2023真題展現(xiàn)
考向一 概率
考向二 離散型隨機(jī)變量及其分布列
真題考查解讀
近年真題對比
考向一 概率
考向二 離散型隨機(jī)變量及其分布列
考向三 正太分布
命題規(guī)律解密
名校模擬探源
易錯易混速記/二級結(jié)論速記
考向一 概率
1．（多選）（2023?新高考Ⅱ?第12題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1﹣α；發(fā)送1時，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（ ）
A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1﹣β）2
C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．當(dāng)0＜α＜0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
【答案】ABD
解：采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正確；
采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，依次收到1，0，1的概率為：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正確；
采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，
則譯碼為1包含收到的信號為包含兩個1或3個1，
故所求概率為：C32β(2?β)2+(1?β)3，故C錯誤；
三次傳輸方案發(fā)送0，譯碼為0的概率P1=C32α(1?α)2+(1?α)3，
單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率P2＝1﹣α，
P2?P1=(1?α)?C32α(1?α)2?（1﹣α）3=(1?α)[1?C32α(1?α)?(1?α)2]
＝（1﹣α）（2α2﹣α）
＝（1﹣α）α（2α﹣1），
當(dāng)0＜α＜0.5時，P2﹣P1＜0，
故P2＜P1，故D正確．
考向二 離散型隨機(jī)變量及其分布列
2．（2023?新高考Ⅰ?第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第i次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，?，n，則E（i=1n Xi）=i=1n qi．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）．
【解答】解：（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為P，
由題意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；
（2）由題意設(shè)Pn為第n次投籃的是甲，
則Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，∴Pn+1?13=0.4（Pn?13），
又P1?13=12?13=16≠0，則{Pn?13}是首項為16，公比為0.4的等比數(shù)列，
∴Pn?13=16×（25）n﹣1，即Pn=13+16×（25）n﹣1，
∴第i次投籃的人是甲的概率為Pi=13+16×（25）i﹣1；
（3）由（2）得Pi=13+16×（25）i﹣1，
由題意得甲第i次投籃次數(shù)Yi服從兩點分布，且P（Yi＝1）＝1﹣P（Yi＝0）＝Pi，
∴E（i=1n Yi）＝E（Y）=i=1n Pi，
∴當(dāng)n≥1時，E（Y）=i=1n Pi=16i=1n (25)i?1+n3=16[1?(25)n]1?25+n3=518[1﹣（25）n]+n3；
當(dāng)n＝0時，E（Y）＝0=518[1﹣（25）0]+03，
綜上所述，E（Y）=518[1﹣（25）n]+n3，n∈N．
【命題意圖】
概率、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【考查要點】
概率多為小題。隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望是高考熱點之一。?？疾槎椃植?、正態(tài)分布、超幾何分布等常見的分布，多為解答題．
【得分要點】
1．古典概率的計算公式
如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）=mn=A中所含的基本事件數(shù)基本事件總數(shù)．
2．相互獨立事件的概率乘法公式
將事件A和事件B同時發(fā)生的事件即為A?B，若兩個相互獨立事件A、B同時發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率P（A?B）＝P（A）?P（B）．
3．條件概率
（1）條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P（B|A）來表示．
（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．
（3）條件概率的求法：
①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A)，其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=n(A∩B)n(A)．
4．離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望、方差
（1）離散型隨機(jī)變量X的概率分布列
（2）數(shù)學(xué)期望：稱EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
（3）方差、標(biāo)準(zhǔn)差：D(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根eq \r(D(X))為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．
（4）期望方差的性質(zhì)：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b為常數(shù))．
5．常見隨機(jī)變量的分布列
（1）兩點分布：
若隨機(jī)變量X服從兩點分布，則其分布列為
（2）超幾何分布:
在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列.
（3）二項分布
如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)Pkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到隨機(jī)變量X的概率分布如下：
由于Ceq \\al(k,n)Pkqn－k恰好是二項展開式(P＋q)n＝Ceq \\al(0,n)P0qn＋Ceq \\al(1,n)P1qn－1＋…＋Ceq \\al(k,n)Pkqn－k＋…＋Ceq \\al(n,n)Pnq0中的第k＋1項(k＝0，1，2，…，n)中的值，故稱隨機(jī)變量X為二項分布，記作X～B(n，P)．
6．常見隨機(jī)變量的均值與方差
（1）若X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np(1－p)．
（2）若X服從兩點分布，則EX＝p(p為成功概率)，DX＝p(1－p)．
考向一 概率
3．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：從2至8的7個整數(shù)中任取兩個數(shù)共有種方式，
其中互質(zhì)的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14種，
故所求概率為．
故選：D．
4．（2021?新高考Ⅰ）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（ ）
A．甲與丙相互獨立B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立D．丙與丁相互獨立
【解答】解：由題意可知，兩點數(shù)和為8的所有可能為：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
兩點數(shù)和為7的所有可能為（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），
P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝＝，P（丁）＝＝，
A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），
B：P（甲丁）＝＝P（甲）P（丁），
C：P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），
D：P（丙?。?≠P（丙）P（?。?，
故選：B．
考向二 離散型隨機(jī)變量及其分布列
5．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．
已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．
（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
【解答】解：（1）由已知可得，X的所有可能取值為0，20，100，
則P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，
P（X＝20）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32
