gè)白球放回”為事件A1，“再摸出1個(gè)白球”為事件B1，“兩次都摸出白球”為事件A1B1，
P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A1∩B1)＝eq \f(2×2,4×4)＝eq \f(1,4)，
所以P(B1|A1)＝eq \f(P?A1∩B1?,P?A1?)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2)．
所以先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率為eq \f(1,2)．
1．用定義法求條件概率P(B|A)的步驟
(1)分析題意，弄清概率模型；
(2)計(jì)算P(A)，P(A∩B)；
(3)代入公式求P(B|A)＝eq \f(P?A∩B?,P?A?)．
2．結(jié)合古典概型分別求出事件A，B的概率，從而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之間的關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．據(jù)某氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率為eq \f(4,15)，既刮四級(jí)以上的風(fēng)又下雨的概率為eq \f(1,10)．設(shè)事件A為該地區(qū)下雨，事件B為該地區(qū)刮四級(jí)以上的風(fēng)，則P(B|A)＝________．
eq \f(3,8) [由題意知P(A)＝eq \f(4,15)，P(AB)＝eq \f(1,10)，
故P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq \f(3,8)．]
類型2 利用基本事件個(gè)數(shù)求條件概率
在一個(gè)壇子中裝有10個(gè)除顏色外完全相同的玻璃球，其中有2個(gè)紅球，8個(gè)黃球．現(xiàn)從中任取一球后(不放回)，再取一球，則已知第一個(gè)球?yàn)榧t色的情況下第二個(gè)球?yàn)辄S色的概率為多少？
[提示] 法一：依題意，在第一個(gè)球取得紅球的條件下，壇子中還有8個(gè)黃球，而壇子中此時(shí)共有9個(gè)球，故再取一球?yàn)辄S球的概率為eq \f(8,9)．
法二：設(shè)“取出的第一個(gè)球?yàn)榧t色”為事件A，“取出的第二個(gè)球?yàn)辄S色”為事件B，
則P(A)＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，
P(A∩B)＝eq \f(2×8,10×9)＝eq \f(8,45)，
所以P(B|A)＝eq \f(\f(8,45),\f(1,5))＝eq \f(8,9)．
【例2】 現(xiàn)有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)語(yǔ)言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個(gè)節(jié)目，求：
(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．
[思路點(diǎn)撥] 第(1)、(2)問(wèn)屬古典概型問(wèn)題，可直接代入公式；第(3)問(wèn)為條件概率，可以借用前兩問(wèn)的結(jié)論，也可以直接利用基本事件個(gè)數(shù)求解．
[解] 設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件A∩B．
(1)從6個(gè)節(jié)目中不放回地依次抽取2個(gè)的事件數(shù)為n(Ω)＝Aeq \\al(2,6)＝30，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理n(A)＝Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(1,5)＝20，
于是P(A)＝eq \f(n?A?,n?Ω?)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3)．
(2)因?yàn)閚(A∩B)＝Aeq \\al(2,4)＝12，于是P(A∩B)＝eq \f(n?A∩B?,n?Ω?)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5)．
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為
P(B|A)＝eq \f(P?A∩B?,P?A?)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5)．
法二：因?yàn)閚(A∩B)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝eq \f(n?A∩B?,n?A?)＝eq \f(12,20)＝eq \f(3,5)．
[母題探究]
(變結(jié)論)本例條件不變，試求在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到語(yǔ)言類節(jié)目的概率．
[解] 設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到語(yǔ)言類節(jié)目為事件C，則第1次抽到舞蹈節(jié)目、第2次抽到語(yǔ)言類節(jié)目為事件A∩C．
n(A)＝Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(1,5)＝20，
n(A∩C)＝Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(1,2)＝8，
∴P(C|A)＝eq \f(n?A∩C?,n?A?)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)．
1．兩種求條件概率的方法：法一為定義法，法二利用基本事件個(gè)數(shù)直接作商，是一種重要的求條件概率的方法．
2．計(jì)算條件概率的方法
(1)在縮小后的樣本空間ΩA中計(jì)算事件B發(fā)生的概率，即P(B|A)．
(2)在原樣本空間Ω中，先計(jì)算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq \f(P?A∩B?,P?A?)，計(jì)算求得P(B|A)．
類型3 條件概率的綜合應(yīng)用
