知識梳理1.事件的分類
2.頻率與概率一般地,隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用　　　　　來估計概率　　　　.?
從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小
微點撥理解頻數(shù)與頻率需注意:①前提:對于給定的隨機事件A,在相同的條件S下重復n次試驗,觀察事件A是否出現(xiàn).②頻數(shù):指的是n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA.頻率:指的是事件A出現(xiàn)的比
微思考隨機事件A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)別與聯(lián)系?
提示 隨機事件A發(fā)生的頻率是隨機的,而概率是客觀存在的確定的常數(shù),但在大量隨機試驗中,事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近.
3.事件的關系與運算
微點撥定義多個事件的和事件以及積事件.例如,對于三個事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)發(fā)生當且僅當A,B,C中至少一個發(fā)生, A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當且僅當A,B,C同時發(fā)生.
微思考隨機事件A,B互斥與對立有何區(qū)別與聯(lián)系?
提示 當隨機事件A,B互斥時,不一定對立;當隨機事件A,B對立時,一定互斥,即兩事件互斥是對立的必要不充分條件.
4.古典概型(1)具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗,其數(shù)學模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.①有限性:樣本空間的樣本點只有　　　　;?②等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性　　　　.?
判斷一個試驗是否是古典概型的關鍵點
(2)古典概型的概率公式一般地,設試驗E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點,事件A包含其中的k個樣本點,則定義事件A的概率P(A)=　　　 .其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).?
微思考試驗:“種下一粒種子,觀察它是否發(fā)芽”是古典概型嗎?
提示 不是.“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”出現(xiàn)的可能性不相等.
常用結論概率的幾個基本性質性質1:對任意的事件A,都有0≤P(A)≤1.性質2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0.性質3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質4:如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性質5:如果A?B,那么P(A)≤P(B).性質6:設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
對點演練1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(　　)(2)兩個事件的和事件是指兩個事件至少有一個發(fā)生.(　　)(3)若A,B為互斥事件,則P(A)+P(B)=1.(　　)
2.從一批羽毛球中任取一個,其質量小于4.8克的概率為0.3,質量不小于4.85克的概率為0.32,則質量在[4.8,4.85)(單位:克)范圍內的概率為(　　)C.0.7
答案 B　解析 由互斥事件的概率計算公式可得質量在[4.8,4.85)(單位:克)范圍內的概率為P=1-0.3-0.32=0.38.故選B.
3.從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作,則甲、乙都入選的概率為　　　　　.?
解析 設除甲、乙外,其余三名同學為A,B,C.從甲、乙等5名同學中隨機選3名,則所有的可能結果為(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),(甲,A,B),(甲,B,C),(甲,A,C),(乙,A,B),(乙,B,C),(乙,A,C),(A,B,C),共10個.甲、乙都入選的可能結果為(甲,乙,A),(甲,乙,B),(甲,乙,C),有3個.
考向1.隨機事件之間關系的判斷典例突破
例1.(1)在一次隨機試驗中,彼此互斥的事件A,B,C,D發(fā)生的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法正確的是(　　)A.A∪B與C是互斥事件,也是對立事件B.B∪C與D是互斥事件,也是對立事件C.A∪C與B∪D是互斥事件,但不是對立事件D.A與B∪C∪D是互斥事件,也是對立事件
(2)(多選)(2023廣東德琳學校月考)從裝有2個白球和3個紅球的袋子中任取2個球,則(　　)A.“都是紅球”與“都是白球”是互斥事件B.“至少有1個紅球”與“都是白球”是對立事件C.“恰有1個白球”與“恰有1個紅球”是互斥事件D.“至少有1個紅球”與“至少有1個白球”是互斥事件
答案 (1)D　(2)AB　
解析 (1)由于A,B,C,D彼此互斥,且A∪B∪C∪D是一個必然事件,故其事件的關系可由如圖所示的Venn圖表示,由圖可知,任何一個事件與其余3個事件的和事件必然是對立事件,任何兩個事件的和事件與其余兩個事件的和事件也是對立事件.故選D.
(2)“都是紅球”與“都是白球”不能同時發(fā)生,是互斥事件,A正確;“至少有1個紅球”與“都是白球”不能同時發(fā)生,且必有一個發(fā)生,是對立事件,B正確;“恰有1個白球”與“恰有1個紅球”能夠同時發(fā)生(如1紅1白),不是互斥事件,C錯誤;“至少有1個紅球”與“至少有1個白球”能夠同時發(fā)生(如1紅1白),不是互斥事件,D錯誤.故選AB.
