2023真題展現(xiàn)
考向一 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
考向二 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
真題考查解讀
近年真題對(duì)比
考向一 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
考向二 平面向量的線性運(yùn)算
考向三 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
命題規(guī)律解密
名校模擬探源
易錯(cuò)易混速記/二級(jí)結(jié)論速記
考向一 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
1．（2023?新高考Ⅰ?第3題）已知向量a→=（1，1），b→=（1，﹣1）．若（a→+λb→）⊥（a→+μb→），則（ ）
A．λ+μ＝1B．λ+μ＝﹣1C．λμ＝1D．λμ＝﹣1
【答案】D
解：∵a→=（1，1），b→=（1，﹣1），
∴a→+λb→=（λ+1，1﹣λ），a→+μb→=（μ+1，1﹣μ），
由（a→+λb→）⊥（a→+μb→），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，
整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．
考向二 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
2．（2023?新高考Ⅱ?第13題）已知向量a→，b→滿足|a→?b→|=3，|a→+b→|＝|2a→?b→|，則|b→|＝ ．
【答案】3
解：∵|a→?b→|=3，|a→+b→|＝|2a→?b→|，
∴a→2+b→2?2a→?b→=3，a→2+b→2+2a→?b→=4a→2+b→2?4a→?b→，
∴a→2=2a→?b→，∴b→2=3，
∴|b→|=3．
【命題意圖】
考查平面向量基本定理、加減法運(yùn)算、向量數(shù)量積的坐標(biāo)與模長(zhǎng)運(yùn)算，會(huì)進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，會(huì)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷向量的垂直關(guān)系，會(huì)用坐標(biāo)運(yùn)算表示向量的平行關(guān)系．
【考查要點(diǎn)】
平面向量是高考必考內(nèi)容．常考查平面向量基本定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積、向量平行與垂直、向量模等．體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，強(qiáng)化運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸能力．
【得分要點(diǎn)】
1．向量的數(shù)量積概念及運(yùn)算：
（1）定義：如果兩個(gè)非零向量a→，b→的夾角為θ，那么我們把|a→||b→|csθ叫做a→與b→的數(shù)量積，記做a→?b→．即：a→?b→=|a→||b→|csθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：0→?a→=0．
（2）投影：b→在a→上的投影是一個(gè)數(shù)量|b→|csθ．
（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則a→?b→=x1x2+y1y2．
2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→與b→和夾角為θ，則：
（1）a→?e→=e→?a→=|a→|csθ．
（2）a→⊥b→?a→?b→=0；（判定兩向量垂直的充要條件）．
（3）當(dāng)a→，b→方向相同時(shí)，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→，b→方向相反時(shí)，a→?b→=?|a→||b→|；
特別地：a→?a→=|a→|2或|a→|=a→?a→（用于計(jì)算向量的模）．
（4）csθ=a→?b→|a→||b→|（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）．
（5）|a→?b→|≤|a→||b→|．
3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）交換律：a→?b→=b→?a→；
（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?b→）=a→?（λb→）；
（3）分配律：（a→?b→）?c→≠a→?（b→?c→）．
考向一 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算
3．（多選）（2021?新高考Ⅰ）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1（csα，sinα），P2（csβ，﹣sinβ），P3（cs（α+β），sin（α+β）），A（1，0），則（ ）
A．||＝||B．||＝||
C．?＝?D．?＝?
