5．4　統(tǒng)計與概率的應(yīng)用 【課程標(biāo)準(zhǔn)】結(jié)合事例，利用統(tǒng)計和概率的知識，可解決生活中的一些難題．   新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教 材 要 點知識點　概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，它已經(jīng)滲透到人們的日常生活中，成為一個常用的詞匯，任何事件的概率是0～1之間的一個數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性．小概率事件(概率接近0)很少發(fā)生，而大概率事件(概率接近1)則經(jīng)常發(fā)生． 狀元隨筆　用概率描述事物發(fā)生的可能性準(zhǔn)確嗎？概率是對未發(fā)生事件的估計，單獨對一個事件來說不一定準(zhǔn)確；但對大量事件來說，概率是有很強的說服力的．  基 礎(chǔ) 自 測1．已知某廠的產(chǎn)品合格率為90%，現(xiàn)抽出10件產(chǎn)品檢查，則下列說法正確的是(　　)A．合格產(chǎn)品少于9件　　     B．合格產(chǎn)品多于9件C．合格產(chǎn)品正好是9件     D．合格產(chǎn)品可能是9件2．在北京消費季活動中，某商場為促銷舉行購物抽獎活動，規(guī)定購物消費每滿200元就可以參加一次抽獎活動，中獎的概率為.那么以下理解正確的是(　　)A．某顧客抽獎10次，一定能中獎1次B．某顧客抽獎10次，可能1次也沒中獎C．某顧客消費210元，一定不能中獎 D．某顧客消費1 000元，至少能中獎1次3．今天北京降雨的概率是80%，上海降雨的概率是20%，下列說法不正確的是(　　)A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B．上海今天可能降雨，而北京可能不降雨C．北京和上海都可能不降雨D．北京降雨的可能性比上海大4．玲玲和倩倩是一對好朋友，她倆都想去觀看周杰倫的演唱會，可手里只有一張票，怎么辦呢？玲玲對倩倩說：“我向空中拋兩枚同樣的一元硬幣，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后兩面一樣，你就去！”你認(rèn)為這個游戲公平嗎？答：________．    課堂探究·素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性題型1　概率的穩(wěn)定性[經(jīng)典例題]例1　新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應(yīng)的男嬰數(shù)．通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.根據(jù)“性別比”的定義和抽樣調(diào)查結(jié)果，可以計算男嬰出生的頻率；由頻率的穩(wěn)定性，可以估計男嬰的出生率．(1)分別估計我國2014年和2015年男嬰的出生率(新生兒中男嬰的比率，精確到0.001)；    (2)根據(jù)估計結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？          方法歸納利用概率的穩(wěn)定性解題的三個關(guān)注點(1)概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機事件A的本質(zhì)屬性，隨機事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的頻率的近似值．(2)由概率的定義我們可以知道隨機事件A在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．(3)正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗或某一個具體的事件．   跟蹤訓(xùn)練1　(1)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是99.99%，這說明(　　)A．該廠生產(chǎn)的10 000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件B．該廠生產(chǎn)的10 000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9 999件C．合格率是99.99%，很高，說明該廠生產(chǎn)的10 000件產(chǎn)品中沒有不合格產(chǎn)品D．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%(2)設(shè)有外形完全相同的兩個箱子，甲箱有99個白球和1個黑球，乙箱有1個白球和99個黑球，今隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結(jié)果取得白球．問這球是從哪一個箱子中取出的．      狀元隨筆　解題的依據(jù)是利用概率的穩(wěn)定性．根據(jù)每個箱子中抽到白球的概率進(jìn)行判斷．  題型2　概率的公平性[經(jīng)典例題]例2　如圖所示，有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的均勻轉(zhuǎn)盤A，B，轉(zhuǎn)盤A被平均分成3等份，分別標(biāo)上1，2，3三個數(shù)字；轉(zhuǎn)盤B被平均分成4等份，分別標(biāo)上3，4，5，6四個數(shù)字．現(xiàn)為甲、乙兩人設(shè)計游戲規(guī)則：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向一個數(shù)字，將指針?biāo)傅膬蓚€數(shù)字相加，如果和是6，那么甲獲勝，否則乙獲勝，你認(rèn)為這個規(guī)則公平嗎？       狀元隨筆　先將轉(zhuǎn)盤A，B指針?biāo)玫慕Y(jié)果都列表出來，然后觀察和是6的情況有幾種，即得甲獲勝的概率，那么，乙獲勝的概率便知；再判斷兩者是否相等即可．   方法歸納游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的．(2)具體判斷時，可以按所給規(guī)則，求出雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較．   跟蹤訓(xùn)練2　李紅和張明正在玩擲骰子游戲，兩人各擲一枚骰子．(1)當(dāng)兩枚骰子的點數(shù)之和大于7時，李紅得1分，否則張明得1分．這個游戲公平嗎？為什么？如果不公平，請你提出一個對雙方公平的游戲規(guī)則．     (2)“兩枚骰子的點數(shù)之積為偶數(shù)時，李紅得1分，否則張明得1分”．這樣是否公平？           題型3　概率的應(yīng)用例3　某地區(qū)公共衛(wèi)生部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查中使用了兩個問題．問題1：你父親的陽歷生日日期是不是奇數(shù)？