方法總結判斷互斥事件、對立事件的兩種方法
對點訓練1 (1)(多選)一個口袋內裝有大小、形狀相同的紅色、綠色和藍色小球各2個,一次任意取出2個小球,則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有(　　)A.2個小球不全為紅球B.2個小球恰有1個紅球C.2個小球至少有1個紅球D.2個小球都為綠球
(2)(多選)(2023江蘇盱眙中學模擬)下列結論正確的是(　　)A.若A,B互為對立事件,P(A)=1,則P(B)=0B.若事件A,B,C兩兩互斥,則事件A與B∪C互斥C.若事件A與B對立,則P(A∪B)=1D.若事件A與B互斥,則它們的對立事件也互斥
答案 (1)BD　(2)ABC　　
解析 (1)口袋內裝有紅色、綠色和藍色小球各2個,一次任意取出2個小球,則樣本空間Ω={(紅,紅),(綠,綠),(藍,藍),(紅,藍),(紅,綠),(藍,綠)},共6種情況.則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有2個小球恰有1個紅球和2個小球都為綠球,故B,D正確;而2個小球不全為紅球與事件2個小球都為紅色是對立事件,故A錯誤;2個小球至少有1個紅球包括2個紅色、1個紅色1個藍色、1個紅色1個綠色,故C錯誤.故選BD.
(2)若A,B互為對立事件,P(A)=1,則A為必然事件,故B為不可能事件,則P(B)=0,故A正確;若事件A,B,C兩兩互斥,即A,B,C不能同時發(fā)生,則A與B∪C也不可能同時發(fā)生,故B正確;若事件A與B對立,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故C正確;若事件A與B互斥但不對立,則它們的對立事件不互斥,例如:從裝有2個紅球和2個白球的袋子中任取兩個球,記事件A:一個紅色,一個白色;事件B:兩個都是紅色;事件C:兩個都是白色,顯然事件A與B互斥
考向2.隨機事件的頻率與概率典例突破例2.某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下:
隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:
(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值;(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”,求P(B)的估計值;(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.
解 (1)事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)小于2.由所給數(shù)據(jù)知,一年內出險次數(shù)小于2的頻率為 =0.55,故P(A)的估計值為0.55.(2)事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數(shù)大于1且小于4.由所給數(shù)據(jù)知,一年內出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為 =0.3,故P(B)的估計值為0.3.
調查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a(元).因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a.
方法總結計算簡單隨機事件的頻率或概率的解題步驟
對點訓練2某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.
解 (1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當且僅當最高氣溫低于25 ℃,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25 ℃的頻率為 =0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25 ℃,則Y=6×450-4×450=900;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高氣溫低于20 ℃,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,所以Y的所有可能值為900,300,-100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20 ℃,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20 ℃的頻率為 =0.8,因此Y大于零的概率的估計值為0.8.
考向3.互斥事件與對立事件的概率典例突破例3.經統(tǒng)計,在某銀行一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下:
求:(1)至多2人排隊等候的概率是多少?(2)至少3人排隊等候的概率是多少?
解 記“0人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)(方法1)記“至少3人排隊等候”為事件H,則H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.(方法2)記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
方法總結求復雜互斥事件概率的兩種方法
對點訓練3(1)人類通常有O,A,B,AB四種血型,某一血型的人能給哪些血型的人輸血,是有嚴格規(guī)定的,輸血法則可歸結為4條:①X→X;②O→X;X→AB;④不滿足上述3條法則的任何關系式都是錯誤的(其中X代表O,A,B,AB中某種血型,箭頭左邊表示供血者,右邊表示受血者).已知我國O,A,B,AB四種血型的人數(shù)所占比例分別為41%,28%,24%,7%,在臨床上,按照規(guī)則,若受血者為A型血,則一位供血者不能為這位受血者正確輸血的概率為(　　)
(2)(2023福建廈門二模)廈門山海健康步道全長約23千米,起于郵輪碼頭,終于觀音山夢幻沙灘,沿線串聯(lián)筼筜湖、狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山、湖邊水庫、五緣灣、虎仔山、觀音山等“八山三水”.市民甲計劃從“八山三水”這11個景點中隨機選取相鄰的3個游覽,則選取的景點中有“水”的概率為(　　)
解析 (1)當受血者為A型血時,供血者可以為A型或O型,即B,AB兩種血型不能為供血者,我國O,A,B,AB四種血型的人數(shù)所占比例分別為41%,28%,24%,7%,所以一位供血者不能為這位受血者正確輸血的概率為P=24%+7%=31%=0.31.故選B.