【解答】解：法一、∵P1（csα，sinα），P2（csβ，﹣sinβ），P3（cs（α+β），sin（α+β）），A（1，0），
∴＝（csα，sinα），＝（csβ，﹣sinβ），
＝（cs（α+β），sin（α+β）），＝（1，0），
，，
則，，則||＝||，故A正確；
＝＝，
＝＝，
||≠|(zhì)|，故B錯(cuò)誤；
＝1×cs（α+β）+0×sin（α+β）＝cs（α+β），
＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝cs（α+β），
∴?＝?，故C正確；
＝1×csα+0×sinα＝csα，
＝csβcs（α+β）﹣sinβsin（α+β）＝cs[β+（α+β）]＝cs（α+2β），
∴?≠?，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
法二、如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
A（1，0），作出單位圓O，并作出角α，β，﹣β，
使角α的始邊與OA重合，終邊交圓O于點(diǎn)P1，角β的始邊為OP1，終邊交圓O于P3，
角﹣β的始邊為OA，交圓O于P2，
于是P1（csα，sinα），P3（cs（α+β），sin（α+β）），P2（csβ，﹣sinβ），
由向量的模與數(shù)量積可知，A、C正確；B、D錯(cuò)誤．
故選：AC．
4．（2021?新高考Ⅱ）已知向量++＝，||＝1，||＝||＝2，則?+?+?＝ ．
【解答】解：方法1：由++＝得+＝﹣或+＝﹣或+＝﹣，
∴（+）2＝（﹣）2或（+）2＝（﹣）2或（+）2＝（﹣）2，
又∵||＝1，||＝||＝2，∴5+2?＝4，5+2＝4，8+2＝1，
∴?＝，?＝，?＝，∴?+?+?＝﹣．
故答案為：﹣．
方法2：?+?+?＝＝＝﹣．
故答案為：﹣．
考向二 平面向量的線性運(yùn)算
5．（2022?新高考Ⅰ）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA．記＝，＝，則＝（ ）
A．3﹣2B．﹣2+3C．3+2D．2+3
【解答】解：如圖，
＝，
∴，即．
故選：B．
考向三 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
6．（2022?新高考Ⅱ）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，則t＝（ ）
A．﹣6B．﹣5C．5D．6
【解答】解：∵向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，
∴＝（3+t，4），
∵＜，＞＝＜，＞，
∴＝，∴＝，
解得實(shí)數(shù)t＝5．
故選：C．
高考對(duì)本章內(nèi)容的考查以平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算為主，考查與平面向量基本定理相關(guān)的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角、向量的模。試題以中低檔為主，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分。
高考對(duì)本章的考查依然是基礎(chǔ)與能力并存，在知識(shí)形成過(guò)程、知識(shí)遷移種滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)，重視函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與劃歸思想。
一．向量的概念與向量的模（共5小題）
1．（2023?谷城縣校級(jí)模擬）已知平面上直線的方向向量＝（﹣，），點(diǎn)O（0，0）和A（1，﹣2）在l上的射影分別是O′和A′，則＝λ，其中λ＝（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【解答】解：∵O（0，0）和A（1，﹣2）
∴＝（1，﹣2）
則在l上的投影有：||＝||＝2
又由與的方向相反，||＝1
故由＝λ得λ＝﹣2
故選：D．
2．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知，，則＝（ ）
A．2B．4C．D．
【解答】解：由題意，可得，
即＝（）2＝﹣2+，
又，＝1，
代入可得4＝1﹣2+4，解得＝，
所以＝＝＝＝4，
故選：B．
3．（多選）（2023?撫松縣校級(jí)模擬）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．設(shè)是非零向量，且，則
B．若z1，z2為復(fù)數(shù)，則|z1?z2|＝|z1|?|z2|
C．設(shè)是非零向量，若，則
D．設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，則z1z2＝0
【解答】解：對(duì)選項(xiàng)A：是非零向量，且，則或，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B：設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，，
，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：，則，整理得到，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：取z1＝1，z2＝i，滿足|z1+z2|＝|z1﹣z2|，z1z2＝i，錯(cuò)誤；
故選：BC．