P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列為：
（2）由（1）可知小明先回答A類問題累計得分的期望為E（X）＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4，
若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計得分，
則Y的所有可能取值為0，80，100，
P（Y＝0）＝1﹣0.6＝0.4，
P（Y＝80）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，
P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，
則Y的期望為E（Y）＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6，
因為E（Y）＞E（X），
所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題．
6．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．
（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；
（Ⅱ）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x的一個最小正實根，求證：當(dāng)E（X）≤1時，p＝1，當(dāng)E（X）＞1時，p＜1；
（Ⅲ）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．
【解答】（Ⅰ）解：由題意，p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，
故E（X）＝0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1＝1；
（Ⅱ）證明：由題意可知，p0+p1+p2+p3＝1，則E（X）＝p1+2p2+3p3，
所以p0+p1x+p2x2+p3x3＝x，變形為p0﹣（1﹣p1）x+p2x2+p3x3＝0，
所以p0+p2x2+p3x3﹣（p0+p2+p3）x＝0，
即p0（1﹣x）+p2x（x﹣1）+p3x（x﹣1）（x+1）＝0，
即（x﹣1）[p3x2+（p2+p3）x﹣p0]＝0，
令f（x）＝p3x2+（p2+p3）x﹣p0，
若p3≠0時，則f（x）的對稱軸為，
注意到f（0）＝﹣p0≤0，f（1）＝2p3+p2﹣p0＝p1+2p2+3p3﹣1＝E（X）﹣1，
若p3＝0時，f（1）＝E（X）﹣1，
當(dāng)E（X）≤1時，f（1）≤0，f（x）＝0的正實根x0≥1，原方程的最小正實根p＝1，
當(dāng)E（X）＞1時，f（1）＝p1+2p2+3p3﹣1＞0，f（x）＝0的正實根x0＜1，原方程的最小正實根p＜1，
（Ⅲ）解：當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望小于等于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕；
當(dāng)1個微生物個體繁殖下一代的期望大于1時，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能．
考向三 正太分布
7．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．σ越小，該物理量在一次測量中落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大
B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測量中結(jié)果落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等
【解答】解：因為某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），
所以測量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對稱，且方差σ2越小，則分布越集中，
對于A，σ越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結(jié)果落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大，故選項A正確；
對于B，測量結(jié)果大于10的概率為0.5，故選項B正確；
對于C，由于概率分布關(guān)于10對稱，所以測量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項C正確；
對于D，由于概率分布是集中在10附近的，（9.9，10.2）分布在10附近的區(qū)域大于（10，10.3）分布在10附近的區(qū)域，
故測量結(jié)果落在（9.9，10.2）內(nèi)的概率大于落在（10，10.3）內(nèi)的概率，故選項D錯誤．
故選：D．
8．（2022?新高考Ⅱ）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，則P（X＞2.5）＝ ．
【解答】解：∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），
∴P（2＜X≤2.5）+P（X＞2.5）＝0.5，
∴P（X＞2.5）＝0.5﹣0.36＝0.14，
故答案為：0.14．
?？疾楣诺涓判驼植嫉?。二項分布、正態(tài)分布、超幾何分布等常見的分布多為解答題．
一．互斥事件與對立事件（共2小題）
1．（2023?宛城區(qū)校級三模）先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A＝“兩次擲出的點數(shù)之和是6”，事件B＝“第一次擲出的點數(shù)是奇數(shù)”，事件C＝“兩次擲出的點數(shù)相同”，則（ ）
A．A與B互斥B．B與C相互獨立
C．D．A與C互斥
【解答】解：對于A，互斥事件指不可能同時發(fā)生的兩個事件，事件A可以有以下情況：
第一次擲出1，第二次擲出5或第一次擲出3，第二次擲出3等，如此與事件B有同時發(fā)生的可能，故A錯誤；
對于B，，，
所以B與C相互獨立，故B正確；
對于C，先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，共有36個基本事件，
其中事件A包含的基本事件有：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5個，
所以P（A）＝，故C錯誤；
對于D，因為，，，P（AC）≠P（A）?P（C），
所以A與C不相互獨立，故D錯誤．
故選：B．
2．（2023?五華區(qū)校級模擬）有5張獎券，其中3張可以中獎，現(xiàn)有5個人從中不放回地依次各隨機(jī)抽取一張，設(shè)每張獎券被抽到的可能性相同，記事件Ai＝“第i個人抽中中獎券”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．事件A1與A2互斥B．
C．D．
【解答】解：事件A1，A2可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；
由全概率公式得P（A2）＝P（A1）?P（A2|A1）+P（）（P（A2|）＝，故B錯誤；
由概率乘法公式得P（A1A2）＝P（A1）P（A2|A1）＝＝，故C正確；
根據(jù)題意P（A2A3）＝＝，
∴P（A3|A2）＝＝＝，故D錯誤．
故選：C．
二．概率及其性質(zhì)（共1小題）
3．（2023?咸陽一模）某家族有X，Y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)X性狀的概率為，出現(xiàn)Y性狀的概率為，X，Y兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成員X，Y兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)該家族某成員出現(xiàn)X性狀為事件A，出現(xiàn)Y性狀為事件B，
則X，Y兩種性狀都不出現(xiàn)為事件，兩種性狀都出現(xiàn)為事件A∩B，
所以，，，
所以，
又因為P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B），
所以．
故選：B．
三．互斥事件的概率加法公式（共2小題）
4．（2023?徐匯區(qū)校級一模）某產(chǎn)品長度合格的概率為，重量合格的概率為，長度、重量合格的概率為，任取一件產(chǎn)品，已知其重量合格，則它的長度也合格的概率為 ．
【解答】解：記“長度合格”為事件A，“重量合格”為事件B，
由題意可得：，
則，
所以已知其重量合格，則它的長度也合格的概率為．
故答案為：．
5．（2023?鯉城區(qū)校級模擬）甲箱中有2個白球和1個黑球，乙箱中有1個白球和2個黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)取兩個球放入乙箱，然后再從乙箱中任意取出兩個球．假設(shè)事件A＝“從乙箱中取出的兩球都是白球”，B＝“從乙箱中取出的兩球都是黑球”，C＝“從乙箱中取出的兩球一個是白球一個是黑球”，其對應(yīng)的概率分別為P（A），P（B），P（C），則（ ）
A．P（A）＝P（B）B．P（A）＝P（C）C．P（B）＜P（C）D．P（C）＜P（A）
【解答】解：當(dāng)從甲箱子中取出2球為白球時，再從乙箱中任意取出兩個白球，可得，
當(dāng)從甲箱子中取出2球為1個白球和一個黑球時，再從乙箱中任意取出兩個白球，
可得，所以；
當(dāng)從甲箱子中取出2球為白球時，再從乙箱中任意取出兩個黑球，可得，
當(dāng)從甲箱子中取出2球為1個白球和一個黑球時，再從乙箱中任意取出兩個黑球，
可得，所以；
當(dāng)從甲箱子中取出2球為白球時，再從乙箱中任意取出一白一黑球，可得，
