選擇題（本大題共15小題，每小題4分，滿分60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接計算交集得到答案.
【詳解】集合，，則.
故選：A
2．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由可得，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.
【詳解】由可得，
由“”不能推出“”，
但由“”可以推出“”．
故“”是“”的必要而不充分條件．
故選：B.
3．若不等式的解集是或，則a，b的值為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】是方程的兩個根，由韋達定理得到答案.
【詳解】由題意得是方程的兩個根，
故，解得.
故選：C
4．已知函數(shù)，則=（ ）
A．1B．3C．-3D．-1
【答案】B
【分析】計算出，從而求出.
【詳解】，.
故選：B
5．下列函數(shù)中，在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函數(shù)解析式直接得到函數(shù)的單調(diào)性，得到正確答案.
【詳解】A選項，在R上單調(diào)遞減，A錯誤；
B選項，在R上單調(diào)遞增，滿足要求，B正確；
C選項，在上單調(diào)遞減，C錯誤；
D選項，在上單調(diào)遞減，D錯誤.
故選：B
6．（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)的運算可求得答案.
【詳解】原式
.
故選：C.
7．函數(shù)的圖像必經(jīng)過點（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，令，求得，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，令，即，可得，
所以函數(shù)的圖象必經(jīng)過點.
故選：D.
8．設(shè)為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（ ）
A．若，，則B．若，，，則
C．若，，，則D．若，則
【答案】D
【分析】ABC可舉出反例，D可利用線面平行的判定定理證得.
【詳解】A選項，如圖1，滿足，，但不平行，A錯誤；