4．（2023?簡(jiǎn)陽(yáng)市校級(jí)模擬）已知點(diǎn)M在直線BC上，點(diǎn)A在直線BC外，若，且，，則的最小值為 ．
【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)AM⊥BC時(shí)，最小，
由，
∴，
∴，即AB⊥AC，
∴，
∴當(dāng)AM⊥BC時(shí)，由面積法得，，
所以的最小值為．
故答案為：．
5．（2023?興慶區(qū)校級(jí)一模）等腰直角△ABC的斜邊AB的端點(diǎn)分別在x，y的正半軸上移動(dòng)（C點(diǎn)不與原點(diǎn)O重合），AB＝2，若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【解答】解：如圖，設(shè)∠OAB＝θ，，則A（2csθ，0），B（0.2sinθ），線段AB的中點(diǎn)D（csθ，sinθ），
∴∠OAC＝，AC＝，則有C（2csθ﹣cs（），sin（）），
又＝（﹣2cs（），sin（）﹣2sinθ），
∴|﹣2|＝＝
＝，由得0＜sin2θ≤1，
故答案為：0≤||．
二．向量相等與共線（共5小題）
6．（2023?瀘縣校級(jí)模擬）設(shè)平面向量＝（1，2），＝（﹣2，y），若∥，則|2﹣|等于（ ）
A．4B．5C．D．
【解答】解：∵∥，∴﹣2×2﹣y＝0，解得y＝﹣4．
∴＝2（1，2）﹣（﹣2，﹣4）＝（4，8），
∴|2﹣|＝＝．
故選：D．
7．（2023?臨汾模擬）已知為不共線的非零向量，，，，則（ ）
A．A，B，C三點(diǎn)共線B．A，B、D三點(diǎn)共線
C．B，C，D三點(diǎn)共線D．A，C，D三點(diǎn)共線
【解答】解：∵，，
∴不存在λ，使＝λ，
故A，B，C三點(diǎn)不共線，
故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
∵＝+＝+5，
∴＝，
∴A，B、D三點(diǎn)共線，
故選項(xiàng)B正確；
∵，，
∴不存在λ，使＝λ，
故B，C，D三點(diǎn)不共線，
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
∵＝+＝﹣+13，，
∴不存在λ，使＝λ，
故A，D，C三點(diǎn)不共線，
故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：B．
8．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）若平行四邊形ABCD滿足，，則該四邊形一定是 ．
【解答】解：?＝?
四邊形ABCD為平行四邊形，
?⊥，
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形．
故答案為：菱形．
9．（2023?重慶模擬）已知向量與為一組基底，若與平行，則實(shí)數(shù)m＝ ．
【解答】解：∵與平行，∴設(shè)＝k()，
由∵向量與為一組基底，∴,解得：m＝2．
故m的值為：2．
10．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）若，是兩個(gè)不共線的向量，已知＝2+k，＝+3，＝2﹣，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k＝ ．
【解答】解：＝（2﹣）﹣（+3）＝﹣4
因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，
所以＝，已知＝2+k，
＝﹣4，λ﹣4λ＝2+k，
所以k＝﹣8，
故答案為：﹣8．
三．向量數(shù)乘和線性運(yùn)算（共4小題）
11．（2023?興慶區(qū)校級(jí)四模）已知AD、BE分別是△ABC的邊BC，AC上的中線，且＝，＝，則＝（ ）
A．+B．+C．+D．+
【解答】解：∵，，
，．
∴，
解得．
故選：C．
12．（2023?湖南模擬）如圖，正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，若＝λ+μ，則λ+μ＝（ ）
A．2B．C．D．
【解答】解：以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則＝（1，），＝（﹣，1），＝（1，1）．
∵＝λ+μ，
∴，解得．
∴λ+μ＝．
故選：D．
13．（2023?石獅市校級(jí)模擬）我國(guó)古代入民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽．如圖，大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點(diǎn)，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)AB＝1，BE＝x，則AE＝2x．
∴x2+4x2＝1，解得x＝．
設(shè)∠BAE＝θ，則sinθ＝，csθ＝．
∴xE＝csθ＝，yE＝sinθ＝．
設(shè)＝m+n，
則（，）＝m（1，0）+n（0，1）．
∴m＝，n＝．
∴＝+，
另解：過(guò)E分別作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分別為M，N．
通過(guò)三角形相似及其已知可得：AM＝AB，AN＝AD．
即可得出結(jié)論．
故選：A．
14．（2023?漣源市模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，動(dòng)圓Q的半徑為1，圓心在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量（m，n為實(shí)數(shù)），則m+n的取值范圍是（ ）
