知識梳理1.隨機變量的有關概念(1)隨機變量一般地,對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω,都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應,我們稱X為隨機變量.通常用大寫英文字母表示,例如X,Y,Z; 用小寫英文字母表示隨機變量的取值,例如x,y,z.
分兩類:離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量
(2)離散型隨機變量:可能取值為有限個或可以　　　　　的隨機變量.?
微點撥離散型隨機變量X的每一個可能取值為實數(shù),其實質(zhì)代表的是“事件”,即事件是用一個反映結(jié)果的實數(shù)表示的.
提示 X1不可作為離散型隨機變量, X2可作為離散型隨機變量.
微思考某電子元件的使用壽命X1,擲一枚骰子正面向上的點數(shù)X2,思考X1,X2可作為離散型隨機變量嗎?
2.離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地,設離散型隨機變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個值xi的　　　　　　 　　　為X的概率分布列,簡稱分布列.
有表格、圖形和解析式三種形式?
概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n
(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)①pi　　　0,i=1,2,…,n;?②p1+p2+…+pn=　　　　　　.?
微點撥判斷所求離散型隨機變量的分布列是否正確,可用pi≥0,i=1,2,…,n及p1+p2+…+pn=1檢驗.
3.離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量X的分布列為
(1)均值稱E(X)=　 　　　　　=　　　　　為隨機變量X的均值或數(shù)學期望,數(shù)學期望簡稱期望.?
反映了離散型隨機變量取值的平均水平
x1p1+x2p2+…+xnpn
(2)方差稱D(X)=　　　　　　　為隨機變量X的方差,并稱 為隨機變量X的標準差,記為σ(X).?
用來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度
微點撥1.均值是算術平均值概念的推廣,是概率意義下的平均.2.E(X)是一個實數(shù),由X的分布列唯一確定,即作為隨機變量,X的取值是可變的,可取不同值,而E(X)是不變的.
微思考隨機變量的均值、方差與樣本的均值、方差有何關系?
提示 隨機變量的均值、方差是一個常數(shù),樣本的均值、方差是一個隨機變量,隨觀測次數(shù)的增加或樣本容量的增加,樣本的均值、方差趨于隨機變量的均值、方差.
4.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=　　　　.(a,b為常數(shù))?(2)D(aX+b)=　　　　.(a,b為常數(shù))?常用結(jié)論1.如果X是一個離散型隨機變量且Y=aX+b,其中a,b是常數(shù)且a≠0,那么Y必是離散型隨機變量.2.若X1,X2相互獨立,則E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).3.均值與方差的關系:D(X)=E(X2)-E2(X).4.E(k)=k,D(k)=0,其中k為常數(shù).
對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)離散型隨機變量的分布列中,隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(　　)(2)隨機試驗的結(jié)果與隨機變量是對應關系,即每一個試驗結(jié)果都有唯一的隨機變量的值與之對應.(　　)(3)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況,因此它們是一回事.(　　)(4)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度,方差或標準差越小,則偏離均值的平均程度越小.(　　)
2.某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為
若射擊一次不小于9環(huán)為優(yōu)秀,其射擊一次得優(yōu)秀的概率為　　　　　.?
答案 0.4　解析 由分布列的性質(zhì)得a+b=1-0.3-0.3=0.4,故射擊一次得優(yōu)秀的概率為0.4.
3.已知離散型隨機變量X的分布列為
則變量X的均值E(X)=　　　　　,方差D(X)= 　　　　.?
方法總結(jié)離散型隨機變量的分布列性質(zhì)的應用
對點訓練1(1)(多選)已知隨機變量X的分布列如下表:
(2)某籃球運動員在一次投籃訓練中的得分X的分布列如下表所示,其中a,b,c成等差數(shù)列,且c=ab.
則這名運動員得3分的概率是　 .?
考向1.互斥事件、獨立事件的分布列
例2.(2023山東濟南三模)某校舉行“學習二十大,奮進新征程”知識競賽,知識競賽包含預賽和決賽.(1)下表為某10名同學預賽成績:
求該10名同學預賽成績的上四分位數(shù)(第75百分位數(shù))和平均數(shù);
(2)決賽共有編號為A,B,C,D,E的5道題,學生甲按照A,B,C,D,E的順序依次作答,答對的概率依次為 ,各題作答互不影響.若累計答錯兩道題或五道題全部答完則比賽結(jié)束,記X為比賽結(jié)束時學生甲已作答的題數(shù),求X的分布列和均值.
解 (1)因為10×0.75=7.5,所以上四分位數(shù)為第八個成績,為96,
(2)由題意可知X的可能取值為2,3,4,5,
名師點析在求幾個互斥事件構成的事件的概率時,一般先利用獨立事件的定義求出各個互斥事件發(fā)生的概率,然后用概率加法公式求概率.審題時應注意關鍵詞語,如“至多有一個”“至少有一個”“恰有一個”等.在求復雜事件的概率時,應學會對事件等價分解(互斥事件的和、幾個獨立事件同時發(fā)生),或者考慮結(jié)合對立事件求解,從而使問題變得更易解決.
