選擇題（本大題共15小題，每小題4分，滿分60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．若集合，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
2．“”是“”的（ ）
A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解不等式得到，根據(jù)推出關(guān)系得到答案.
【詳解】解得，
因為，，
故“”是“”的必要而不充分條件.
故選：A
3．函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)解析式有意義解不等式可得.
【詳解】由解析式有意義知，解得，
即的定義域為.
故選：B
4．下列函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，逐項判斷函數(shù)在上的單調(diào)性作答.
【詳解】對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A不是；
對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，B是；
對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞減，C不是；
對于D，函數(shù)在上不單調(diào)，D不是.
故選：B
5．（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算求解.
【詳解】,
故選:B.
6．近年來貴州經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入快車道，GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值）增速連續(xù)保持全國前列.若2021年貴州的GDP為億元，預(yù)計未來5年內(nèi)GDP年均增長率為10％，則2024年貴州的GDP（單位：億元）為（ ）
A．B．(1+10%)C．(1+10%)2D．(1+10%)3
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算即可得出答案.
【詳解】由2021年貴州的GDP為億元，增長率為10％，
所以2024年貴州的GDP為(1+10%)3
故選：D
7．轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通過公式即可實現(xiàn)由角度到弧度的轉(zhuǎn)化.
【詳解】,.
故選：A.
8．函數(shù)的最小正周期為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通過函數(shù)得出，即可求出函數(shù)的最小正周期.
【詳解】由題意，
在中，，
∴，
故選：D.
9．為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上所有點的（ ）
A．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度
B．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度
C．橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度
D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷即可
【詳解】將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得，
再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．
故選：A
10．已知向量，，且，則（ ）
A．B．C．12D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式直接計算求解.
【詳解】因為向量，，且，
所以，解得.
故選：B
11．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，若，則該四棱錐的體積為（ ）

A．48B．18C．16D．8
【答案】C
【分析】由棱錐的體積公式計算即可求解.
【詳解】由題意可得：該四棱錐的體積為，
故選：C.
12．已知直線與直線間的距離為，則（ ）
A．或B．
C．或11D．6或
【答案】A
【分析】運(yùn)用兩條平行直線間的距離公式計算即可.
【詳解】直線可化為，
所以，解得或．
故選：A.
13．圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．不確定
【答案】C
【分析】直接用圓心的距離與半徑之和的關(guān)系確定即可.
【詳解】的半徑，圓心，的的半徑，圓心，
兩圓心的距離，
因為，所以兩圓相離，
故選：C
14．某校高二年級的學(xué)生要從音樂、美術(shù)、體育三門課程中任選兩門學(xué)習(xí)，則所有可能的結(jié)果共有（ ）
A．2個B．3個
C．4個D．5個
【答案】B
【分析】直接列出所有情況即可.
【詳解】選學(xué)的所有可能情況是：{音樂，美術(shù)}，{音樂，體育}，{美術(shù)，體育}，所以共有3個．
故選：B.
15．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，則的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用橢圓定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出結(jié)果.
【詳解】由題知，橢圓，
則長軸，焦距，
的周長為.
故選：D
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.）
16．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則 .
【答案】1
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，
所以.
故答案為：
17．已知函數(shù)，則 .
【答案】2
【分析】根據(jù)題意中的解析式直接求出即可.
【詳解】由題意知，.
故答案為：2.
18．已知為角α終邊上一點，則= ．
【答案】/0.2
【分析】求出到原點的距離，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得，的值，再求出即可.
【詳解】為角α終邊上一點，
，
則，，
.
故答案為：
19．二項式的展開式中，所有的系數(shù)之和為
【答案】
【分析】令，即可得出答案.
【詳解】令，
即可得出二項式展開式中，所有項的系數(shù)之和為.
故答案為：.
20．從50名同學(xué)中選出正、副班長各一名，則不同的選法有 .
