人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第4章4-1-2第1課時乘法公式學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

4.1.2　乘法公式與全概率公式第1課時　乘法公式小明在登錄電子郵箱時，發(fā)現(xiàn)忘了密碼的最后一位，只記得是數(shù)字0～9中的任意一個．問題：他在嘗試登錄時，第一次失敗，第二次成功的概率是多少？ [提示]　eq \f(9,10)×eq \f(1,9)＝eq \f(1,10)．知識點　乘法公式及其推廣 (1)乘法公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0． (2)乘法公式的推廣：設(shè)Ai表示事件，i＝1，2，3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，則P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．其中P(A3|A1A2)表示已知A1與A2都發(fā)生時A3發(fā)生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同時發(fā)生的概率．　P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之間存在怎樣的等量關(guān)系？ [提示]　P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0． 1．已知P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,5)，則P(AB)等于(　　) A．eq \f(5,6) B．eq \f(9,10) C．eq \f(2,15) D．eq \f(1,15) C　[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15)，故選C．] 2．若P(B|A)＝eq \f(1,3)，則P(eq \o(B,\s\up6(－))|A)＝________． eq \f(2,3)　[P(eq \o(B,\s\up6(－))|A)＝1－P(B|A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)．] 類型1　乘法公式及其應(yīng)用利用乘法公式解決實際問題的一般步驟是什么？ [提示]　(1)判斷該應(yīng)用題是否可應(yīng)用乘法公式求解； (2)根據(jù)已知條件表示出各事件的概率； (3)代入乘法公式求出所要求的概率．【例1】　一袋中裝10個球，其中3個黑球、7個白球，先后兩次從中隨意各取一球(不放回)，求兩次取到的均為黑球的概率． [解]　設(shè)Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1，2)，則A1A2表示事件“兩次取到的均為黑球”．由題設(shè)知P(A1)＝eq \f(3,10)，P(A2|A1)＝eq \f(2,9)，于是根據(jù)乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(3,10)×eq \f(2,9)＝eq \f(1,15)． [母題探究] 1．(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率． [解]　用A表示第一次取得黑球，則P(A)＝eq \f(3,10)，用B表示第二次取得白球，則P(B|A)＝eq \f(7,9)．故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(3,10)×eq \f(7,9)＝eq \f(7,30)． 2．(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下，兩次均取得白球的概率． [解]　用Bi表示第i次取得白球，i＝1，2，則B1B2表示事件“兩次取到的均是白球”．由題意得P(B1)＝eq \f(7,10)，P(B2|B1)＝eq \f(2,3)． ∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝eq \f(7,10)×eq \f(2,3)＝eq \f(7,15)．乘法公式給出了一種計算“積事件”概率的求法，即當直接計算P(AB)不好計算時，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解即可． [跟進訓(xùn)練] 1．某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格品中有75件一等品，則在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率為________． 0.72　[設(shè)A為“任取的一件是合格品”，B為“任取的一件是一等品”．因為P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))＝96%，P(B|A)＝75%，且事件B發(fā)生時事件A一定發(fā)生，所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72．] 類型2　乘法公式的推廣及應(yīng)用【例2】　設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為eq \f(1,2)，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為eq \f(7,10)，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為eq \f(9,10)．試求透鏡落下三次而未打破的概率． [解]　以Ai(i＝1，2，3)表示事件“透鏡第i次落下打破”，以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”，則B＝eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2eq \o(A,\s\up6(－))3，故有P(B)＝P(eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2eq \o(A,\s\up6(－))3)＝P(eq \o(A,\s\up6(－))1)·P(eq \o(A,\s\up6(－))2|eq \o(A,\s\up6(－))1)P(eq \o(A,\s\up6(－))3|eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))＝eq \f(3,200)．該類問題在概率中被稱為“機遇問題”，求解的關(guān)鍵是分清事件之間的互相關(guān)系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1) P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)求解． [跟進訓(xùn)練] 2．