知識(shí)梳理1.二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理:(a+b)n=　　　　　　　　　　　　　　　　　　,n∈N*.?(2)通項(xiàng):　　　　 　　　,它表示展開式的第k+1項(xiàng).?(3)二項(xiàng)式系數(shù):二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù) (k=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).
字母a,b是一種“符號”,實(shí)際上可以是數(shù)和式
只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而與a,b的值無關(guān)
微點(diǎn)撥二項(xiàng)式系數(shù) (k=0,1,2,…,n)是組合數(shù),它與二項(xiàng)展開式中對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等,應(yīng)注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)這兩個(gè)不同的概念.項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān).如(a+bx)n的展開式中,第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是 ,而該項(xiàng)的系數(shù)是 an-kbk.當(dāng)然,在某些二項(xiàng)展開式中,各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的.
微思考(a+b)n與(b+a)n的展開式有何區(qū)別與聯(lián)系?
提示 (a+b)n的展開式與(b+a)n的展開式的項(xiàng)完全相同,但對應(yīng)的項(xiàng)不相同,兩個(gè)展開式的通項(xiàng)不同.
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
微點(diǎn)撥利用賦值法求二項(xiàng)式系數(shù)的和.
微思考二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí)該項(xiàng)的系數(shù)就最大嗎?
提示 不一定最大.當(dāng)二項(xiàng)式中a,b的系數(shù)為1時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)等于項(xiàng)的系數(shù),則二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí),該項(xiàng)的系數(shù)就最大,否則不一定.
對點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)(a+b)n的展開式中的第k項(xiàng)是 an-kbk.(　　)(2)在二項(xiàng)展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的一項(xiàng)或中間的兩項(xiàng).(　　)(3)通項(xiàng)Tk+1= an-kbk中的a和b不能互換.(　　)(4)在(a+b)n的展開式中,某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同.(　　)
2.在(1+2x)5的展開式中,x2的系數(shù)等于(　　)A.80B.40C.20D.10
3.若 的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15,則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為　　　　　.?
考向1.二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)(或系數(shù))典例突破
(3)二項(xiàng)式 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15,則實(shí)數(shù)a=　　　　　.?
例1.(1)(2023天津,11)在(2x3- )6的展開式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為　　　　　.?(2)設(shè)i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項(xiàng)為　　　　　.?
答案 (1) 60　(2)-15x4　(3)3　
方法歸納求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的步驟
對點(diǎn)訓(xùn)練1(1) 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為(　　)A.-15B.-20C.15D.20
(2)(2023山東泰安一模)若 的展開式中含x6的項(xiàng)的系數(shù)是-16,則實(shí)數(shù)a的值是(　　)A.-2B.-1C.1D.2
答案 (1)B　(2)D　
考向2.已知兩個(gè)因式之積求其特定項(xiàng)(或系數(shù))典例突破
答案 (1)D　(2)28　
方法總結(jié)求兩個(gè)因式之積的特定項(xiàng)(或系數(shù))的兩種常用方法
對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2023遼寧沈陽三模) 的展開式中,含x-2的項(xiàng)的系數(shù)為(　　)A.430D.240(2)(2-x)(2x+1)6的展開式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為　　　　　.?
答案 (1)B　(2)320　
考向3.已知三項(xiàng)式求其特定項(xiàng)(或系數(shù))典例突破例3.(1)(x2+3x-1)5展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為(　　)A.-3B.3C.-15D.15
方法總結(jié)求三項(xiàng)展開式中某些特定項(xiàng)(或系數(shù))的三種方法
對點(diǎn)訓(xùn)練3在(x2-2x+y)6的展開式中,含x5y2的項(xiàng)的系數(shù)為(　　)A.-480B.480C.-240D.240
解析 (x2-2x+y)6看成是6個(gè)(x2-2x+y)相乘,要得到x5y2,需要“從6個(gè)因式中,2個(gè)因式取y,1個(gè)因式取x2,3個(gè)因式取-2x”,此時(shí)含x5y2的的項(xiàng)系數(shù)為
例4.(1)(多選)在 的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128,則(　　)A.二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.各項(xiàng)系數(shù)和為64C.常數(shù)項(xiàng)為-135 D.常數(shù)項(xiàng)為135(2)若(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=(　　)A.28-1D.38
答案 (1)ABD　(2)D　
(2)由題可知,x的奇數(shù)次冪的系數(shù)均為負(fù)數(shù),所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=a0-a1+a2-a3+…+a8.因?yàn)?1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+a8=38,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38.故選D.
名師點(diǎn)析形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法.
(2)已知二項(xiàng)式 的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開式中的有理項(xiàng)系數(shù)和為　　　　　.?
對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2023北京大興?？既?若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=　　　.?
答案 (1)32　(2)65　
所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.令x=-1,可得25=a0-a1+a2-a3+a4-a5=32.(2)因?yàn)檎归_式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,所以2n=64,
(2) 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-1,則該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為　　　　　　　　　.?
例5.(1)(多選)(2023山東青島一模)在 的展開式中,下列說法正確的是(　　)A.常數(shù)項(xiàng)是1 120B.第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等C.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256D.各項(xiàng)的系數(shù)之和為256
答案 (1) AC　(2)80x-3　
方法總結(jié)1.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法
2.二項(xiàng)展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法
(2)已知( +3x2)n的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為　　　　　.?
對點(diǎn)訓(xùn)練5(1)(多選)已知 的展開式共有13項(xiàng),則下列說法中正確的有(　　)A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為212B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為312C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)D.有理項(xiàng)共5項(xiàng)
解析 (1)因?yàn)閚+1=13,所以n=12.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為211,故A錯(cuò)誤;令x=1,得所有項(xiàng)的系數(shù)和為312,故B正確;由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng),故C錯(cuò)誤;

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