當(dāng)從甲箱子中取出2球為1個白球和一個黑球時，再從乙箱中任意取出一白一黑球，
可得，所以，
綜上可得，P（B）＜P（C）．
故選：C．
四．等可能事件和等可能事件的概率（共2小題）
6．（2023?昌江縣二模）擺地攤的某攤（賭）主拿了8個白的，8個黑的圍棋子放在一個口袋里，并規(guī)定凡愿意摸彩者每人交一元錢作手續(xù)費，然后一次從口袋摸出5個棋子，中彩情況如下：
（1）某人交一元錢作手續(xù)費，然后一次從口袋摸出5個棋子，求獲得彩金20元的概率；
（2）某人交一元錢作手續(xù)費，然后一次從口袋摸出5個棋子，求無任何獎品的概率；
（3）按每天摸彩1000次統(tǒng)計，賭主可望凈賺約多少錢？
【解答】解：（1）獲得彩金20元的概率為；
（2）無任何獎品的概率為；
（3）中2元的概率，中5角的概率，
按摸彩1000次統(tǒng)計，賭主可望凈賺的錢數(shù)．
7．（2023?揚中市校級模擬）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 （用數(shù)字作答）．
【解答】解：把語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課排列，有種方法，這三門課中間存在兩個空，在兩個空中，
①若每個空各插入1節(jié)藝術(shù)課，則排法種數(shù)為 ＝72，
②若兩個空中只插入1節(jié)藝術(shù)課，則排法種數(shù)為 ?（?）?＝216，
③若語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課相鄰排列，把三門文化課捆綁為一個整體，
然后和三門藝術(shù)課進(jìn)行排列，則排法種數(shù)為＝144，
而所有的排法共有＝720種，
故在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為 ＝，
故答案為 ．
五．古典概型及其概率計算公式（共11小題）
8．（2023?江蘇模擬）某學(xué)習(xí)小組八名學(xué)生在一次物理測驗中的得分（單位：分）如下：83，84，86，87，88，90，93，96，這八人成績的第60百分位數(shù)是n．若在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則得分都比n低的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：8×60%＝4.8，故這8人成績的第60百分位數(shù)是從小到大排列的第5個數(shù)，即n＝88，
在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生共有種情況，
其中得分都比n低的有種，
所以所求概率．
故選：C．
9．（2023?廣東模擬）一堆蘋果中大果與小果的比例為9：1，現(xiàn)用一臺水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為5%，把小果篩選為大果的概率為2%．經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機(jī)篩選出來的“大果”里面隨機(jī)抽取一個，則這個“大果”是真的大果的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意，記事件A1＝放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件A2＝放入水果分選機(jī)的蘋果為小果，
記事件B＝水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，
P（A1）＝，P（A2）＝，P（B|A1）＝1﹣5%＝，P（B|A2）＝2%＝，
則P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）＝×+×＝，
則P（A1B）＝P（A1）P（B|A1）＝×＝，
故P（A1|B）＝＝＝．
故選：A．
10．（2023?揚州三模）某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步走完，則第二步走兩級臺階的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)事件Ai＝“第一步走的i級臺階“，事件Bi＝“第二步走的i級臺階”，
10級臺階要用7步走完，即走了四次1級，三次2級，
P（B2）＝P（A1）P（B2|A1）+P（A2）P（B2|A2）＝＝．
故選：C．
11．（2023?重慶模擬）現(xiàn)從2個男生2個女生共4人中任意選出2人參加巴蜀中學(xué)高三年級的百日誓師大會，已知選出的2人中有一個是男生，則另一個是女生的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：假設(shè)兩名男生為A1，A2，兩名女生為B1，B2，
從中任選兩人有男生的所有情況有：A1A2，A1B1，A2B1，A1B2，A2B2共5種情況，
其中選出的2人中有一個是男生，則另一個是女生的概率為，
故選：C．
12．（2023?青島一模）某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對其中3道題有思路，1道題完全沒有思路．有思路的題目每道做對的概率為0.8，沒有思路的題目，只好任意猜一個答案，猜對的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個學(xué)生2道題全做對的概率為（ ）
A．0.34B．0.37C．0.42D．0.43
【解答】解：設(shè)事件A表示“兩道題全做對”，
若兩個題目都有思路，則，
若兩個題目中一個有思路一個沒有思路，則，
故P（A）＝P1+P2＝0.32+0.1＝0.42．
故選：C．
13．（2023?臺州二模）袋子中有大小相同的5個白球和5個紅球，從中任取3個球，已知3個球中有白球，則恰好拿到2個紅球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因為取到的3個球中有白球，所以共有種方法，
3個球中恰好有兩個紅球的取法共有種，
設(shè)事件A＝“取到的3個球中有白球，且恰好有2個紅球”，
則．
故選：A．
14．（2023?保定二模）三位同學(xué)參加某項體育測試，每人要從100m跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個項目中選出兩個項目參加測試，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)100m跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個項目分別為a，b，c，d，
則每位同學(xué)都有六種選擇：ab，ac，ad，bc，bd，cd，
故三位同學(xué)共有6×6×6＝216種選法，
其中，有且僅有兩人選擇的項目完全相同的選法有×＝90種選法，
表示3個同學(xué)中選2個同學(xué)，使他們所選項目相同，表示6種組合中選一個，
表示剩下1個同學(xué)還有5種選擇，
則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是．
故選：C．
15．（2023?湖北模擬）在“2，3，5，7，11，13，17，19”這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，所有情況有：（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（2，13），（2，17），（2，19），（3，5），（3，7），（3，11），（3，13），（3，17），（3，19），（5，7），（5，11），（5，13），（5，17），（5，19），（7，11），（7，13），（7，17），（7，19），（11，13），（11，17），（11，19），（13，17），（13，19），（17，19），共28個，
這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的基本事件有：（2，3），（2，5），（2，11），（2，17），共4個，
所以所求概率為，
故選：C．
16．（2023?杭州一模）四位爸爸A、B、C、D相約各帶一名自己的小孩進(jìn)行交際能力訓(xùn)練，其中每位爸爸都與一個別人家的小孩進(jìn)行交談，則A的小孩與D交談的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)A，B，C，D四位爸爸的小孩分別是a，b，c，d，
則交談組合有9種情況，分別為：
（Ab，Ba，Cd，Dc），（Ab，Bd，Ca，Dc），（Ab，Bc，Cd，Da），（Ac，Ba，Cd，Db），（Ac，Bd，Ca，Db），（Ac，Bd，Cd，Da），（Ad，Ba，Cb，Dc），（Ad，Bc，Ca，Db），（Ad，Bc，Cd，Da），
A的小孩與D交談包含的不同組合有3種，分別為：（Ab，Bc，Cd，Da），（Ac，Bd，Cd，Da），（Ad，Bc，Cd，Da），
∴A的小孩與D交談的概率是P＝＝．
故選：A．
17．（2023?寧波模擬）已知甲盒中有2個白球，2個紅球，1個黑球，乙盒中有4個白球，3個紅球，2個黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個球，記事件A＝“甲盒中取出的球與乙盒中取出的球顏色不同”，則P（A）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：從甲盒中隨機(jī)取出一個白球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個紅球或黑球的概率為P1＝×＝，
從甲盒中隨機(jī)取出一個紅球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個白球或黑球的概率為P2＝×＝，