在100件產(chǎn)品中有5件是次品，從中連續(xù)不放回地抽取3次，問第三次才取得次品的概率．(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字) [解]　設(shè)Ai表示“第i次取得次品”(i＝1，2，3)，B表示“第三次才取到次品”，則B＝eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2A3， ∴P(B)＝P(eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2A3)＝P(eq \o(A,\s\up6(－))1)P(eq \o(A,\s\up6(－))2|eq \o(A,\s\up6(－))1)P(A3|eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2)＝eq \f(95,100)×eq \f(94,99)×eq \f(5,98)≈0.046．類型3　乘法公式的綜合應(yīng)用 1．P(B|A)與P(eq \o(B,\s\up6(－))|A)存在怎樣的等量關(guān)系？ [提示]　P(B|A)＋P(eq \o(B,\s\up6(－))|A)＝1． 2．若A1，A2，A3是互斥事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，則A1∪A2∪A3的對立事件與eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2eq \o(A,\s\up6(－))3相同嗎？ [提示]　相同．【例3】　把外形相同的球分裝在三個盒子中，每盒10個．其中，第一個盒子中有7個球標有字母A，3個球標有字母B；第二個盒子中有紅球和白球各5個；第三個盒子中有紅球8個，白球2個．試驗按如下規(guī)則進行：先在第一個盒子中任取一球，若取得標有字母A的球，則在第二個盒子中任取一個球；若第一次取得標有字母B的球，則在第三個盒子中任取一個球．如果第二次取出的是紅球，則稱試驗成功，求試驗成功的概率． [思路點撥]　本題可借助互斥事件及乘法公式進行求解． [解]　設(shè)A表示從第一個盒子中取得標有字母A的球， B表示從第一個盒子中取得標有字母B的球， R表示第二次取出的球是紅球，則容易求得P(A)＝eq \f(7,10)，P(B)＝eq \f(3,10)，P(R|A)＝eq \f(1,2)， P(R|B)＝eq \f(4,5)，事件“試驗成功”表示為AR∪BR，又事件AR與事件BR互斥，故由概率的加法公式，得 P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR) ＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B) ＝eq \f(1,2)×eq \f(7,10)＋eq \f(4,5)×eq \f(3,10)＝0.59．分解計算，代入求值，為了求比較復(fù)雜事件的概率，一般先把它分解成兩個(或若干個)互不相容的較簡單的事件之和，求出這些簡單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率． [跟進訓(xùn)練] 3．某種疾病能導(dǎo)致心肌受損害，若第一次患該病，則心肌受損害的概率為0.3，第一次患病心肌未受損害而第二次再患該病時，心肌受損害的概率為0.6，試求某人患病兩次心肌未受損害的概率． [解]　設(shè)A1＝“第一次患病心肌受損害”，A2＝“第二次患病心肌受損害”，則所求概率為P(eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2)．由題意可知：P(A1)＝0.3，P(A2|eq \o(A,\s\up6(－))1)＝0.6．又P(eq \o(A,\s\up6(－))1)＝1－P(A1)＝0.7， P(eq \o(A,\s\up6(－))2|eq \o(A,\s\up6(－))1)＝1－P(A2|eq \o(A,\s\up6(－))1)＝0.4，所以P(eq \o(A,\s\up6(－))1eq \o(A,\s\up6(－))2)＝P(eq \o(A,\s\up6(－))1)P(eq \o(A,\s\up6(－))2|eq \o(A,\s\up6(－))1)＝0.7×0.4＝0.28． 1．某種電路開關(guān)閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是eq \f(1,2)，在第一次閉合出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合還出現(xiàn)紅燈的概率是eq \f(1,3)，則兩次閉合都出現(xiàn)紅燈的概率為(　　) A．eq \f(1,6)　　　B．eq \f(5,6)　　　C．eq \f(1,3)　　　D．eq \f(2,3) A　[記第一次閉合出現(xiàn)紅燈為事件A，第二次閉合出現(xiàn)紅燈為事件B，則P(A)＝eq \f(1,2)，P(B|A)＝eq \f(1,3)，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)．] 2．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率是________． 0.72　[設(shè)“種子發(fā)芽”為事件A，“幼苗成活”為事件B，則“種子成長為幼苗”為事件A∩B，則P(A)＝0.9，又種子發(fā)芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.72．] 3．已知某品牌的手機從1 m高的地方掉落時，屏幕第一次未碎掉的概率為0.5，當?shù)谝淮挝此榈魰r第二次也未碎掉的概率為0.3，這樣的手機從1 m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率為________． 0.15　[設(shè)Ai＝“第i次掉落手機屏幕沒有碎掉”，i＝1，2，則由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15，即這樣的手機從1 m高的地方掉落兩次后屏幕仍未碎掉的概率為0.15．] 回顧本節(jié)內(nèi)容，自主完成以下問題：你是如何理解乘法公式的？ [提示]　(1)乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)進一步揭示了P(A)，P(B|A)及P(AB)三者之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了“知二求一”的轉(zhuǎn)化與化歸思想． (2)該公式同時也給出了“積事件”概率的另一種求解方式，即在事件A，B不相互獨立的前提下可考慮條件概率的變形公式，即乘法公式． 1．掌握乘法公式及其推廣．(重點) 2．會用乘法公式求相應(yīng)事件的概率．(難點)1．通過乘法公式及其推廣的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)． 2．借助乘法公式及其推廣解題，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．