【答案】2450
【分析】利用分步乘法原理求解即可
【詳解】第一步從50人中選1人作為班長，有50種方法，第二步從剩下的49人中選1人作為副班長，有49種方法，
由分步乘法原理可知共有種選法，
故答案為：2450
三、解答題（本大題共6小題，滿分70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.）
21．求值：
(1)；
(2) ．
【答案】(1)3
(2)10
【分析】根據(jù)指對冪的運(yùn)算規(guī)則計算.
【詳解】（1）
；
（2）原式；
綜上，（1）原式=3；（2）原式=10.
22．已知角的終邊經(jīng)過點，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由任意角的三角函數(shù)定義求出，然后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系對化簡代值計算即可，
（2）由任意角的三角函數(shù)定義求出，然后利用誘導(dǎo)公式對化簡即可
【詳解】（1）由角的終邊經(jīng)過點，可知，
則.
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，
所以
.
23．已知,,
（1）若，求；
（2）求的最大值，并求出對應(yīng)的x的值．
【答案】（Ⅰ）（II）2,此時
【分析】（Ⅰ）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用平行公式求出tanx的值；
（Ⅱ）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用模長公式和三角函數(shù)求出最大值．
【詳解】解：（Ⅰ）計算-=（3，4），
由∥（-）得4csx-3sinx=0，
∴tanx==；
（Ⅱ）+=（csx+1，sinx），
∴=（csx+1）2+sin2x=2+2csx，
|+|=，
當(dāng)csx=1，即x=2kπ，k∈Z時，|+|取得最大值為2．
【點睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．
24．已知是等差數(shù)列的前項和，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項公式基本量列出方程，求出公差，進(jìn)而求出通項公式；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上，求出，得到不等式，求出，結(jié)合，得到的最小值.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因為，
所以.
解得.
所以.
（2），
所以.
令，得，
解得：（舍去）.
因為，所以的最小值是12.
25．正三棱柱的底面正三角形的邊長為，為的中點，.
(1)證明：平面；
(2)求該三棱柱的體積.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到線線平行，從而線面平行；
（2）求出底面正三角形的面積，進(jìn)而利用柱體體積公式進(jìn)行求解.
【詳解】（1）證明：連接，設(shè)，連接
∵是正三棱柱的側(cè)面，
∴為矩形，
∴是的中點，
∴是的中位線，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）因為在正三棱柱中，底面正三角形的邊長為2，為的中點
所以，，
故，
又平面，，
所以正三棱柱的體積
26．已知拋物線，點在拋物線上且到焦點的距離為2.
(1)求拋物線的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
(2)已知，直線與拋物線交于兩點，記直線，的斜率分別為，，求的值.
【答案】(1)拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為
(2)
【分析】（1）由點在拋物線上且到焦點的距離為2，聯(lián)立方程組解出即可；（2）設(shè)，，聯(lián)立方程消元，韋達(dá)定理，用斜率公式寫出，代入化簡即可.
【詳解】（1）由題意得，解得.
從而得到拋物線的方程為，
準(zhǔn)線方程為；
（2）設(shè)，，
由
得，
∴，，
，
∴
所以的值為.
27．已知定義在上的函數(shù)對任意實數(shù)、，恒有，且當(dāng)時，，.
(1)求的值；
(2)求證：為奇函數(shù)；
(3)求在上的最大值與最小值．
【答案】(1)
(2)證明見解析；
(3)最大值為，最小值為
【分析】（1）由題意令即可求解；
（2）令，利用函數(shù)的奇偶性定理即可證明.
（3）利用函數(shù)單調(diào)性定義可得在上為減函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)為奇函數(shù)即可求解.
【詳解】（1）解：定義在上的函數(shù)對任意實數(shù)、，恒有，
令，可得，從而.
（2）證明：定義在上的函數(shù)對任意實數(shù)、，恒有，
令，可得，
所以，故為奇函數(shù).
（3）解：對任意、，且，則，于是，
則，所以，，
所以在上為減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為，最小值為，
因為，，
，
所以在上的最大值為，最小值為．

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