(2)從11個景點隨機選取相鄰的3個游覽,共有9種情況,選取景點中有“水”的對立事件是在狐尾山、仙岳山、園山、薛嶺山、虎頭山、金山中選取3個相鄰的,共有4種情況,則其概率P= ,從11個景點中隨機選取相鄰的3個游覽,則選取的景點中有“水”的概率P=1- .故選C.
例4.(1)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質的概率為(　　)
(2)(2023全國甲,文4)某校文藝部有4名學生,其中高一、高二年級各2名.從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演,則這2名學生來自不同年級的概率為(　　)
答案 (1)D　(2) D　
(2)由題意,設高一年級2名學生為A,B,高二年級2名學生為C,D,從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6種,這2名學生來自不同年級的組合有AC,AD,BC,BD,共4種,故所求的概率P= .
方法總結古典概型中樣本點個數(shù)的探求方法
對點訓練4(1)(2023全國乙,文9)某學校舉辦作文比賽,共設6個主題,每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文,則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為(　　)
(2)從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為　　　　　.?
解析(1)甲、乙兩位同學各隨機抽取一個主題,共有6×6=36種結果,而甲、乙兩位同學抽到同一個主題的結果有6種,所以甲、乙兩位同學抽到不同
典例突破例5.某市圍繞“貫徹新發(fā)展理念,建設節(jié)水型城市”這一主題,開展了形式多樣、內容豐富的活動,進一步增強全民保護水資源,防治水污染,節(jié)約用水的意識.為了解活動開展成效,某街道辦事處工作人員赴一小區(qū)調查住戶的節(jié)約用水情況,隨機抽取了300名業(yè)主進行節(jié)約用水調查評分,將得到的分數(shù)分成6組:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值,并估計這300名業(yè)主評分的中位數(shù);(2)若先用分層隨機抽樣的方法從評分在[90,95)和[95,100]的業(yè)主中抽取5人,然后再從抽出的這5位業(yè)主中任意選取2人作進一步訪談,求這2人中至少有1人的評分在[95,100]的概率.
解(1)由題意得,(0.025+0.035+a+0.050+0.030+0.020)×5=1,解得a=0.040.又第一組的頻率為0.025×5=0.125,第二組的頻率為0.035×5=0.175,第三組的頻率為0.200,前三組的頻率之和為0.125+0.175+0.200=0.500,故這300名業(yè)主評分的中位數(shù)為85.(2)由頻率分布直方圖,知評分在[90,95)的人數(shù)與評分在[95,100]的人數(shù)的比值為3∶2,采用分層隨機抽樣法抽取5人,評分在[90,95)的有3人,評分在[95,100]的有2人.設評分在[90,95)的3人分別為A1,A2,A3,評分在[95,100]的2人分別為B1,B2,
則從5人中任選2人的樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共10種.其中選取的2人中至少有1人的評分在[95,100]的樣本空間Ω1={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共7種.
名師點析有關古典概型與統(tǒng)計綜合的題型,無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出信息,只需要能夠從題中提煉出需要的信息,此類問題即可解決.
對點訓練5(2023陜西漢中二模)“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心,據(jù)此,某網(wǎng)站調查了人們對生態(tài)文明建設的關注情況,調查數(shù)據(jù)表明,參與調查的人員中關注生態(tài)文明建設的約占80%.現(xiàn)從參與調查的關注生態(tài)文明建設的人員中隨機選出200人,并將這200人按年齡(單位:歲)分組:第1組[15,25),第2組[25,35),第3組[35,45),第4組[45,55),第5組[55,65],得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求a的值和這200人的平均年齡(每一組用該組區(qū)間的中點值作為代表);(2)現(xiàn)在要從年齡在第1,2組的人員中用分層隨機抽樣的方法抽取5人,再從這5人中隨機抽取2人進行問卷調查,求抽取的2人中至少有1人的年齡在第1組中的概率.

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