一、選擇題（本大題共20小題，每題3分，共60分）
1．集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得.
故選：A.
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】D
【解析】設(shè)，此時(shí)滿足，但不滿足，充分性不成立，
設(shè)，此時(shí)滿足，但不滿足，必要性不成立，
故是的既不充分也不必要條件.
故選：D
3．函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】D
【解析】要使有意義，則應(yīng)有，解得且.
故選：D.
4．如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，那么向量等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑸橹悬c(diǎn)，所以，所以.
故選：B
5．如圖是某幾何體的三視圖，其中主視圖和左視圖是兩個(gè)全等的正方形，且邊長(zhǎng)為2，俯視圖是直徑為2的圓，則這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由三視圖易知：幾何體是高和底面直徑均為2的圓柱體，所以幾何體的側(cè)面積為.
故選：D
6．若，且，則角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】A
【解析】，又，，因此角為第一象限角.
故選：A.
7．已知，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，，且，所以，即，解?
故選：B
8．已知扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為弧度，則，解得，所以該扇形的面積為.
故選：C.
9．命題“存在，”的否定為（ ）
A．存在，B．存在，
C．任意，D．任意，
【答案】D
【解析】由題意命題“存在，”的否定為任意，.
故選：D.
10．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，若成等差數(shù)列，則（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，
所以，則，解得或（舍去）．
故選：B.
11．設(shè)直線的傾斜角為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，傾斜角為，所以，
所以，
故選：C
12．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是直線，
由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，解得，
故選：D．
13．在三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，由正弦定理得，
因?yàn)?，所以，故，即，故?br>因?yàn)?，所以，故，解得?br>由余弦定理得，即，
因?yàn)?，，所以，解得?
故選：B
14．學(xué)?；I辦元旦晚會(huì)需要從5名男生和3名女生中各選1人作為志愿者，則不同選法的種數(shù)是（ ）
A．8B．28C．20D．15
【答案】D
【解析】由題意可知不同選法有（種）.
故選:D.
15．若直線與互相垂直，則的值為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解析】因?yàn)?，則，即，解得或.
故選：D.
16．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】B
【解析】圓即，故圓心為，
顯然圓心在直線上，故直線被圓所截得的弦即為圓的直徑，長(zhǎng)為.
故選:B．
已知x，y滿足約束條件則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，平移，可知在點(diǎn)處取到最小值，
聯(lián)立可得，所以的最小值為.
故選：C.
18．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為第（ ）項(xiàng)
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】的通項(xiàng)為，令有.
故的展開式中常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng).
故選：B
19．故宮文創(chuàng)店推出了紫禁城系列名為“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款書簽，并隨機(jī)選擇一款作為紀(jì)念品贈(zèng)送給游客甲，則游客甲得到“春”或“冬”款書簽的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知得隨機(jī)選擇一款作為紀(jì)念品贈(zèng)送給游客甲有4種贈(zèng)法，其中游客甲得到“春”或“冬”款書簽的有2種贈(zèng)法，則游客甲得到“春”或“冬”款書簽的概率為.
故選：A.
已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為，，若雙曲線右支上存在點(diǎn)，使得線段被直線垂直平分，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
設(shè)直線交于A，連接，，由已知線段被直線垂直平分，
可知，，所以，
所以是以為斜邊的直角三角形，
又直線的斜率為，可得，所以，
所以，
由雙曲線定義可知，即，
所以，整理可得，
故選：A.
二、填空題（本大題共5小題，每題4分，共20分）
21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 ．
【答案】0
【解析】由題意可得，由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，
故答案為：0
22．已知，且，則向量夾角的余弦值為 .
【答案】/
【解析】由可得，即，所以.
故答案為：
23．已知一組數(shù)據(jù)1，3，9，5，7，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 ．
【答案】
【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以這組數(shù)據(jù)的方差為，
所以這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為．
故答案為：.
24．已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為 ．
【答案】
【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，由，得，
又表面積，所以，解得，則；
所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．
故答案為：．
25．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則 .
【答案】27
【解析】由于，則，所以，所以.
故答案是：.
三、解答題（本大題共5小題，共40分）
26．已知函數(shù).
(1)已知，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的值域.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因?yàn)?，所以，解得?br>（2）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?，，?br>即在區(qū)間上的值域.
27．已知在等差數(shù)列中，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)為何值時(shí)取得最大，并求出此最大值．
【答案】(1)；
(2)時(shí)取得最大值為.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
故，所以.
（2）由，且，
所以，故時(shí)取得最大，最大值為.
28．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，．
(1)求a的值；
(2)求的值．
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）因?yàn)?，在中，由余弦定理有：?br>得，解得，（舍去）．所以.
（2）方法1：由余弦定理，得，，
∵C是的內(nèi)角，∴．
方法2：∵，且B是的內(nèi)角，∴，
在中，根據(jù)正弦定理，，得．
29．如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面為棱的中點(diǎn)，連接.求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫势矫妫?br>（2）平面，平面，∴，
∵底面為矩形，.
又，平面，平面.
又平面，平面平面.
30．已知橢圓：上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由題意得，，解得，，，
所以橢圓方程為.
（2）因?yàn)?，所以在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)，，則，,
所以，
所以，
所以，即，
所以，所以直線為，即.

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