【例3】 一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個(gè)．某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘了密碼的最后一位數(shù)字．求：
(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率；
(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率．
[思路點(diǎn)撥] (1)不超過(guò)2次，即第1次按對(duì)或第1次未按對(duì)第2次按對(duì)；
(2)條件概率，利用互斥事件的條件概率公式求解．
[解] 設(shè)第i次按對(duì)密碼為事件Ai(i＝1，2)，則A＝A1∪(eq \(A,\s\up6(－))1A2)表示不超過(guò)2次按對(duì)密碼．
(1)因?yàn)槭录嗀1與事件eq \(A,\s\up6(－))1A2互斥，
由概率的加法公式得
P(A)＝P(A1)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1A2)＝eq \f(1,10)＋eq \f(9×1,10×9)＝eq \f(1,5)．
(2)用B表示最后一位按偶數(shù)的事件，則P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq \(A,\s\up6(－))1A2)|B)＝eq \f(1,5)＋eq \f(4×1,5×4)＝eq \f(2,5)．
1．利用公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使條件概率的計(jì)算較為簡(jiǎn)單，但應(yīng)注意這個(gè)性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”．
2．為了求復(fù)雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個(gè)或多個(gè)互斥事件，求出簡(jiǎn)單事件的概率后，相加即可得到復(fù)雜事件的概率．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球，設(shè)有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球，4個(gè)白球，從中依次摸2個(gè)球，求在第1個(gè)球是紅球的條件下，第2個(gè)球是黃球或黑球的概率．
[解] 設(shè)“摸出第1個(gè)球?yàn)榧t球”為事件A，“摸出第2個(gè)球?yàn)辄S球”為事件B，“摸出第2個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨏．
則P(A)＝eq \f(1,10)，P(A∩B)＝eq \f(1×2,10×9)＝eq \f(1,45)，P(A∩C)＝eq \f(1×3,10×9)＝eq \f(1,30)．
所以P(B|A)＝eq \f(P?A∩B?,P?A?)＝eq \f(1,45)÷eq \f(1,10)＝eq \f(2,9)， P(C|A)＝eq \f(P?A∩C?,P?A?)＝eq \f(1,30)÷eq \f(1,10)＝eq \f(1,3)．
所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq \f(2,9)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,9)．
所以所求的條件概率為eq \f(5,9)．
1．某班學(xué)生考試成績(jī)中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語(yǔ)文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%．已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他語(yǔ)文也不及格的概率是( )
A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6
A [記“數(shù)學(xué)不及格”為事件A，“語(yǔ)文不及格”為事件B，P(B|A)＝eq \f(P?A∩B?,P?A?)＝eq \f(0.03,0.15)＝0.2，
所以數(shù)學(xué)不及格時(shí)，該學(xué)生語(yǔ)文也不及格的概率為0.2．]
2．拋擲紅、黃兩枚質(zhì)地均勻的骰子，當(dāng)紅色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6時(shí)，兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之積大于20的概率是( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,5)
B [拋擲紅、黃兩枚骰子共有6×6＝36個(gè)基本事件，其中紅色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6的有12個(gè)基本事件，此時(shí)兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之積大于20包含4×6，6×4，6×5，6×6，共4個(gè)基本事件，所求概率為eq \f(1,3)．]
3．已知6個(gè)高爾夫球中有2個(gè)不合格，每次任取1個(gè)，不放回地取兩次．在第一次取到合格高爾夫球的條件下，第二次取到不合格高爾夫球的概率為( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(2,5) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,10)
B [記事件A＝{第一次取到的是合格高爾夫球}，事件B＝{第二次取到不合格高爾夫球}，事件AB＝{第一次取到合格高爾夫球的條件下，第二次取到不合格高爾夫球}．由題意可得事件AB發(fā)生所包含的基本事件數(shù)n(A∩B)＝4×2＝8，事件A發(fā)生所包含的基本事件數(shù)n(A)＝4×5＝20，所以P(B|A)＝eq \f(n?A∩B?,n?A?)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)．]
4．甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，則它是被甲擊中的概率為________．
0.75 [設(shè)“甲擊中目標(biāo)”為事件A，“目標(biāo)被擊中”為事件B，則所求概率為事件B發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率．