A．（1，2]B．[5，6]C．[2，5]D．[3，5]
【解答】解：如圖所示，
①設(shè)點(diǎn)O為正六邊形的中心，則．
當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，與邊BC交于點(diǎn)P，點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn)．連接OP，
則，
∵與共線，∴存在實(shí)數(shù)t，使得．
∴＝+＝＝，
此時(shí)m+n＝1+t+1﹣t＝2，取得最小值．
②當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，取AD的延長(zhǎng)線與⊙Q的交點(diǎn)P時(shí)．
＝＝，
此時(shí)m+n＝＝5取得最大值．
因此m+n的取值范圍是[2，5]．
故選：C．
四．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義（共3小題）
15．（2023?淮北二模）已知向量，滿足?＝10，且＝（﹣3，4），則在上的投影向量為（ ）
A．（﹣6，8）B．（6，﹣8）C．（﹣，）D．（，﹣）
【解答】解：因?yàn)?＝10，且＝（﹣3，4），
所以在上的投影向量||cs＜，＞＝（?）＝10×＝（﹣，）．
故選：C．
16．（2023?河南模擬）已知向量＝（2，2），若（+3）⊥，則在上的投影是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴在上的投影是．
故選：D．
17．（2023?普陀區(qū)校級(jí)三模）若＝（1，2），＝（3，﹣4），則在方向上的投影為 ．
【解答】解：設(shè)的夾角為θ
∵
∴，||＝5，＝﹣5
∴csθ＝＝﹣
故投影為||csθ＝﹣1
故答案為：﹣1
五．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共10小題）
18．（2023?泰和縣校級(jí)一模）已知向量，滿足，，，那么與的夾角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為θ，
又由，則（+2）2＝2+42+4?＝8+8csθ＝12，
變形可得csθ＝，
又由0°≤θ≤180°，則θ＝60°，
故選：B．
19．（2023?浙江模擬）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，＝2，+＝2，則＝（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：由+＝2，可知E為BC中點(diǎn)，
所以AE⊥BC，AE＝，如圖所示：
因?yàn)椋?，
所以＝+，
所以＝?（）＝＝．
故選：A．
20．（2023?泉州模擬）已知平面向量，，且，則＝（ ）
A．1B．14C．D．
【解答】解：因?yàn)椋?，?br>所以10﹣2+4＝10，
，
所以．
故選：B．
21．（2023?大理州模擬）若平面向量與的夾角為60°，，，則等于（ ）
A．B．C．4D．12
【解答】解：因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為60°，，，
所以||＝2，，
所以．
故選：B．
22．（2023?市中區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，有，則tanC的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，
∴，
又，，
∴，
∴，即a2+2b2＝3c2，
∴由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
在△ABC中，C為銳角，要使tanC取最大值，則csC取最小值，此時(shí)，
∴，即tanC的最大值是．
故選：D．
23．（2023?懷化二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：由于AB⊥BC，AD⊥CD，
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，
連接AC，由于AB＝AD＝1，則△ADC≌△ABC，
而∠BAD＝120°，故∠CAD＝∠CAB＝60°，則∠BAx＝60°，
則，
設(shè)，則，，
故，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
故選：A．
24．（2023?青山湖區(qū)校級(jí)三模）在△ABC中，，則＝（ ）
A．2B．3C．6D．12
【解答】解：如圖所示，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋裕?br>所以，
即，
又，所以．
故選：C．
25．（2023?重慶模擬）已知向量的夾角為60°，，若對(duì)任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，則m的取值范圍是（ ）
A．[e3，+∞）B．[e，+∞）C．D．
【解答】解：已知向量的夾角為60°，，
則，
所以，
所以對(duì)任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，則x11nx2﹣x21nx1＜2x1﹣2x2，
所以，即，設(shè)，即f（x）在（m，+∞）上單調(diào)遞減，
又x∈（0，+∞）時(shí)，，解得x＝e3，
所以x∈（0，e3），f'（x）＞0，f（x）在x∈（0，e3）上單調(diào)遞增；
x∈（e3，+∞），f'（x）＜0，f（x）在x∈（e3，+∞）上單調(diào)遞減，
所以m≥e3．
故選：A．