從甲盒中隨機(jī)取出一個黑球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出一個白球或紅球的概率為P3＝×＝，
則P（A）＝P1+P2+P3＝++＝，
故選：D．
18．（2023?安徽模擬）老師排練節(jié)目需要4個男生和2個女生，將這六名學(xué)生隨機(jī)排成一排，2個女生不相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：4個男生和2個女生隨機(jī)排成一行，則6名學(xué)生共有種排法，
若2個女生不相鄰，先排4個男生有種排法，4個男生產(chǎn)生5個空，
將2個女生插入5個空中有種排法，故有種排法，
所以2個女生不相鄰的概率．
故選：A．
六．列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率（共3小題）
19．（2023?貴陽模擬）從，這五個數(shù)中任選兩個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)的和大于的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：從，，，，這五個分?jǐn)?shù)中任選兩個數(shù)，則有：
{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，{，}，共10種情況，
其中這兩個數(shù)的和大于的有{，}，{，}，{，}，{，}，共4種情況，
故這兩個數(shù)的和大于的概率為．
故選：B．
20．（2023?廣東模擬）某公司在某地區(qū)進(jìn)行商品A的調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位購買商品A的顧客的性別，其中男性顧客18位，已知該地區(qū)商品A的購買率為10%，該地區(qū)女性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)中任選一人，若此人是男性，求此人購買商品A的概率 ．
【解答】解：設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人是男性為事件B，此人購買商品A為事件C，
則該地區(qū)男性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?﹣46%＝54%，
則P（B）＝54%，，
由條件概率公式可得．
故答案為：．
21．（2023?廣州模擬）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行2.5至5小時的中等強(qiáng)度運動．已知A社區(qū)有56%的居民每周運動總時間超過5小時，B社區(qū)有65%的居民每周運動總時間超過5小時，C社區(qū)有70%的居民每周運動總時間超過5小時，且A，B，C三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為5：6：9．
（1）從這三個社區(qū)中隨機(jī)抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；
（2）假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機(jī)變量X（單位：小時），且X～N（5.5，σ2）．現(xiàn)從這三個社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率．
【解答】解：（1）設(shè)這3個社區(qū)的人數(shù)分別為5x，6x，9x，
則A，B，C社區(qū)超過5h的人數(shù)分別為5x×56%＝2.8x，6x×65%＝3.9x，9x×70%＝6.3x，
故從這三個社區(qū)中隨機(jī)抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率P＝＝；
（2）因為X～N（5.5，σ2），
所以P（X＞5.5）＝，
由（1）P（X＞5）＝0.65，
故P（5＜X＜5.5）＝0.15，
所以P（5＜X＜6）＝0.3，P（X≥6或X≤5）＝0.7，
故從這三個社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率P＝+0.33＝0.216．
七．幾何概型（共3小題）
22．（2023?涼山州模擬）在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個實數(shù)a，b，則2a+b＞2的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：依題意，點（a，b）在約束條件表示的平面區(qū)域內(nèi)，
不等式組表示的平面區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，其中OA＝1，如圖，
滿足2a+b＞2的事件M是正方形OABC內(nèi)，直線2x+y＝2右側(cè)的△ABD內(nèi)部的點形成的陰影區(qū)域，
由得，即，則△ABD的面積，而，
所以2a+b＞2的概率．
故選：A．
23．（2023?興慶區(qū)校級四模）已知A（1，1），B（5，1），C（5，5），D（1，5）是平面直角坐標(biāo)系中的四個點，在四邊形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和小于5的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如圖所示：
四邊形ABCD構(gòu)成的區(qū)域為Ω＝{（x，y）|1＜x＜5，1＜y＜5}，其面積為S＝4×4＝16，
設(shè)事件M表示取的點橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和小于5，
則構(gòu)成圖中的陰影部分，其面積為，
所以P（M）＝＝．
故選：A．
24．（2023?河西區(qū)二模）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立．用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為 2 ；設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，則事件M發(fā)生的概率為 ．
【解答】解：（1）X的可能取值為：0，1，2，3．
P（X＝0）＝（）3（）0＝，P（X＝1）＝（）2（）1＝，
P（X＝2）＝（）（）2＝，P（X＝3）＝（）0（）3＝，
∴E（X）＝0×+1×+2×+3×＝2；
（2）M＝“甲3天到校且乙1天到?！被颉凹?天到校且乙0天到?！?，
∴P（M）＝（）3?（）2（）+（）（）2?（）3＝．
故答案為：2，．
八．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式（共2小題）
25．（2023?湖北模擬）某同學(xué)喜愛球類和游泳運動．在暑假期間，該同學(xué)上午去打球的概率為．若該同學(xué)上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學(xué)在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)A＝“上午打球”，B＝“下午游泳”，
則P（AB）＝，P（B）＝，
故P（B）＝×1+×＝，
故P（A|B）＝＝＝．
故選：C．
26．（2023?浙江模擬）班級舉行知識競猜闖關(guān)活動，設(shè)置了A，B，C三個問題．答題者可自行決定答三題順序．甲有60%的可能答對問題A，80%的可能答對問題B，50%的可能答對問題C．記答題者連續(xù)答對兩題的概率為p，要使得p最大，他應(yīng)該先回答（ ）
A．問題AB．問題B
C．問題A，B和C都可以D．問題C
【解答】解：①若先回答問題A，則答題順序可能為A，B，C和A，C，B，
當(dāng)答題順序為A，B，C且連對兩題時，p＝0.6×0.8×（1﹣0.5）+（1﹣0.6）×0.8×0.5＝0.4；
當(dāng)答題順序為A，C，B且連對兩題時，p＝0.6×0.5×（1﹣0.8）+（1﹣0.6）×0.5×0.8＝0.22；
所以先回答問題A，連對兩題的概率為0.4+0.22＝0.62；
②若先回答問題B，則答題順序可能為B，A，C和B，C，A，
當(dāng)答題順序為B，A，C且連對兩題時，p＝0.8×0.6×（1﹣0.5）+（1﹣0.8）×0.6×0.5＝0.3；
當(dāng)答題順序為B，C，A且連對兩題時，p＝0.8×0.5×（1﹣0.6）+（1﹣0.8）×0.5×0.6＝0.22；
所以先回答問題B，連對兩題的概率為0.3+0.22＝0.52；
③若先回答問題C，則答題順序可能為C，A，B和C，B，A，
當(dāng)答題順序為C，A，B且連對兩題時，p＝0.5×0.6×（1﹣0.8）+（1﹣0.5）×0.6×0.8＝0.3；
當(dāng)答題順序為C，B，A且連對兩題時，p＝0.5×0.8×（1﹣0.6）+（1﹣0.5）×0.8×0.6＝0.4；
所以先回答問題C，連對兩題的概率為0.3+0.4＝0.7；
因為0.7＞0.62＞0.52，所以要使p最大，應(yīng)先回答問題C．
故選：D．
九．n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率（共2小題）
27．（2023?郴州模擬）籃球隊的5名隊員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由題意可知每位隊員把球傳給其他4人的概率都為，
由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的情況可分為：
只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，
則概率為．
故選：D．
