選擇題（本大題共15小題，每小題4分，滿分60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．設(shè)集合，則（ ）
A．{2}B．{4,5}C．{3,4}D．{2,3}
【答案】D
【分析】應(yīng)用集合的交運算求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè).
故選：D
2．“”是“”的什么條件（ ）
A．充分條件B．必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可得結(jié)論.
【詳解】若，則由“”不能推出“”，故充分性不成立；
若，則由“”不能推出“”，故必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
3．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先求解不等式，在根據(jù)充分、必要性的定義判斷即可.
【詳解】由，得，由，得，
因為，，
所以是的必要不充分條件.
故選：.
4．函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)解析式可知要保證根式和分式有意義，列出不等式組求解即可得出答案.
【詳解】由題意得，解得且
所以函數(shù)的定義域為.
故選：A.
5．已知函數(shù)，則等于（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】C
【分析】將自變量代入解析式求函數(shù)值即可.
【詳解】由解析式知：.
故選：C
6．函數(shù)在上是減函數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性有，即可得結(jié)果.
【詳解】因為函數(shù)在上是減函數(shù)，
所以.
故選：D
7．已知，，，則（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.
【詳解】由于，∴，
故選：B.
8．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】B選項的不是函數(shù)圖象，故排除，再結(jié)合特殊值排除AC選項.
【詳解】先排除B選項，因為不是函數(shù)圖象；
，排除AC選項.
故選：D
9．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)傾斜角求出斜率，然后由點斜式可得.
【詳解】因為傾斜角為，所以斜率，
又直線經(jīng)過點，所以由點斜式可得直線的方程為：，即.
故選：D
10．圓在點處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先計算出，從而由斜率乘積為-1得到切線斜率，利用點斜式寫出切線方程，得到答案.
【詳解】因為，所以在圓上，
的圓心為，
故，
設(shè)圓在點處的切線方程斜率為，
故，解得，
所以圓在點處的切線方程為，
變形得到，即.
故選：A
11．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】AC項角度與弧度混用，排除AC；D項終邊在第三象限，排除D.
【詳解】因為，終邊落在第四象限，且與角終邊相同，
故與的終邊相同的角的集合
即選項B正確；
選項AC書寫不規(guī)范，選項D表示角終邊在第三象限.
故選：B.
12．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再將所得圖像上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)圖像平移變換和伸縮變換法則，即可得出函數(shù)的解析式．
【詳解】函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，得函數(shù)的圖像，
再將圖像上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像.
故選：C
13．已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】利用平面向量數(shù)量積以及夾角代入計算即可求得.
【詳解】根據(jù)題意可得，
則可得，
所以.
故選：D
14．在數(shù)列中，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依次計算，得到為周期數(shù)列，一個周期為3，從而求出.
【詳解】由題意得，，，
，……
故為周期數(shù)列，一個周期為3，
故.
故選：C
15．如圖，在正方體 中，為線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】連接，易證，只需解三角形，求出的余弦值即可得解.
【詳解】
如圖，連接，，
因為，，
所以四邊形是平行四邊形，
，因此是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，
設(shè)正方體的棱長為2，則，，
在直角三角形中，，
，即三角形是直角三角形，
，
即異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C.
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.）
16．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，得到，代入解析式求解即可.
【詳解】依題中條件知，，
故答案為：.
17．不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式.
【詳解】由，
所以，即，
解得或，
故答案為：.
18．已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，由誘導(dǎo)公式求出答案.
【詳解】根據(jù)題意得到，
故.
故答案為：
19．若拋物線上的點到其焦點的距離為3，則 .
【答案】2
【分析】根據(jù)拋物線方程及拋物線定義有，求參數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)及拋物線定義知：且.