對點訓練2冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目之一.冰壺比賽的場地如圖所示,
其中左端(投擲線MN的左側(cè))有一個發(fā)球區(qū),運動員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺擲出,使冰壺沿冰道滑行,冰道的右端有一圓形的營壘,以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心O的遠近決定勝負.甲、乙兩人進行投擲冰壺比賽,規(guī)定冰壺的重心落在圓O中,得3分,冰壺的重心落在圓環(huán)A中,得2分,冰壺的重心落在圓環(huán)B中,得1分,其余情況均得0分.已知甲、乙投擲冰壺的
(1)求甲、乙兩人所得分數(shù)相同的概率;(2)設甲、乙兩人所得的分數(shù)之和為X,求X的分布列和均值.
所以隨機變量X的分布列為
考向2.與古典概型有關的分布列典例突破例3.某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽,A中學推薦了3名男生、2名女生,B中學推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當,從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率;(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,設X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列.
解(1)由題意知,參加集訓的男生、女生各有6人.代表隊中的學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)
名師點析1.求古典概型的離散型隨機變量的分布列,要注意應用計數(shù)原理、排列組合的知識求樣本點的點數(shù)及事件A包含的樣本點的個數(shù),然后應用古典概型的概率公式求概率.2.求出分布列后,注意運用分布列的兩條性質(zhì)檢驗所求的分布列是否正確.
對點訓練3某探險隊分為四個小組探險甲、乙、丙三個區(qū)域,若每個小組只能探險一個區(qū)域,且每個小組選擇任何一個區(qū)域是等可能的.(1)求恰有2個小組探險甲區(qū)域的概率;(2)求被探險區(qū)域的個數(shù)X的分布列和均值.
例4.某種傳染病的傳播途徑是通過呼吸傳播,若病人(患了該種傳染病的人)和正常人(沒患該種傳染病的人)都不戴口罩而且交流時距離小于一米時,有90%的概率被傳染,若病人不戴口罩正常人戴口罩且交流時距離小于一米時,有60%的概率被傳染,若病人戴口罩而正常人不戴口罩且交流距離小于一米時,有30%的概率被傳染上,若病人和正常人都戴口罩且交流距離大于一米時不會被傳染.為此對某地經(jīng)常出入某場所的人員通過抽樣調(diào)查的方式對戴口罩情況做了記錄如下表.
假設某人是否戴口罩互相獨立.
(1)求去甲地的男士戴口罩的概率,估計所有去甲地的人戴口罩的概率.(2)若從所有男士中選1人,從所有女士中選2人,用上表的頻率估計概率,求戴口罩人數(shù)X的分布列和均值.(3)上表中男士不戴口罩記為“ξ=0”,戴口罩記為“ξ=1”,確定男士戴口罩的方差為D(ξ);女士不戴口罩記為“η=0”,戴口罩記為“η=1”,確定女士戴口罩的方差為D(η).比較D(ξ)和D(η)的大小,并說明理由.
則戴口罩人數(shù)X的分布列為
100名男士中有50人戴口罩,50人不戴口罩,100名女士中有75人戴口罩,25人不戴口罩,從數(shù)據(jù)分布可看出來女士戴口罩的集中程度要好于男士,所以其方差偏小.
方法總結(jié)求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟
對點訓練4(2023北京房山二模)2021年3月教育部印發(fā)了《關于進一步加強中小學生睡眠管理工作的通知》,該《通知》指出,高中生每天睡眠時間應達到8小時.某學校為了解學生的睡眠情況,從高一和高二年級中隨機各抽取40名學生,統(tǒng)計他們一周平均每天的睡眠時間作為樣本,統(tǒng)計結(jié)果如圖.
(1)從該校高一年級學生中隨機抽取1人,估計該生平均每天的睡眠時間不少于8小時的概率;(2)從該校高二年級學生中隨機抽取2人,這2人中平均每天的睡眠時間為8小時或8.5小時的人數(shù)記為X,求X的分布列和均值E(X);(3)從該校高一年級學生中任取1人,其平均每天的睡眠時間記為Y1,從該校高二年級學生中任取1人,其平均每天的睡眠時間記為Y2,試比較方差D(Y1)與D(Y2)的大小.(只需寫出結(jié)論)
解 (1)記事件A為“從該校高一年級學生中隨機抽取1人,該生平均每天的睡眠時間不少于8小時”,樣本中高一年級學生人數(shù)為3+16+14+7=40,其中平均每天的睡眠時間不少于8小時的人數(shù)為37,則P(A)= .
(2)從高二年級學生中隨機抽取1人,其平均每天的睡眠時間為8小時或8.5小時的概率為P= .X的可能取值為0,1,2.

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