28．（多選）（2023?天河區(qū)三模）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n（n∈N*）局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為．若某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P（n），則（ ）
A．
B．
C．
D．P（n）的最小值為
【解答】解：由題意知：要使甲贏得比賽，則甲至少贏n+1局，
P（n）＝（）2n（+???+），
∵+＝22n，
∴P（n）＝，故C正確；
P（2）＝＝，故A正確；
P（3）＝＝，故B錯誤；
當(dāng)n＝1時，P（1）＝＝，
由A知P（2）＞P（1），∴P（n）的最大值不是，故D錯誤．
故選：AC．
一十．條件概率與獨立事件（共2小題）
29．（2023?南崗區(qū)校級二模）已知P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，，則＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)P（A）＝x，
由全概率公式，P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|），
即0.3＝0.9x+0.2（1﹣x）＝0.7x+0.2，解可得x＝，
則＝1﹣P（A）＝．
故選：B．
30．（2023?瓊海校級模擬）東莞市同沙生態(tài)公園水繞山環(huán)，峰巒疊嶂，是一個天生麗質(zhì)，融山水生態(tài)與人文景觀為一體的新型公園．現(xiàn)有甲乙兩位游客慕名來到同沙生態(tài)公園旅游，分別準(zhǔn)備從映翠湖、十里河塘、計生雕塑園和鷺鳥天堂4個旅游景點中隨機(jī)選擇其中一個景點游玩．記事件A：甲和乙至少一人選擇映翠湖，事件B：甲和乙選擇的景點不同，則條件概率P（B|A）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：甲和乙至少一人選擇映翠湖對應(yīng)的基本事件有4×4﹣3×3＝7個，
∵甲和乙選擇的景點不同對應(yīng)的基本事件有個，
∴P（B|A）＝．
故選：C．
一十一．全概率公式（共2小題）
31．（2023?龍泉驛區(qū)模擬）據(jù)美國的一份資料報道，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙患肺癌的概率為（ ）
A．0.025%B．0.032%C．0.048%D．0.02%
【解答】解：設(shè)不吸煙患肺癌的概率為x，
則0.2×0.004+0.8x＝0.001，
解得x＝0.00025＝0.025%．
故選：A．
32．（2023?河源模擬）已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球．若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個球，設(shè)事件Ai為第一次取出的球為i號，事件Bi為第二次取出的球為i號，則下列說法錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由題意得，P（A3）＝，P（B3）＝＝，
P（A3B3）＝＝，
P（B3|A3）＝，
故ABD正確，C錯誤．
故選：C．
一十二．離散型隨機(jī)變量及其分布列（共4小題）
33．（2023?貴州模擬）據(jù)世界田聯(lián)官方網(wǎng)站消息，原定于2023年5月13、14日在中國廣州舉辦的世界田聯(lián)接力賽延期至2025年4月至5月舉行．據(jù)了解，甲、乙、丙三支隊伍將會參加2025年4月至5月在廣州舉行的4×400米接力的角逐．接力賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才能進(jìn)入決賽．已知甲隊在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；乙隊在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；丙隊在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和．
（1）甲、乙、丙三隊中，誰進(jìn)入決賽的可能性最大；
（2）設(shè)甲、乙、丙三隊中進(jìn)入決賽的隊伍數(shù)為ξ，求ξ的分布列．
【解答】解：（1）甲隊進(jìn)入決賽的概率為，
乙隊進(jìn)入決賽的概率為，
丙隊進(jìn)入決賽的概率為，
顯然乙隊進(jìn)入決賽的概率最大，所以乙進(jìn)入決賽的可能性最大．
（2）由（1）可知：甲、乙、丙三隊進(jìn)入決賽的概率分別為，
ξ的可能取值為0，1，2，3，
，，，，
故ξ的分布列為：
34．（2023?晉江市校級模擬）某校組織圍棋比賽，每場比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分．已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為．
（1）在一場比賽中，甲的積分為X，求X的概率分布列；
（2）求甲在參加三場比賽后，積分之和為5分的概率．
【解答】解：（1）由題意可知，X可能取值為0，1，2，3，
當(dāng)X＝0時，則前三場比賽都輸或前三場比賽贏一場且第四場比賽輸，
則P（X＝0）＝（1﹣）3+××（1﹣）2（1﹣）＝，
當(dāng)X＝1時，前四場比賽贏兩場且第五場比賽輸，
則P（X＝1）＝×（）2×（1﹣）2（1﹣）＝；
當(dāng)X＝2時，前四場比賽贏兩場且第五場比賽贏，
則P（X＝2）＝×（）2（1﹣）2×＝，
當(dāng)X＝3時，前三場比賽都贏或前三場比賽贏兩場且第四場比賽贏，
則P（X＝3）＝（）3+×（）2（1﹣）×＝，
故X的概率分布列如下：
（2）設(shè)甲在參加三場比賽后，積分之和為5分為事件A，
則甲的三場比賽積分分別為1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故P（A）＝3×××+×××+3×××＝，
故甲在參加三場比賽后，積分之和為5分為．
35．（2023?常德二模）某大學(xué)一個專業(yè)團(tuán)隊為某專業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件，其中有A、B、C三種軟件投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用后，團(tuán)隊調(diào)查了這個專業(yè)大一四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：
（1）從這12人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好來自同一班級的概率；
（2）從這12名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習(xí)時間每人選擇一款軟件，其中選A、B兩個軟件學(xué)習(xí)的概率都是，且他們選擇A、B、C任一款軟件都是相互獨立的．設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時間選軟件C的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（1）從12人中抽取2個的所有選法有＝66種
記：“這2人恰好來自同一班級”為事件A，則A包含的結(jié)果有＝13種
∴P（A）＝
（2）由題意可得，每人選擇C的概率為1﹣2×＝
則ξ～B（3，）
∴P（ξ＝k）＝（k＝0，1，2，3）
∴Eξ＝3×＝2
36．（2023?南通二模）設(shè)（X，Y）是一個二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為（ai，bj），其中i，j∈N*，令pij＝P（X＝ai，Y＝bj），稱pij（i，j∈N*）是二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：
現(xiàn)有n（n∈N*）個相同的球等可能的放入編號為1，2，3的三個盒子中，記落下第1號盒子中的球的個數(shù)為X，落入第2號盒子中的球的個數(shù)為Y．
（1）當(dāng)n＝2時，求（X，Y）的聯(lián)合分布列；
（2）設(shè)pk＝（X＝k，Y＝m），k∈N且k≤n，計算．
【解答】解：（1）由題意知X可取0，1，2，Y可取0，1，2，
則P（X＝0，Y＝0）＝＝，
P（X＝0，Y＝1）＝＝，
P（X＝0，Y＝2）＝＝，
P（X＝1，Y＝0）＝＝，
P（X＝1，Y＝1）＝＝，
P（X＝2，Y＝0）＝＝，
P（X＝1，Y＝2）＝P（X＝2，Y＝1）＝P（X＝2，Y＝2）＝0，
∴（X，Y）的聯(lián)合分布列為：
（2）當(dāng)k+m＞n時，P（X＝k，Y＝m）＝0，
∴pk＝（X＝k，Y＝m）＝
＝＝＝＝，
∴＝，
設(shè)Z～B（n，），則由二項分布的期望公式得＝E（Z）＝．
一十三．離散型隨機(jī)變量的期望與方差（共12小題）
37．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）ChatGPT是由人工智能研究實驗室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機(jī)器人模型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對話，ChatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)．在測試ChatGPT時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為85%，當(dāng)出現(xiàn)語法錯誤時，ChatGPT的回答被采納的概率為50%．
（1）在某次測試中輸入了8個問題，ChatGPT的回答有5個被采納．現(xiàn)從這8個問題中抽取3個，以ξ表示抽取