故答案為：
20．某幼兒園一名小朋友過生日，幼兒園老師為該小朋友準(zhǔn)備了5個一樣的盒子，其中4個盒中各裝有一個變形金剛玩具，另外1個盒中裝有一套積木玩具.這名小朋友要從這5個盒中選出2個盒子作為生日禮物，則恰好取到1個變形金剛玩具和1套積木玩具的概率為 .
【答案】/
【分析】先羅列出所有情況，再羅列出符合要求的情況，最后算概率即可.
【詳解】設(shè)裝變形金剛玩具的盒子分別為，
裝積木玩具的盒子為.則從這5個盒子中選出2個盒子的不同選法有
，
共10種不同方法；
恰好選到1個變形金剛玩具和1套積木玩具的不同選法有
，共4種不同方法，故所求概率，
故答案為：
三、解答題（本大題共6小題，滿分70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.）
21．計算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)3
【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的公式化簡可得；
（2）利用換底公式和對數(shù)運算公式化簡可得.
【詳解】（1）.
（2）原式
.
22．(1)化簡：；
(2)已知角的終邊經(jīng)過點，求，，的值；
【答案】(1)；(2)﹒
【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡即可；
(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】(1)；
(2)角的終邊經(jīng)過點，
則，
.
23．已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)奇偶性，并說明理由；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性定義說明理由.
【答案】(1)為奇函數(shù)，理由見解析
(2)在上單調(diào)遞增，理由見解析
【分析】（1）易知函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足，所以為奇函數(shù)；（2）根據(jù)單調(diào)性定義按照取值、作差、變形、定號、得結(jié)論等步驟證明即可.
【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：
函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，
，滿足奇函數(shù)定義；
所以為奇函數(shù).
（2）在上單調(diào)遞增，理由如下：
在上任取，
則
因為，所以，
故，即
所以，所以在上單調(diào)遞增.
24．已知，，．
(1)求的值；
(2)求向量與夾角的余弦值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)題中條件，變化，即可求解；
（2）求出及，設(shè)與的夾角為θ，利用公式即可.
【詳解】（1）由題知，
因為，所以
所以
（2）由題，，
則，
，
所以，
令與的夾角為θ，
則，
即向量與夾角的余弦值是．
25．記等差數(shù)列的前項和為，已知，且．
(1)求和；
(2)設(shè)，求數(shù)列前項和．
【答案】(1)；；(2)．
【分析】（1）利用等差數(shù)列性質(zhì)求出通項公式和前項和；
（2）利用裂項相消法求和.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，因為，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
26．如圖，S為圓錐頂點，O是圓錐底面圓的圓心，AB、CD為底面圓的兩條直徑，，且，，P為SB的中點.
(1)求證：平面PCD；
(2)求圓錐SO的體積.
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）連結(jié)PO，由中位線性質(zhì)有，利用線面平行的判定定理即可證結(jié)論；
（2）根據(jù)已知求底面半徑，進(jìn)而求出底面積，應(yīng)用圓錐體積公式求體積.
【詳解】（1）連結(jié)PO，如下圖示：
∵P、O分別為SB、AB的中點，
∴，又平面PCD，平面PCD，
∴平面PCD.
（2）∵，P為SB的中點，
∴.
∴，則底面圓面積.
∴圓錐體積.
27．已知圓C：．
(1)若點，求過點的圓的切線方程；
(2)若點為圓的弦的中點，求直線的方程．
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）求出圓的圓心與半徑，分過點的直線的斜率不存和存在兩種情況，利用圓心到直線距離等于半徑，即可求出切線方程；
（2）根據(jù)圓心與弦中點的連線垂直線，可求出直線的斜率，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】（1）解：由題意知圓心的坐標(biāo)為，半徑，
當(dāng)過點的直線的斜率不存在時，方程為．
由圓心到直線的距離知，此時，直線與圓相切．
當(dāng)過點的直線的斜率存在時，設(shè)方程為，
即．由題意知，
解得，∴方程為．
故過點的圓的切線方程為或．
（2）解：∵圓心，，即，
又，
∴，則.

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