26．（2023?畢節(jié)市模擬）已知點(diǎn)G為三角形ABC的重心，且，當(dāng)∠C取最大值時(shí)，csC＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由題意，
所以，
即，
所以，
所以AG⊥BG，
又，，
則，
所以，即abcsC＝bccsA+accsB+c2，
由，，，
所以a2+b2＝5c2，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，
又y＝csx在（0，π）上單調(diào)遞減，C∈（0，π），
所以當(dāng)∠C取最大值時(shí)，csC＝．
故選：A．
27．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝2，若＝+，則給出下面四個(gè)結(jié)論：
①λ+μ的最小值為﹣；
②λ+μ的最大值為；
③的最小值為﹣6；
④的最大值為8．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：如圖，
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA、CB所在直線為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則C（0，0），A（3，0），B（0，4），設(shè)P（2csθ，2sinθ），
，，，
由＝+，得（2csθ，2sinθ）＝（3λ+4μ），即，，
∴λ+μ＝＝，tan，
∴λ+μ的最小值為﹣，最大值為，故①②錯(cuò)誤；
，，
∴＝4cs2θ﹣6csθ+4sin2θ﹣8sinθ＝4﹣（8sinθ+6csθ）＝4﹣10sin（θ+Φ），tanΦ＝．
∴的最小值為﹣6，大值為14，故③正確，④錯(cuò)誤．
∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是1，
故選：A．
六．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共6小題）
28．（2023?瀘縣校級(jí)模擬）已知非零向量、滿足向量+與向量﹣的夾角為，那么下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．＝B．||＝||C．⊥D．∥
【解答】解：由題意可得 （）⊥（），∴（）?（）＝﹣＝0，
∴||＝||，
故選：B．
29．（2023?皇姑區(qū)校級(jí)模擬）已知向量＝（﹣1，1），＝（2，x），若∥，則|﹣|＝（ ）
A．B．3C．D．2
【解答】解：∵∥，
∴﹣x﹣2＝0，
解得x＝﹣2，
∴＝（2，﹣2），又∵＝（﹣1，1），
∴﹣＝（﹣3，3），
∴|﹣|＝＝3．
故選：A．
30．（2023?固鎮(zhèn)縣三模）已知單位向量，滿足，則＝（ ）
A．2B．C．D．3
【解答】解：∵都是單位向量，，
∴，
∴，
∴，
∴＝．
故選：C．
31．（2023?天津模擬）已知，為非零向量，則“?＞0”是“與的夾角為銳角”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【解答】解：與 都是非零向量，則“向量與 夾角為銳角”?“”，反之不成立，可能同向共線．
因此“”是“向量與 夾角為銳角”的必要不充分條件．
故選：B．
32．（2023?潮州模擬）已知單位向量，滿足|+|＝|﹣2|，則與的夾角為 ．
【解答】解：∵，，
∴，解得，
∴，且，
∴．
33．（2023?青秀區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，的夾角為60°，且||＝1，|2+|＝2，則||＝ ．
【解答】解：向量，的夾角為60°，且||＝1，
∵|2+|＝＝＝＝2，
求得||＝2，
故答案為：2．
七．向量的投影（共1小題）
34．（2023?宜春一模）非零向量，，滿足，與的夾角為，，則在上的投影為（ ）
A．﹣1B．C．1D．
【解答】解：因?yàn)椋?（﹣）＝?﹣?＝0，
所以?＝?，
又因?yàn)榕c的夾角為，，
所以在上的投影為||cs＜，＞＝＝＝||cs＝2×＝1．
故選：C．
八．投影向量（共4小題）
35．（2023?湖南模擬）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【解答】解：因?yàn)?，?br>所以，
所以，向量在向量上的投影向量為．
故選：C．
36．（2023?惠州模擬）已知向量||＝2，在方向上的投影向量為﹣2，則＝（ ）
A．4B．8C．﹣8D．﹣4
【解答】解：因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄繛椹?，
所以＝﹣2，即（+2）?＝，
因?yàn)閨|＝2，所以，
所以＝0，即，
所以，
故選：C．
37．（2023?延邊州二模）已知向量，則在上的投影向量為（ ）
A．（1，0）B．
C．D．
【解答】解：向量，設(shè)，
csθ＝＝＝，
在上的投影向量為＝＝（）．
故選：D．
38．（2023?石家莊二模）已知非零向量滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，∴，可得，
所以在方向上的投影向量為．
故選：B．
九．平面向量的基本定理（共2小題）
39．（2023?淄博一模）已知△ABO中，OA＝1，OB＝2，，過(guò)點(diǎn)O作OD垂直AB于點(diǎn)D，則（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：△ABO中，OA＝1，OB＝2，，過(guò)點(diǎn)O作OD垂直AB于點(diǎn)D，如圖所示：
設(shè)＝λ+（1﹣λ），其中λ∈R，
則?＝[λ+（1﹣λ）]?（﹣）
＝λ?﹣λ+（1﹣λ）﹣（1﹣λ）?