的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%，
（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問題的輸入沒有語法錯誤的概率．
【解答】解：（1）易知ξ的所有取值為0，1，2，3，
此時P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，
所以ξ的分布列為：
則E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝；
（2）（i）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，
記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，
記“ChatGPT的回答被采納”為事件C，
易知P（B）＝0.1，
所以P（A）＝0.9，P（C|A）＝0.85，P（C|B）＝0.5，
則P（C）＝P（AC）+P（BC）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）＝0.9×0.85+0.1×0.5＝0.815；
（ii）若ChatGPT的回答被采納，
則該問題的輸入沒有語法錯誤的概率P（A|C）＝＝＝＝．
38．（2023?靜安區(qū)二模）概率統(tǒng)計在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中應(yīng)用廣泛．請解決下列兩個問題．
（1）隨著中小學(xué)“雙減”政策的深入人心，體育教學(xué)和各項體育鍛煉迎來時間充沛的春天．某初中學(xué)校學(xué)生籃球隊從開學(xué)第二周開始每周進(jìn)行訓(xùn)練，第一次訓(xùn)練前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓(xùn)練，都是從中不放回任意取出2個籃球，訓(xùn)練結(jié)束后放回原處．設(shè)第一次訓(xùn)練時取到的新球個數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布和期望．
（2）由于手機(jī)用微波頻率信號傳遞信息，那么長時間使用手機(jī)是否會增加得腦瘤的概率？研究者針對這個問題，對腦瘤病人進(jìn)行問卷調(diào)查，詢問他們是否總是習(xí)慣在固定的一側(cè)接聽電話？如果是，是哪邊？結(jié)果有88人喜歡用固定的一側(cè)接電話．其中腦瘤部位在左側(cè)的病人習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話的有14人，習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話的有28人；腦瘤部位在右側(cè)的病人習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話的有19人，習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話的有27人．
根據(jù)上述信息寫出下面這張2×2列聯(lián)表中字母所表示的數(shù)據(jù)，并對患腦瘤在左右側(cè)的部位是否與習(xí)慣在該側(cè)接聽手機(jī)電話相關(guān)進(jìn)行獨立性檢驗．（顯著性水平α＝0.05）
參考公式及數(shù)據(jù)：K，其中，n＝a+b+c+d，P（K2≥3.841）≈0.05．
【解答】解：（1）第一次訓(xùn)練時所取的球是從6個球（3新，3舊）中不放回取出2個球，所以ξ可取的值為0，1，2，
，
則分布列如下：
則期望為；
（2）由題目條件可得列聯(lián)表如下：
則，故長時間使用手機(jī)與是否得腦瘤沒有顯著關(guān)系．
39．（2023?湖北模擬）高性能計算芯片是一切人工智能的基礎(chǔ)．國內(nèi)某企業(yè)已快速啟動AI芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期需進(jìn)行產(chǎn)品檢測，檢測包括智能檢測和人工檢測．智能檢測在生產(chǎn)線上自動完成，包括安全檢測、蓄能檢測、性能檢測等三項指標(biāo)，且智能檢測三項指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，，，人工檢測僅對智能檢測達(dá)標(biāo)（即三項指標(biāo)均達(dá)標(biāo)）的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測，且僅設(shè)置一個綜合指標(biāo)．人工檢測綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)的概率為p（0＜p＜1）．
（1）求每個AI芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)的概率；
（2）人工檢測抽檢50個AI芯片，記恰有1個不達(dá)標(biāo)的概率為f（p），當(dāng)p＝p0時，f（p）取得最大值，求p0；
（3）若AI芯片的合格率不超過93%，則需對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．以（2）中確定的p0作為p的值，試判斷該企業(yè)是否需對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．
【解答】解：（1）記事件A＝“每個AI芯片智能檢測不達(dá)標(biāo)”，則．
（2）由題意，
則f'（p）＝50[（1﹣p）49+p×49（1﹣p）48×（﹣1）]＝50（1﹣p）48（1﹣50p），
令f'（p）＝0，則，
當(dāng)，f'（p）＞0，f（p）為增函數(shù)；
當(dāng)，f'（p）＜0，f（p）為減函數(shù)；
所以f（p）在處取到最大值．
（3）記事件B＝“人工檢測達(dá)標(biāo)”，
則，
又，
所以，
故需要對生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．
40．（2023?湖北模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組為研究本校學(xué)生數(shù)學(xué)成績與語文成績的關(guān)系，采取有放回的簡單隨機(jī)抽樣，從學(xué)校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：
（1）根據(jù)α＝0.010的獨立性檢驗，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？
（2）在人工智能中常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比．現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，A表示“選到的學(xué)生語文成績不優(yōu)秀”，B表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀”請利用樣本數(shù)據(jù)，估計L（B|A）的值．
（3）現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個小組，從抽取的8人里再隨機(jī)抽取3人參加數(shù)學(xué)競賽，求這3人中，語文成績優(yōu)秀的人數(shù)X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：．
【解答】解：（1）零假設(shè)H0：數(shù)學(xué)成績與語文成績無關(guān)，
據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：，
根據(jù)小概率值α＝0.010的χ2的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，而認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)；
（2）∵，
∴估計L（B|A）的值為；
（3）按分層抽樣，語文成績優(yōu)秀的5人，語文成績不優(yōu)秀的3人，
隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，
則，，，，
∴X的概率分布列為：
∴數(shù)學(xué)期望．
41．（2023?深圳二模）飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運動，目前已經(jīng)成為了年輕人運動的新潮流．某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關(guān)，對該地區(qū)的年輕人進(jìn)行了簡單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表：
（1）在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為愛好飛盤運動與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍，在相同的檢驗標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請解釋其中的原因．
附：，其中n＝a+b+c+d．
．
【解答】解：（1）樣本中愛好飛盤運動的年輕人中男性16人，女性24人，比例為4：6，
按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人，
隨機(jī)變量X的取值為：0，1，2，3，
，
，
，
，
隨機(jī)變量X的分布列為：
隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；
