知識(shí)梳理1.事件的相互獨(dú)立性
P(AB)=P(A)P(B)是事件A與B相互獨(dú)立的充要條件
當(dāng)P(A)=0時(shí),我們不定義條件概率
P(B|A)+P(C|A)
微思考P(B|A)與P(A|B)表示的意思相同嗎?
提示 不同.P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率;而P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率.另外從計(jì)算公式上看,
3.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對(duì)任意事件B?Ω,有　　　　　　　　　　　.我們稱(chēng)這個(gè)公式為全概率公式
指的是對(duì)目標(biāo)事件B有貢獻(xiàn)的全部原因?
微點(diǎn)撥求復(fù)雜事件的概率時(shí),可以按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)雜事件表示為兩兩互斥事件的并,就可以使用全概率公式將樣本空間按照某種方式進(jìn)行分割,使原本復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或若干個(gè)簡(jiǎn)單事件,再使用條件概率和乘法公式對(duì)每個(gè)簡(jiǎn)單事件進(jìn)行計(jì)算,最后使用加法公式將所有結(jié)果進(jìn)行相加,就可以準(zhǔn)確便捷地得到結(jié)果.
對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.(　　)(2)對(duì)于任意兩個(gè)事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(　　)(3)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,P(AB)表示事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率.(　　)(4)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B).(　　)
2.設(shè)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員獨(dú)立地射擊同一目標(biāo),他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.8,0.9,則在一次射擊中,目標(biāo)被擊中的概率為　　　　　.?
解析 由題意知目標(biāo)未被擊中的概率是(1-0.8)×(1-0.9)=0.02,所以目標(biāo)被擊中的概率為1-0.02=0.98.
3.甲經(jīng)過(guò)兩個(gè)路口,在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為0.5,兩個(gè)路口都遇到紅燈的概率為0.3,則甲在第一個(gè)路口遇到紅燈的條件下,第二個(gè)路口遇到紅燈的概率為　　　　　.?
解析 設(shè)第一個(gè)路口遇到紅燈為事件A,第二個(gè)路口遇到紅燈為事件B,則P(A)=0.5,P(AB)=0.3,
例1.(1)(2023山東青島一模)某次考試共有4道單選題,某學(xué)生對(duì)其中3道題有思路,另1道題完全沒(méi)有思路.有思路的題目每道做對(duì)的概率為0.8,沒(méi)有思路的題目,只好任意猜一個(gè)答案,猜對(duì)的概率為0.25.若從這4道題中任選2道,則這個(gè)學(xué)生2道題全做對(duì)的概率為(　　)
(2)(多選)(2023山東煙臺(tái)二模)甲、乙兩人參加消防安全知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)共設(shè)三輪,在每輪活動(dòng)中,甲、乙各回答一題,若一方答對(duì)且另一方答錯(cuò),則答對(duì)的一方獲勝,否則本輪平局.已知每輪活動(dòng)中,甲、乙答對(duì)的概率分
答案 (1)C　(2)ABD　
解析 (1)設(shè)事件A表示“2道題全做對(duì)”,若2道題目都有思路,則
故P(A)=P1+P2=0.32+0.1=0.42.故選C.
方法總結(jié)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2023天津,13)甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球,其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球,取到的三個(gè)球都是黑球的概率為　　　　　;將三個(gè)盒子中的球混合后任取一個(gè)球,是白球的概率為　　　　　.?(2)(多選)(2023新高考Ⅱ,12)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí),收到1的概率為α(0

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