∵P(AB)＝0.6，P(B)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8，∴P(A|B)＝eq \f(P?AB?,P?B?)＝eq \f(0.6,0.8)＝0.75．]
5．某種元件用滿6 000小時(shí)未壞的概率是eq \f(3,4)，用滿10 000小時(shí)未壞的概率是eq \f(1,2)，現(xiàn)有一個(gè)此種元件，已經(jīng)用過(guò)6 000小時(shí)未壞，則它能用到10 000小時(shí)的概率為________．
eq \f(2,3) [設(shè)“用滿6 000小時(shí)未壞”為事件A，“用滿10 000小時(shí)未壞”為事件B，則
P(A)＝eq \f(3,4)，P(A∩B)＝P(B)＝eq \f(1,2)，所以P(B|A)＝eq \f(P?A∩B?,P?A?)＝eq \f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq \f(2,3)．]
回顧本節(jié)內(nèi)容，自主完成以下問(wèn)題：
1．求解條件概率應(yīng)注意哪些問(wèn)題？
[提示] (1)在具體問(wèn)題中，必須弄清楚哪是事件A，哪是事件B，即在哪個(gè)事件發(fā)生的條件下，求哪個(gè)事件的概率；
(2)重點(diǎn)抓住“把事件A發(fā)生作為條件”還是“把事件B發(fā)生作為條件”和“A與B同時(shí)發(fā)生”這兩件事；
(3)正確理解事件A∩B，準(zhǔn)確求出P(A∩B)．
(4)要注意結(jié)合題意分析事件A與B的關(guān)系，有時(shí)可從集合知識(shí)的角度來(lái)分析，若事件A發(fā)生時(shí)B一定發(fā)生，而B發(fā)生時(shí)A不一定發(fā)生，則有A?B，且P(A∩B)＝P(A)．
2．如何理解條件概率公式？
[提示] (1)如果知道事件A發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；
(2)已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當(dāng)于AB發(fā)生，要求P(B|A)，相當(dāng)于把A看作新的基本事件空間計(jì)算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)＝eq \f(n?A∩B?,n?A?)＝eq \f(\f(n?A∩B?,n?Ω?),\f(n?A?,n?Ω?))＝eq \f(P?A∩B?,P?A?)．
概率論的起源
概率論滲透到現(xiàn)代生活的方方面面．正如19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說(shuō)：“對(duì)于生活中的大部分，最重要的問(wèn)題實(shí)際上只是概率問(wèn)題．你可以說(shuō)幾乎我們所掌握的所有知識(shí)都是不確定的，只有一小部分我們能確定地了解．甚至數(shù)學(xué)科學(xué)本身，歸納法、類推法和發(fā)現(xiàn)真理的首要手段都是建立在概率論的基礎(chǔ)之上．因此，整個(gè)人類知識(shí)系統(tǒng)是與這一理論相聯(lián)系的……”有趣的是，這樣一門被稱為“人類知識(shí)的最重要的一部分”的數(shù)學(xué)卻直接地起源于人類貪婪的產(chǎn)物——賭博，文明一點(diǎn)的說(shuō)法，就是機(jī)會(huì)性游戲，即靠運(yùn)氣取勝的游戲．
希羅多德在他的巨著《歷史》中記錄道，早在公元前1500年，埃及人為了忘卻饑餓，經(jīng)常聚集在一起擲骰子，后來(lái)，到了公元前1200年，有了立方體的骰子，6個(gè)面上刻上數(shù)字，和現(xiàn)代的賭博工具已經(jīng)沒(méi)有區(qū)別．但概率論的概念直到文藝復(fù)興后才出現(xiàn)，概率論出現(xiàn)如此遲緩，有人認(rèn)為是人類的道德規(guī)范影響了對(duì)賭博的研究——既然賭博被視為不道德的，那么將機(jī)會(huì)性游戲作為科學(xué)研究的對(duì)象也就是大逆不道．第一個(gè)有意識(shí)地計(jì)算賭博勝算的是文藝復(fù)興時(shí)期意大利的卡爾達(dá)諾，他計(jì)算了同時(shí)擲出兩個(gè)骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是哪個(gè)數(shù)字的可能性最大，結(jié)果發(fā)現(xiàn)是“7”．
17世紀(jì)，法國(guó)貴族德·梅勒在骰子賭博中有急事，必須中途停止賭博．雙方各出的30個(gè)金幣的賭資要靠對(duì)勝負(fù)的預(yù)測(cè)進(jìn)行分配，但不知用什么樣的比例分配才算合理．德·梅勒寫信向當(dāng)時(shí)法國(guó)最具聲望的數(shù)學(xué)家帕斯卡請(qǐng)教．帕斯卡又和當(dāng)時(shí)的另一位數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬長(zhǎng)期通信討論．于是，一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支——概率論產(chǎn)生了．概率論從賭博游戲開始，最終服務(wù)于社會(huì)的每一個(gè)角落．
1．在具體情境中，了解條件概率．(難點(diǎn))
2．掌握條件概率的計(jì)算方法．(重點(diǎn))
3．利用條件概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．(易錯(cuò)點(diǎn))
1．通過(guò)條件概率的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．
2．借助條件概率公式解題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
定義
一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)＞0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件概率
表示
P(A|B)
計(jì)算公式
P(A|B)＝eq \f(P?A∩B?,P?B?)

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)電子課本

4.1.1 條件概率

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