（2）零假設(shè)為H0：愛好飛盤運動與性別無關(guān)聯(lián)．
根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，
根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為愛好飛盤運動與性別無關(guān)聯(lián)；
列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍后，
，
根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，推斷H0成立，即認(rèn)為愛好飛盤運動與性別有關(guān)聯(lián)；
所以結(jié)論不一樣，原因是每個數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化．
42．（2023?海淀區(qū)校級三模）人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來，理論和技術(shù)日益成熟．某校成立了A，B兩個研究性小組，分別設(shè)計和開發(fā)不同的AI軟件用于識別音樂的類別：“古典音樂”、“流行音樂”、“民族音樂”．為測試AI軟件的識別能力，計劃采取兩種測試方案．
方案一：將100首音樂隨機(jī)分配給A，B兩個小組識別，每首音樂只被一個AI軟件識別一次，并記錄結(jié)果；
方案二：對同一首音樂，A，B兩組分別識別兩次，如果識別的正確次數(shù)之和不少于三次，則稱該次測試通過．
（Ⅰ）若方案一的測試結(jié)果顯示：正確識別的音樂數(shù)之和占總數(shù)的；在正確識別的音樂數(shù)中，A組占；在錯誤識別的音樂數(shù)中，B組占．
（ⅰ）用頻率估計概率，兩個研究性小組的AI軟件每次能正確識別音樂類別的概率分別為多少？
（ⅱ）利用（?。┲械慕Y(jié)論，求方案二在一次測試中獲得通過的概率；
（Ⅱ）若方案一的測試結(jié)果如下：
在A小組、B小組識別的歌曲中各任選一首，記X1，X2分別為A小組、B小組正確識別的數(shù)量，試比較E（X1）和E（X2）的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可）
【解答】解：（Ⅰ）（i）對于方案一，設(shè)A、B兩個研究性小組的AI軟件每次能正確識別音樂類別的概率分別為P1、P2，
100首音樂中，正確被識別的數(shù)量為首，錯誤被識別數(shù)量為100﹣60＝40首，
其中A組識別正確的數(shù)量為首，B組識別正確的數(shù)量為60﹣40＝20首，
其中A組識別錯誤的數(shù)量為 首，B組識別錯誤的數(shù)量為 首，
故 ，．
（ii）記事件D：方案二在一次測試中獲得通過，則P（D）＝（）2××（）2+×××（）2+（）2×（）2＝．
（Ⅱ）由題意可知，A小組識別正確的歌曲數(shù)量為首，
B小組識別正確的歌曲數(shù)量為首，
由題意可知，X1、X2均服從超幾何分布，且X1～H（3，24，40），X2～H（3，36，60），
根據(jù)超幾何分布的期望公式可得，，
因此，E（X1）＝E（X2）．
43．（2023?廬陽區(qū)校級模擬）一個不透明箱子中有除顏色外其它都相同的四個小球，其中兩個紅球兩個白球的概率為，三個紅球一個白球的概率為．
（1）從箱子中隨機(jī)抽取一個小球，求抽到紅球的概率；
（2）現(xiàn)從箱子中隨機(jī)一次性抽取兩個或三個小球，已知抽到兩個小球的概率為，抽到三個小球的概率為，所抽到的小球中，每個紅球記2分，每個白球記﹣1分，用X表示抽到的小球分?jǐn)?shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（1）記事件A表示“抽取一個小球且為紅球”，B1表示“箱子中小球為兩紅兩白”，B2表示“箱子中小球為三紅一白”，
則．
（2）由題意得X的取值可以為﹣2，0，1，3，4，6，
，，，
，，．
隨機(jī)變量X的分布列為：
所以X的分布列及數(shù)學(xué)期望為：．
44．（2023?福鼎市校級一模）“斯諾克（Snker）”是臺球比賽的一種，意思是“阻礙、障礙”，所以斯諾克臺球有時也被稱為障礙臺球，是四大“紳士運動”之一，隨著生活水平的提高，“斯諾克”也成為人們喜歡的運動之一．現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行比賽比賽采用5局3勝制，各局比賽雙方輪流開球（例如：若第一局甲開球，則第二局乙開球，第三局甲開球……），沒有平局．已知在甲的“開球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，在乙的“開球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，并且通過“猜硬幣”，甲獲得了第一局比賽的開球權(quán)．
（1）求甲以3：1贏得比賽的概率；
（2）設(shè)比賽的總局?jǐn)?shù)為ξ，求E（ξ）．
【解答】解：（1）甲以3：1贏得比賽，則前3局中甲贏得了2局，第4局甲獲勝，
所以甲以3：1贏得比賽的概率為．
（2）ξ的可能取值為3，4，5，
設(shè)甲獲勝的概率為P甲，乙獲勝的概率為P乙，
；；；；
；；
則，
所以．
45．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）現(xiàn)有4個除顏色外完全一樣的小球和3個分別標(biāo)有甲、乙、丙的盒子，將4個球全部隨機(jī)放入三個盒子中（允許有空盒）．
（1）記盒子乙中的小球個數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；
（2）對于兩個不互相獨立的事件M，N，若P（M）＞0，P（N）＞0，稱為事件M，N的相關(guān)系數(shù)．
①若ρ（M，N）＞0，求證：P（M|N）＞P（M）；
②若事件M：盒子乙不空，事件N：至少有兩個盒子不空，求ρ（M，N）．
【解答】解：（1）由題意可知，X的可能的取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，），
故E（X）＝4×．
（2）①因為，且ρ（M，N）＞0，
所以P（MN）﹣P（M）P（N）＞0，即＞P（M），而P（M|N）＝，
所以P（M|N）＞P（M）成立．
②事件M：盒子乙不空，則事件：盒子乙空，
由第1問可知P（）＝＝，所以P（M）＝1﹣P（）＝，
事件N：至少有兩個盒子不空，則事件：有一個盒子不空，
P（）＝，所以P（N）＝1﹣P（）＝，
事件MN：至少有兩個盒子不空且盒子乙不空，分為兩種情況，一種是三個盒子都不空，按照1、1、2分組；另一種是兩個盒子不空且乙不空，此時甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分組即可，
故P（MN）＝+＝，
所以ρ（M，N）＝＝．
46．（2023?浙江模擬）某籃球隊為提高隊員訓(xùn)練的積極性，進(jìn)行小組投籃游戲；每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成一個小組．游戲規(guī)則如下：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”．已知甲組兩名隊員投進(jìn)籃球的概率分別為p1，p2．
（1）若p1＝，p2＝，求他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率；
（2）若p1+p2＝，則在游戲中，甲、乙兩名隊員想要獲得297次“神投小組”的稱號，理論上他們小組至少要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時p1，p2的值．
【解答】解：（1）每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，則可能的情況有①甲投中一次，乙投中兩次；②甲投中兩次，乙投中一次；③甲投中兩次，乙投中兩次，
∵p1＝，p2＝，
∴他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率為?（）2×（）2+（）2×××+（）2×（）2＝；
（2）由題意得他們在一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率p＝?p1（1﹣p1）+?p2（1﹣p2）+?＝2p1p2（p1+p2）﹣3?，
∵p1+p2＝，∴p＝p1p2﹣3?，
又0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1+p2＝，則≤p1≤1，
令m＝p1p2＝﹣+p1＝﹣（p1﹣）2+，則m∈[，]，
∴p＝y(tǒng)（m）＝﹣3m2+m＝﹣3（m﹣）2+，
∴p＝﹣3m2+m在[，]上單調(diào)遞增，則pmax＝y(tǒng)（）＝，
∴他們小組在n輪游戲中獲得“神投小組”稱號的次數(shù)ξ滿足ξ～B（n，p），
∵np＝297，則n＝≥＝625，
∴理論上至少要進(jìn)行625輪游戲，且p1+p2＝，p1p2＝，解得p1＝p2＝，
故理論上他們小組至少要進(jìn)行625輪游戲才行，此時p1＝p2＝．
47．（2023?湖南模擬）國產(chǎn)科幻電影《流浪地球2》在給觀眾帶來視覺震撼的同時，也引領(lǐng)觀眾對天文，航天、數(shù)字科技等領(lǐng)域展開了無限遐想，某校為激發(fā)學(xué)生對天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識的興趣，舉行了一次知識競賽（競賽試題中天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識題量占比分別為40%，40%，20%）．某同學(xué)回答天文、航天、數(shù)字科技這三類問題中每個題的正確率分別為，，．
（1）若該同學(xué)在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率；
