1.隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中,我們確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,使得樣本空間的每一個(gè)樣本點(diǎn)都用一個(gè)確定的數(shù)值表示.在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下,數(shù)值隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化.像這種取值隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的量稱為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用字母X,Y,ξ,η等來表示.分兩類:離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量(2)離散型隨機(jī)變量:取值能夠　一一列舉　出來的隨機(jī)變量.?
微思考 某電子元件的使用壽命x1,擲一枚骰子,正面向上的點(diǎn)數(shù)x2,思考x1,x2可作為離散型隨機(jī)變量嗎?提示 x1不可作為離散型隨機(jī)變量,x2可作為離散型隨機(jī)變量.
微點(diǎn)撥 離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù),其實(shí)質(zhì)代表的是“事件”,即事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的.
2.離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)若離散型隨機(jī)變量X的取值為x1,x2,…,xn,…,隨機(jī)變量X取xi的概率為pi(i=1,2,…,n,…),記作　概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…)　.上式也可以列成表,如表:?(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi　>　0(i=1,2,…,n,…);?②　p1+p2+…+pn+…　=1.?微點(diǎn)撥 判斷所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確,可用pi≥0,i=1,2,…,n及p1+p2+…+pn=1檢驗(yàn).
3.離散型隨機(jī)變量的均值與方差(1)均值設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表
則稱EX=　x1p1+x2p2+…+xnpn　為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望).?反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平
(2)方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表
微點(diǎn)撥 1.期望是算術(shù)平均值概念的推廣,是概率意義下的平均是一個(gè)實(shí)數(shù),由X的分布列唯一確定,即作為隨機(jī)變量,X是可變的,可取不同值,而EX是不變的.微思考 隨機(jī)變量的均值、方差與樣本的均值、方差有何關(guān)系?提示 隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù),樣本的均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量,隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加,樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值、方差.
4.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=aEX+b.(a,b為常數(shù))(2)D(aX+b)=a2DX.(a,b為常數(shù))常用結(jié)論1.Ek=k,Dk=0,其中k是常數(shù).2.E(X1+X2)=EX1+(X2)-(EX)2.4.若X1,X2相互獨(dú)立,則E(X1X2)=EX1EX2.
自主診斷題組一　思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.離散型隨機(jī)變量的分布列中,隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.(　　)2.隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)變量是對(duì)應(yīng)關(guān)系,即每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都有唯一的隨機(jī)變量的值與之對(duì)應(yīng).(　　)3.均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況,因此它們是一回事.(　　)4.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小.(　　)
題組二　雙基自測(cè)5已知隨機(jī)變量X的分布列為
則D(X)=　　　　　　　,D(2X+7)=　　　　　　　.?答案 0.84　3.36解析 由題意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.D(2X+7)=4D(X)=4×0.84=3.36.
6.根據(jù)天氣預(yù)報(bào),某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備,遇到大洪水時(shí)要損失60 000元,遇到小洪水時(shí)要損失10 000元.為保護(hù)設(shè)備,有以下3種方案:方案1　運(yùn)走設(shè)備,搬運(yùn)費(fèi)為3 800元;方案2　建保護(hù)圍墻,建設(shè)費(fèi)為2 000元,但圍墻只能防小洪水;方案3　不采取措施.工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?
解 設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1,X2,X3.采用方案1,無論有無洪水,都損失3 800元.因此,P(X1=3 800)=1.采用方案2,遇到大洪水時(shí),總損失為2 000+60 000=62 000時(shí);沒有大洪水時(shí),總損失為2 000元.因此P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2 000)=0.99.采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10 000)=0.25,P(X3=0)=0.74.于是,E(X1)=3 800,E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.因此,從期望損失最小的角度,應(yīng)采取方案2.
規(guī)律方法 離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
(1)求隨機(jī)變量Y=2X+1的分布列;(2)求隨機(jī)變量η=|X-1|的分布列;(3)求隨機(jī)變量ξ=X2的分布列.
解 (1)由分布列的性質(zhì)知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.首先列表為從而Y=2X+1的分布列為
(2)首先列表為∴P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3.故η=|X-1|的分布列為
(3)首先列表為從而ξ=X2的分布列為
例題(2022·全國甲,理19)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.
解 (1)記甲學(xué)校獲得冠軍為事件A,則P(A)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4) ×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8=0.6,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率是0.6.(2)X的可能取值為0,10,20,30,則P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×(1-0.8)+0.5×(1-0.4)×0.8+(1-0.5)×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×(1-0.4)×(1-0.8)+(1-0.5)×0.4×(1-0.8)+(1-0.5)×(1-0.4)×0.8=0.34,P(X=30)=(1-0.5)×(1-0.4)×(1-0.8)=0.06.所以X的分布列為
期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
規(guī)律方法 離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2022·山東聊城二模)春節(jié)期間,某商場(chǎng)準(zhǔn)備舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購買超過一定金額的商品后均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).抽獎(jiǎng)規(guī)則如下:將質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤平均分成n(n≥3,n∈N*)個(gè)扇區(qū),每個(gè)扇區(qū)涂一種顏色,所有扇區(qū)的顏色各不相同,顧客抽獎(jiǎng)時(shí)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤三次,記錄每次轉(zhuǎn)盤停止時(shí)指針?biāo)干葏^(qū)內(nèi)的顏色(若指針指在分界線處,本次轉(zhuǎn)動(dòng)無效,需重轉(zhuǎn)一次),若三次顏色都一樣,則獲得一等獎(jiǎng);若其中兩次顏色一樣,則獲得二等獎(jiǎng);若三次顏色均不一樣,則獲得三等獎(jiǎng).(1)若一、二等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)概率之和不大于 ,求n的最小值;(2)規(guī)定一等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金108元,二等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金60元,三等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金18元,在n取(1)中的最小值的情況下,求顧客在一次抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額的分布列和數(shù)學(xué)期望.
考向1均值與方差的計(jì)算題組(1)(多選)(2022·山東菏澤二模)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
若離散型隨機(jī)變量Y滿足:Y=2X+1,則下列結(jié)果正確的有(　　)A.q=0.1B.E(X)=2C.E(Y)=5D.D(X)=1.4
(2)已知A,B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2,根據(jù)市場(chǎng)分析,X1和X2的分布列如下:
①在A,B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資200萬元,Y1和Y2(單位:萬元)表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤,求D(Y1)和D(Y2);②將x(0

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