＝﹣λ﹣λ+4（1﹣λ）+（1﹣λ）
＝﹣7λ+5＝0，
解得λ＝，所以＝+．
故選：A．
40．（2023?西固區(qū)校級(jí)一模）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝3DC，若，則＝（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：在△ABC中，有，
又BD＝3DC，則，
故在△ABD中，＝＝+＝，
又，則λ＝，μ＝，則＝，
故選：B．
一十．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（共4小題）
41．（2023?陜西模擬）已知向量＝（﹣3，2），＝（4，﹣2λ），若（+3）∥（﹣），則實(shí)數(shù)λ的值為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)橄蛄浚剑ī?，2），＝（4，﹣2λ），
所以+3＝（9，2﹣6λ），﹣＝（﹣7，2+2λ），
因?yàn)椋?3）∥（﹣），
所以9（2+2λ）﹣（﹣7）（2﹣6λ）＝0，
解得λ＝．
故選：C．
42．（2023?興慶區(qū)校級(jí)二模）已知向量，，，若，則m+n＝（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：，，，，
則（9，4）＝（2m，﹣3m）+（n，2n），即，解得m＝2，n＝5，
故m+n＝7．
故選：C．
43．（2023?山東模擬）已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標(biāo)為 （1，1）（答案不唯一，可以去直線y＝x上除原點(diǎn)外的任意點(diǎn)） （寫(xiě)出一個(gè)符合要求的答案即可）．
【解答】解：設(shè)＝（x，y），與，的夾角分別為α，β，則csα＝csβ，
∴，可得，
整理得x＝y(tǒng)，不妨取x＝y(tǒng)＝1，則．
故答案為：（1，1）（答案不唯一，可以去直線y＝x上除原點(diǎn)外的任意點(diǎn)）．
44．（2023?北海模擬）已知向量＝（2，﹣2），＝（﹣1，0），則?＝ ．
【解答】解：向量＝（2，﹣2），＝（﹣1，0），
則．
故答案為：﹣2．
一十一．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共4小題）
45．（2023?烏魯木齊模擬）已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+n與﹣2共線，則等于（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
【解答】解：∵m+n＝（2m﹣n，3m+2n），﹣2＝（4，﹣1），m+n與﹣2共線，
∴（2m﹣n）（﹣1）﹣4（3m+2n）＝0，∴﹣14m＝7n，則＝﹣，
故選：A．
46．（2023?敘州區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，，若與平行，則實(shí)數(shù)λ的值為（ ）
A．B．C．6D．﹣6
【解答】解：因?yàn)?，?br>所以，，
又與平行，
所以5（4﹣λ）＝﹣5（2+2λ），解得λ＝﹣6．
故選：D．
47．（2023?龍口市模擬）已知向量＝（m2，﹣9），＝（1，﹣1），則“m＝﹣3”是“∥”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解答】解：∵＝（m2，﹣9），＝（1，﹣1），∥，
∴﹣m2＝﹣9，解得m＝3，或m＝﹣3，
∴“m＝﹣3”是“∥”的充分比必要條件，
故選：A．
48．（2023?廣州一模）已知向量與共線，則＝ ．
【解答】解：∵＝（1，2），＝（3，x），∴＝（4，2+x），
∵與共線，
∴2+x＝8，∴x＝6，
∴＝（3，6），∴﹣＝（﹣2，﹣4），
則＝＝2，
故答案為：2．
一十二．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共7小題）
49．（2023?新疆模擬）已知向量，為單位向量，|+λ|＝|λ﹣|（λ≠0），則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由|+λ|＝|λ﹣|（λ≠0），
得+2＝，
又向量，為單位向量，
所以，所以，
所以與的夾角為，
故選：C．
50．（2023?2月份模擬）平面向量與相互垂直，已知＝（6，﹣8），，且與向量（1，0）的夾角是鈍角，則＝（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，3）D．（﹣4，﹣3）
【解答】解：平面向量與相互垂直，＝（6，﹣8），，且與向量（1，0）的夾角是鈍角，
設(shè)＝（x，y），則，
解得或，
設(shè)＝（1，0），當(dāng)＝（4，3）時(shí)，此時(shí)cs＜＞＝＝＞0，
∵向量夾角范圍為[0，π]，∴此時(shí)夾角為銳角，舍去，
當(dāng)＝（﹣4，﹣3）時(shí)，此時(shí)cs＜＞＝＝﹣＜0，
∴此時(shí)夾角為鈍角．
故選：D．
51．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)三模）已知空間向量++＝，||＝2，||＝3，||＝4，則cs＜，＞＝（ ）
A．B．C．﹣D．
【解答】解：空間向量++＝，||＝2，||＝3，||＝4，
如圖，設(shè)＝，，，
則△ABC中，||＝2，||＝3，||＝4，
∴cs＜，＞＝﹣cs∠ABC＝﹣＝﹣＝．
故選：D．
52．（2023?錦江區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為，則向量﹣與的夾角為 ．
【解答】解：向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為，
∴cs＜（），＞＝
＝
＝
＝
＝﹣．
∴向量﹣與的夾角為150°．
故答案為：150°．