B錯誤，如圖2，滿足，，，但不平行，B錯誤；

C選項，如圖3，滿足，，，但不平行，C錯誤；

D選項，若，由線面平行的判斷定理可得，D正確.
故選：D
9．已知，則的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性可比較a，c，再由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，即可得答案.
【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，
又，所以.
故選：C
10．已知，且，則等于（ ）
A．5B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)向量垂直得出其數(shù)量積為0，即可根據(jù)向量的模長求法得出答案.
【詳解】，
，
，
故選：A.
11．若直線：與直線：互相平行，則（ ）
A．B．C．12D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線平行的條件求解即可.
【詳解】因為，
所以，解得，
故選：C
12．已知棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，則其表面積為（ ）
A．12B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角形面積公式及四面體表面積的意義計算即得.
【詳解】棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，
其表面積為：.
故選：C
13．已知直線與圓相切，則實數(shù)的值可能為（ ）
A．或8B．9C．D．18
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程來求得的值.
【詳解】圓的圓心為，半徑為.
由于直線與圓相切，
所以，解得或.
故選：A
14．橢圓的焦點在軸上且焦距為2，則的值等于（ ）
A．5B．5或8C．5或3D．3
【答案】A
【分析】由橢圓的標準方程及焦點在x軸上且，結(jié)合橢圓參數(shù)的關(guān)系即可求.
【詳解】依題得，即，則.
故選：A
15．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，每個人都有三種選擇，利用分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，
每個人都有三種選擇，則不同的游覽方案種數(shù)為種.
故選：B.
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.）
16．已知函數(shù)，則 ．
【答案】1
【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.
【詳解】函數(shù)，所以.
故答案為：1
17．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性先得到，再由定義域為求出，最后相加即可.
【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，
所以，
又因為定義域為，
所以，
所以，
故答案為：
18．已知為第三象限角，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的商式關(guān)系以及平方和關(guān)系，可得答案.
【詳解】由，則，，由，則，
由為第三象限角，，，則.
故答案為：.
19．展開式中常數(shù)項為 .（用數(shù)字作答）
【答案】54
【分析】根據(jù)的展開式的通項公式可求出結(jié)果.
【詳解】展開式的通項為，
令，得，所以展開始得常數(shù)項為.
故答案為：.
20．一輛汽車在行駛過程中，路程（千米）與時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當時，關(guān)于的函數(shù)解析式為，當時，關(guān)于的函數(shù)解析式為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)圖像，設(shè)出當時，關(guān)于的函數(shù)解析式為，把點與代入，計算出的值，即可得到答案．
【詳解】由圖可設(shè)當時，關(guān)于的函數(shù)解析式為，
當時，，當時，，
代入解析式可得解得
當時，.
故答案為
三、解答題（本大題共6小題，滿分70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程和演算步驟.）
21．計算下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪和根式運算法則計算即可；
（2）利用對數(shù)運算法則計算即可.
【詳解】（1）；
（2）．
22．已知，且為第三象限角.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）-5（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）化簡，再代入已知得解；
（Ⅱ）先根據(jù)已知求出，，再代入即得解.
【詳解】解：（Ⅰ）因為，
，
所以
（Ⅱ）由，得，
又，所以，
注意到為第三象限角，可得，.
所以
.
【點睛】本題主要考查同角的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系，考查差角的余弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
23．已知平面向量，滿足，，．
(1)求與的夾角；
(2)求．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）根據(jù)定義法直接求解即可；
（2）根據(jù)平方關(guān)系的轉(zhuǎn)化求解向量的模即可.
【詳解】（1）設(shè)與的夾角為
因為，，，
所以，
所以，
即與的夾角為
（2）由題意得，.
24．如圖，已知是圓柱下底面圓的直徑，點是下底面圓周上異于的動點，，是圓柱的兩條母線．
(1)求證：平面；
(2)若，，圓柱的母線長為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）先證明線面垂直，通過線面垂直得到線線垂直，再證線面垂直，最后得到面面垂直即可；
（2）先作出底面的垂線，再由垂足作兩個面的交線的垂線，最后連接交線的垂足與斜足構(gòu)成二面角的平面角求解即可.
【詳解】（1）因為是底面的一條直徑，是下底面圓周上異于的動點，
所以，
又因為是圓柱的一條母線，所以底面，
而底面，所以，
因為平面，平面，且，
所以平面，
又因為，所以平面平面；
（2）如圖所示，
過作圓柱的母線，連接，
因為底面//上底面，所以即求平面與平面所成銳二面角的大小，
因為在底面的射影為，且為下底面的直徑，所以為上底面的直徑，
因為是圓柱的母線，所以平面，
又因為為上底面的直徑，所以，而平面，
所以為平面與平面所成的二面角的平面角，
又因為在底面射影為，所以，，
所以，又因為母線長為，所以，
又因為平面，平面，所以，
所以,
所以，
即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
25．已知等差數(shù)列的前三項依次為，4，，前項和為，且.
(1)求的通項公式及的值；
(2)設(shè)數(shù)列的通項，求證是等比數(shù)列，并求的前項和.
【答案】(1)，
(2)證明見解析，
【分析】(1)直接利用等差中項的應(yīng)用求出的值，進一步求出數(shù)列的通項公式和的值；
(2)利用等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，進一步求出數(shù)列的和.
【詳解】（1）等差數(shù)列的前三項依次為，4，，
∴，解得；
故首項為2，公差為2，
故，
前項和為，且，整理得，
解得或－11(負值舍去).
∴，k＝10.
（2）由(1)得：，
故(常數(shù))，故數(shù)列是等比數(shù)列；
∴.
26.A市居民生活用水原收費標準為4元/m3，為保護生態(tài)，鼓勵節(jié)約用水，A市從2016年1月1日起，調(diào)整居民生活用水收費標準，具體規(guī)定如下：第一階梯：每戶用水量不超過25m3的部分（含25m3），按3元/m3計費；第二階梯：每戶用水量超過25m3且不超過35m3的部分（含35m3），按4元/m3計費；第三階梯：每戶用水量超過35m3的部分，按6元/m3計費．如：當某戶月用水量為30m3時，該戶當月應(yīng)繳水費為3×25＋4×(30－25)＝95(元)．假設(shè)某戶月用水量為xm3時，當月應(yīng)繳水費為y元．
(I)求調(diào)整收費標準后y與自變量x的函數(shù)關(guān)系；
(II)當某戶用水量超過多少m3時，按調(diào)整后收費標準應(yīng)繳水費超過按原收費標準應(yīng)繳水費？
答案：(I)由題意得某戶月用水量為，當月應(yīng)繳水費為元.
第一階梯：當時，；
第二階梯：當時，；
第三階梯：當時，.
綜上， .
(II) 當時，，的取值范圍不存在；
當時，，的取值范圍不存在；
當時，，解得.
所以當某戶用水量超過47.5m3時，按調(diào)整后收費標準應(yīng)繳水費超過按原收費標準應(yīng)繳水費.
27．已知橢圓，三點中恰有兩點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線交橢圓于兩點，且線段的中點的橫坐標為，過作直線，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.
【答案】(1)(2)證明見解析，
【分析】(1)分別討論即可確定在上，即可求解；(2)利用點差法表示出的斜率，再表示出的直線方程，即可求出定點.
【詳解】（1）顯然不能同時在上，
若在上，則.
故在上，則，所以.
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè).
當時，設(shè)，顯然.
聯(lián)立，則，即.
又為線段的中點，故直線的斜率為.
又，所以直線的方程為，
即，顯然恒過定點.
當時，過點.
綜上所述，恒過定點.

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