(一年以365天計算)問題2：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計了一個隨機化裝置，這是一個裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子．每個被調(diào)查者隨機從袋中摸出1個球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的學(xué)生如實回答第一個問題，摸到紅球的學(xué)生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于問題的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題也是別人不知道的，因此被調(diào)查者可以毫無顧慮地給出符合實際情況的答案．請問：如果在這200人中，共有58人回答“是”，你能估計出此地區(qū)中學(xué)生吸煙人數(shù)的百分比嗎？       方法歸納概率的實際應(yīng)用(1)由于概率體現(xiàn)了隨機事件發(fā)生的可能性，所以在現(xiàn)實生活中我們可以根據(jù)隨機事件概率的大小去預(yù)測事件能否發(fā)生．從而對某些事情作出決策．當(dāng)某隨機事件的概率未知時，可用樣本出現(xiàn)的頻率去近似估計總體中該事件發(fā)生的概率．(2)在進(jìn)行社會調(diào)查或心理咨詢時，由于有些問題比較敏感，或是涉及隱私等難于啟齒，可以通過概率解決，設(shè)計問題時要注意巧妙性，一是易于回答，二是只有被調(diào)查者知道答案．   跟蹤訓(xùn)練3　某社區(qū)為了解該社區(qū)退休老人每天的平均戶外活動時間，從該社區(qū)退休老人中隨機抽取了100位老人進(jìn)行調(diào)查，獲得了每人每天的平均戶外活動時間(單位：時)，活動時間按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9組，制成樣本的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求圖中a的值；    (2)估計該社區(qū)退休老人每人每天的平均戶外活動時間的中位數(shù)；    (3)在[1，1.5)，[1.5，2)這兩組中采用分層抽樣的方法抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求抽取的2人恰好在同一個組的概率．                              5．4　統(tǒng)計與概率的應(yīng)用新知初探·自主學(xué)習(xí)[基礎(chǔ)自測]1．解析：根據(jù)概率意義知選D.答案：D2．解析：中獎概率表示每一次抽獎中獎的可能性都是，故不論抽獎多少次，都可能一次也不中獎．答案：B3．解析：北京降雨的概率大于上海降雨的概率，說明北京降雨的可能性比上海大，兩個城市都可能降雨，也可能不降雨，但不能確定北京今天一定降雨，上海一定不降雨．答案：A4．解析：出現(xiàn)“一正一反”這個結(jié)果的概率為，出現(xiàn)“兩面一樣”這個結(jié)果的概率也為，所以這個游戲公平．答案：公平課堂探究·素養(yǎng)提升例1　【解析】　(1)2014年男嬰出生的頻率為≈0.537，2015年男嬰出生的頻率為≈0.532.由此估計，我國2014年男嬰出生率約為0.537，2015年男嬰出生率約為0.532.(2)由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度．因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)合格率是99.99%，是指該工廠生產(chǎn)的每件產(chǎn)品合格的可能性大小，即合格的概率．(2)甲箱中有99個白球和1個黑球，故隨機地取出一球，得白球的可能性是；乙箱中有1個白球和99個黑球，從中任取一球，得到白球的可能性是，由此看出，這一白球從甲箱中抽取的概率比從乙箱中抽取的概率大得多．由極大似然法知，既然在一次抽樣中抽到白球，可以認(rèn)為是從概率大的箱子中抽取的．所以我們作出統(tǒng)計推斷該白球是從甲箱中抽取的．答案：(1)D　(2)見解析例2　【解析】　列表如下：   B A　3456145672567836789由表可知，可能的結(jié)果有12種，和為6的結(jié)果只有3種．因此，甲獲勝的概率為＝，乙獲勝的概率為＝，甲、乙獲勝的概率不相等，所以這個游戲規(guī)則不公平．跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)所有可能情況如表： 123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表格可知P(和大于7)＝＝，P(和小于或等于7)＝＝.由題意可知，李紅得分的概率為，張明得分的概率為，所以這個游戲?qū)罴t不公平．對雙方公平的游戲規(guī)則(答案不唯一)：點數(shù)之和大于7時，李紅得1分，點數(shù)之和小于7時，張明得1分，點數(shù)之和等于7時，雙方均不得分．(2)所有情況有36種，乘積為偶數(shù)的有27種，所以P(積為偶數(shù))＝，P(積為奇數(shù))＝.所以這樣游戲不公平．例3　【解析】　由題意可知，每個學(xué)生從口袋中摸出1個白球或紅球的可能性都是0.5，即我們期望大約有100人回答了第一個問題，另100人回答了第二個問題．在摸出白球的情況下，回答父親陽歷生日日期是奇數(shù)的概率是≈0.51.因而在回答第一個問題的100人中，大約有51人回答了“是”，所以我們能推出，在回答第二個問題的100人中，大約有7人回答了“是”，即此地區(qū)大約有7%的中學(xué)生吸煙．跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)由頻率分布直方圖，可知平均戶外活動時間在[0，0.5)內(nèi)的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，平均戶外活動時間在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]內(nèi)的頻率分別為0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a，解得a＝0.30.(2)設(shè)中位數(shù)為m時．因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，所以2≤m<2.5.所以0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.故可估計該社區(qū)退休老人每人每天的平均戶外活動時間的中位數(shù)為2.06時．(3)由題意得平均戶外活動時間在[1，1.5)，[1.5，2)內(nèi)的人數(shù)分別為15，20，按分層抽樣的方法在[1，1.5)，[1.5，2)內(nèi)分別抽取3人、4人，從7人中隨機抽取2人，共有＝21種方法，抽取的兩人恰好都在同一個組有＝9種方法，故抽取的2人恰好在同一個組的概率P＝＝.

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5.4 統(tǒng)計與概率的應(yīng)用

版本： 人教B版 (2019)

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