53．（2023?沈陽(yáng)三模）已知，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ．
【解答】解：，，與的夾角是銳角，
則?＞0且、不同向，即，解得x＞﹣8且x≠2，
故實(shí)數(shù)x的取值范圍是（﹣8，2）∪（2，+∞）．
故答案為：（﹣8，2）∪（2，+∞）．
54．（2023?周口模擬）已知向量，滿足，，，的夾角為150°，則與的夾角為 ．
【解答】解：∵，，，的夾角為150°，
∴＝＝1，
＝＝，
∴cs＜，＞＝，則與的夾角為60°．
故答案為：60°．
55．（2023?銅川二模）如圖，在△ABC的邊AB、AC上分別取點(diǎn)M、N，使，BN與CM交于點(diǎn)P，若，，則的值為（ ）
A．B．C．D．6
【解答】解：由題意，＝＝
＝+＝
根據(jù)平面向量基本定理，可得，∴
∴＝6
故選：D．
一十三．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共5小題）
56．（2023?廣州二模）已知兩個(gè)非零向量，滿足，，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)為θ，
，
則，
∵，
∴，即，解得csθ＝．
故選：D．
57．（2023?南江縣校級(jí)模擬）已知向量，若，則k＝ ．
【解答】解：由題意可得，
因?yàn)椋?br>則，解得k＝9．
故答案為：9．
58．（2023?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知向量，若，則實(shí)數(shù)x＝ ．
【解答】解：，，
則﹣2x+3＝0，解得x＝．
故答案為：．
59．（2023?平定縣校級(jí)模擬）已知向量，，，且，則實(shí)數(shù)m＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．任意實(shí)數(shù)
【解答】解：∵向量，，，且，
∴（﹣2）?＝（3，0）?（m，2）＝3m+0＝0，
則實(shí)數(shù)m＝0，
故選：B．
60．（2023?南昌縣校級(jí)二模）已知向量＝（2，1），＝（1，0），＝（1，2），若⊥（+m），則m＝ ．
【解答】解：∵＝（2，1），＝（1，0），
∴，
∵⊥（+m），＝（1，2），
∴1×（2+m）+2＝0，解得m＝﹣4．
故答案為：﹣4．
1．五個(gè)特殊向量
(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|＝0.
(2)單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同．
(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．
(4)與向量a平行的單位向量有兩個(gè)，即向量eq \f(a,|a|)和－eq \f(a,|a|).
2．五個(gè)常用結(jié)論
(1)一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(→))＋eq \(A2A3,\s\up6(→))＋eq \(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(→))＝eq \(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．
(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
(3)若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心．
(4)在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論：
①eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0；
②eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))；
③eq \(GD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→)))，eq \(GD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
(5)若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.
3．基底需要的關(guān)注三點(diǎn)
(1)基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底．
(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．
(3)如果對(duì)于一組基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，則可以得到eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))
4．共線向量定理應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.
(2)判斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后按兩向量共線進(jìn)行判定．
5．兩個(gè)結(jié)論
(1)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
6．兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；
兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．
7．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

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