數(shù)學(xué)人教B版 (2019)4.1.1 條件概率教案-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

4.1　條件概率與事件的獨立性4.1.1　條件概率學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1．在具體情境中，了解條件概率．(難點)2．掌握條件概率的計算方法．(重點)3．利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題．(易錯點)1．通過條件概率的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助條件概率公式解題，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).情境導(dǎo)學(xué)高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青團(tuán)員，女生中共有10名共青團(tuán)員．問題1：從該班學(xué)生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？問題2：已知抽出的是女同學(xué)的前提下，該同學(xué)是共青團(tuán)員的概率又是多少？1．條件概率定義一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)＞0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為事件概率表示P(A|B)計算公式P(A|B)＝思考：P(A|B)與P(B|A)相同嗎？[提示]　不同，前者是事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，而后者是事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率．2．條件概率的性質(zhì)(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若事件A，B互斥，則P(B|A)＝1. (　　)(2)事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，相當(dāng)于A，B同時發(fā)生． (　　)(3)P(B|A)≠P(A∩B)． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，則P(B|A)＝(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.A　[由P(B|A)＝＝＝，故選A.]3．(教材P43例3改編)設(shè)某動物由出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個20歲的這種動物，則它活到25歲的概率是________．0.5　[根據(jù)條件概率公式知P＝＝0.5.]4．在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品，現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率為________．　[法一：在第一次取到不合格以后，由于不放回，故還有99件產(chǎn)品，其中4件次品，故第二次再次取到不合格產(chǎn)品的概率為.法二：第一次取到不合格的概率為P1＝＝，兩次都取到不合格品的概率為P2＝＝.∴所求概率P＝＝＝.]合作探究利用定義求條件概率【例1】　一個袋中有2個黑球和3個白球，如果不放回地抽取兩個球，記事件“第一次抽到黑球”為A；事件“第二次抽到黑球”為B.(1)分別求事件A，B，A∩B發(fā)生的概率；(2)求P(B|A)．[思路點撥]　首先弄清“這次試驗”指的是什么，然后判斷該問題是否屬于古典概型，最后利用相應(yīng)公式求解．[解]　由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝，P(B)＝＝＝，P(A∩B)＝＝.(2)P(B|A)＝＝＝.1．用定義法求條件概率P(B|A)的步驟(1)分析題意，弄清概率模型；(2)計算P(A)，P(A∩B)；(3)代入公式求P(B|A)＝.2．結(jié)合古典概型分別求出事件A，B的概率，從而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之間的關(guān)系．1．(一題兩空)甲、乙兩市都位于長江下游，根據(jù)一百多年來的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時下雨占12%，記P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，則P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.　　[由公式P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.]利用基本事件個數(shù)求條件概率【例2】　現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．[思路點撥]　第(1)、(2)問屬古典概型問題，可直接代入公式；第(3)問為條件概率，可以借用前兩問的結(jié)論，也可以直接利用基本事件個數(shù)求解．[解]　設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件A∩B.(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的事件數(shù)為n(Ω)＝A＝30，根據(jù)分步計數(shù)原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.(2)因為n(A∩B)＝A＝12，于是P(A∩B)＝＝＝.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)＝＝＝.法二：因為n(A∩B)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝＝＝.(變結(jié)論)本例條件不變，試求在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到語言類節(jié)目的概率．[解]　設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A，第2次抽到語言類節(jié)目為事件C，則第1次抽到舞蹈節(jié)目、第2次抽到語言類節(jié)目為事件A∩C.n(A)＝A×A＝20，n(A∩C)＝A×A＝8，∴P(C|A)＝＝＝.1．本題第(3)問給出了兩種求條件概率的方法，法一為定義法，法二利用基本事件個數(shù)直接作商，是一種重要的求條件概率的方法．2．計算條件概率的方法(1)在縮小后的樣本空間ΩA中計算事件B發(fā)生的概率，即P(B|A)．(2)在原樣本空間Ω中，先計算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝計算求得P(B|A)．條件概率的綜合應(yīng)用[探究問題]先后拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子，已知第一枚出現(xiàn)4點，如何利用條件概率的性質(zhì)求第二枚出現(xiàn)“大于4點”的概率？并求出此概率．[提示]　設(shè)第一枚出現(xiàn)4點為事件A，第二枚出現(xiàn)5點為事件B，第二枚出現(xiàn)6點為事件C.則所求事件為B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.【例3】　一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個．某人在銀行自動提款機(jī)上取錢時，忘了密碼的最后一位數(shù)字．求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率．[思路點撥]　(1)不超過2次，即第1次按對或第1次未按對第2次按對；(2)條件概率，利用互斥事件的條件概率公式求解．[解]　設(shè)第i次按對密碼為事件Ai(i＝1,2)，則A＝A1∪(1A2)表示不超過2次按對密碼．(1)因為事件A1與事件1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝.(2)用B表示最后一位按偶數(shù)的事件，則P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B)＝＋＝.1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使條件概率的計算較為簡單，但應(yīng)注意這個性質(zhì)的使用前提是“B與C互斥”．2．為了求復(fù)雜事件的概率，往往需要把該事件分為兩個或多個互斥事件，求出簡單事件的概率后，相加即可得到復(fù)雜事件的概率．2．在一個袋子中裝有10個球，設(shè)有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．[解]　設(shè)“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第三個球為黑球”為事件C.則P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.所以P(B|A)＝＝÷＝， P(C|A)＝＝÷＝.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.所以所求的條件概率為.課堂小結(jié)對條件概率計算公式的兩點說明1．如果知道事件A發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；2．已知A發(fā)生，在此條件下B發(fā)生，相當(dāng)于AB發(fā)生，要求P(B|A)，相當(dāng)于把A看作新的基本事件空間計算AB發(fā)生的概率，即P(B|A)＝＝＝.1．某班學(xué)生考試成績中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%.已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他語文也不及格的概率是(　　)A．0.2　　　 B．0.33　　　C．0.5 D．0.6A　[記“數(shù)學(xué)不及格”為事件A，“語文不及格”為事件B，P(B|A)＝＝＝0.2，所以數(shù)學(xué)不及格時，該生語文也不及格的概率為0.2.]2．拋擲紅、黃兩枚質(zhì)地均勻的骰子，當(dāng)紅色骰子的點數(shù)為4或6時，兩枚骰子的點數(shù)之積大于20的概率是(　　)A.　　　B.　 C.　　　D.B　[拋擲紅、黃兩枚骰子共有6×6＝36個基本事件，其中紅色骰子的點數(shù)為4或6的有12個基本事件，此時兩枚骰子點數(shù)之積大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6，共4個基本事件，所求概率為.]3．把一枚硬幣投擲兩次，事件A＝{第一次出現(xiàn)正面}，B＝{第二次出現(xiàn)正面}，則P(B|A)＝________.　[∵P(A∩B)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝.]4．某種元件用滿6 000小時未壞的概率是，用滿10 000小時未壞的概率是，現(xiàn)有一個此種元件，已經(jīng)用過6 000小時未壞，則它能用到10 000小時的概率為________．　[設(shè)“用滿6 000小時未壞”為事件A，“用滿10 000小時未壞”為事件B，則P(A)＝，P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.]5．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的條件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率．[解]　設(shè)事件A為“周日值班”，事件B為“周五值班”，事件C為“周六值班”，則P(A)＝，P(AB)＝，P(AC)＝，所以P(B|A)＝＝，P(C|A)＝＝.故他在周六晚上或周五晚上值班的概率為P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝.

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