（2）若該同學(xué)從這三類題中各任選一題作答，每回答正確一題得2分，回答錯誤不得分，設(shè)該同學(xué)回答三題后的總得分為X分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：（1）設(shè)所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關(guān)知識的題目分別為事件A1，A2，A3，
所選的題目回答正確為事件B，
則P（B）＝P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）+P（A3）P（BA3）
＝，
所以該同學(xué)在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為；
（2）X的可能取值為0，2，4，6，
，
，
，
，
則X的分布列為：
所以．
48．（2023?東方校級模擬）為了解某班學(xué)生喜愛打羽毛球是否與性別有關(guān)，故對本班60名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表：
已知在全班60人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛打羽毛球的學(xué)生的概率為．
（1）請將上面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并推斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生喜愛打羽毛球與性別有關(guān)；
（2）采用分層抽樣的方法在喜愛打羽毛球的學(xué)生中抽取5人，再選出2人參加學(xué)校組織的羽毛球比賽，記選出的2人中女生數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：，n＝a+b+c+d．
【解答】解：（1）因為全班60人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛打羽毛球的學(xué)生的概率為，
所以喜愛打羽毛球的學(xué)生的人數(shù)為40，其中男生為24人，女生16人，
故可得到2×2列聯(lián)表：
又，
所以沒有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生喜愛打羽毛球與性別有關(guān)．
（2）用分層抽樣的方法在喜愛打羽毛球的學(xué)生中抽取5人，其中男生3人，女生2人，所以X的可能取值為0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列為：
X的數(shù)學(xué)期望．
一十四．二項分布與n次獨立重復(fù)試驗的模型（共3小題）
49．（2023?雨花區(qū)校級一模）若，則當(dāng)k＝0，1，2，…，100時（ ）
A．P（X＝k）≤P（X＝50）B．P（X＝k）≤P（X＝32）
C．P（X＝k）≤P（X＝33）D．P（X＝k）≤P（X＝49）
【解答】解：根據(jù)題意可知，
，
即，解得，
又k為整數(shù)，故k＝33，
即P（X＝k）≤P（X＝33）．
故選：C．
50．（2023?濟(jì)南三模）已知隨機(jī)變量X，Y，其中X～B（6，），Y～N（μ，σ2），E（X）＝E（Y），P（|Y|＜2）＝0.3，則P（Y＞6）＝ 0.2 ．
【解答】解：X～B（6，），Y～N（μ，σ2），E（X）＝E（Y），
則μ＝，
P（|Y|＜2）＝0.3，
則P（﹣2＜Y＜2）＝0.3，
故P（2＜Y＜6）＝P（﹣2＜Y＜2）＝0.3，
所以P（Y＞6）＝P（Y＞2）﹣P（2＜Y＜6）＝0.5﹣0.3＝0.2．
故答案為：0.2．
51．（2023?湖北模擬）已知隨機(jī)變量X服從B（9，0.6），則當(dāng)k＝ 5或6 時，概率P（X＝k）最大．
【解答】解：隨機(jī)變量X服從B（9，0.6），
則P（X＝k）＝，
概率P（X＝k）最大，
則P（X＝k）≥P（X＝k+1）且P（X＝k）≥P（X＝k﹣1），
即≥
且≥，
即2（k+1）≥27﹣3k且3（10﹣k）≥2k，解得5≤k≤6，
∵k∈N，
∴k＝5或k＝6．
故答案為：5或6．
一十五．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義（共6小題）
52．（2023?保定三模）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ≤0）＝0.2，則P（2＜ξ≤4）等于（ ）
A．0.8B．0.6C．0.4D．0.3
【解答】解：因為ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ≤0）＝0.2，
所以P（ξ＞4）＝0.2，所以＝0.3．
故選：D．
53．（2023?長春模擬）已知隨機(jī)變量X～N（2，σ2），且P（X≤4）＝0.84，則P（0＜X≤4）＝（ ）
A．0.84B．0.68C．0.34D．0.16
【解答】解：由 P（X≤4）＝0.84，知 P（X≥4）＝P（X≤0）＝0.16，
故 P（0＜X≤4）＝1﹣P（X≥4）﹣P（X≤0）＝1﹣0.32＝0.68．
故選：B．
54．（2023?佛山模擬）李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，X～N（μ1，62），Y～N（μ2，22）．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結(jié)果正確的是（ ）
A．D（X）＝6B．μ1＞μ2
C．P（X≤38）＜P（Y≤38）D．P（X≤34）＜P（Y≤34）
【解答】解：由X～N（μ1，62），得D（X）＝36，A錯誤；
由正態(tài)密度曲線圖像可知，μ1＝30，μ2＝34，μ1＜μ2，B錯誤；
由正態(tài)密度曲線圖像可知，1﹣P（X≤38）＞1﹣P（Y≤38），所以P（X≤38）＜P（Y≤38），C正確；
由正態(tài)密度曲線圖像可知，P（X≤34）＞，P（Y≤34）＝，所以P（X≤34）＞P（Y≤34），D錯誤．
故選：C．
55．（2023?皇姑區(qū)校級模擬）2023年國家公務(wù)員考試筆試于1月8日結(jié)束，公共科目包括行政職業(yè)能力測驗和申論兩科，滿分均為100分，行政職業(yè)能力測驗中，考生成績X服從正態(tài)分N（80，σ2）．若，則從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，恰有2名考生的成績高于85的概率為 ．
．
【解答】解：∵考生成績X服從正態(tài)分N（80，σ2），
∴P（X＞85）＝＝＝，
∴從參加這次考試的考生中任意選取3名考生，恰有2名考生的成績高于85的概率為＝．
故答案為：．
56．（2023?廣州二模）某班有48名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N（80，σ2），且成績在[80，90]上的學(xué)生人數(shù)為16，則成績在90分以上的學(xué)生人數(shù)為 8 ．
【解答】解：由X（單位：分）服從正態(tài)分布N（80，σ2），知正態(tài)密度曲線的對稱軸為X＝80，成績在[80，90]上的學(xué)生人數(shù)為16，
由對稱性知成績在80分上的學(xué)生人數(shù)為24人，所以90分以上的學(xué)生人數(shù)為24﹣16＝8．
故答案為：8．
57．（2023?山西模擬）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞m），則（x+m）6的展開式中x的系數(shù)為 192 ．
【解答】解：因為隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，且P（ξ＜﹣1）＝P（ξ＞m），
所以，故m＝2，
二項式（x+2）6展開式的通項，
令6﹣k＝1，可得k＝5，
所以（x+2）6展開式中x的系數(shù)為，
故答案為：192．
一十六．概率的應(yīng)用（共3小題）
58．（多選）（2023?金安區(qū)校級模擬）一個袋子中有編號分別為1，2，3，4的4個球，除編號外沒有其它差異．每次摸球后放回，從中任意摸球兩次，每次摸出一個球．設(shè)“第一次摸到的球的編號為2”為事件A，“第二次摸到的球的編號為奇數(shù)”為事件B，“兩次摸到的球的編號之和能被3整除”為事件C，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．事件B與事件C相互獨立
C．
D．事件A與事件B互為對立事件
【解答】解：根據(jù)題意，從4個球中任意摸球兩次，每次摸球后放回，則有4×4＝16個基本事件，
則事件A包含4個基本事件，事件B包含8個基本事件，
事件C包含：（3，3）、（1，2）、（2、1），（4，2）、（2，4），共5個基本事件，
由此分析選項：
對于A，易得P（C）＝；
對于B，P（B）＝，P（BC）＝，P（B）P（C）≠P（BC），B錯誤；
對于C，P（A）＝，P（AC）＝＝，則P（C|A）＝＝＝，C正確；
對于D，事件A、B可能同時發(fā)生，不是對立事件，D錯誤．
故選：AC．
59．（多選）（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）一個盒子中裝有a個黑球和b個白球（a，b均為不小于2的正整數(shù)），現(xiàn)從中先后無放回地取2個球．記“第一次取得黑球”為A1，“第一次取得白球”為A2，“第二次取得黑球”為B1，“第二次取得白球”為B2，則（ ）
A．
B．
C．P（B1|A1）+P（B2|A1）＜1
D．P（B2|A1）+P（B1|A2）＞1
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，A1B2即第一次取得黑球，第二次取得白球，則P（A1B2）＝×＝，A錯誤；
對于B，A2B1即第一次取得白球，第二次取得黑球，則P（A2B1）＝×＝×，B正確；
對于C，P（B1|A1）+P（B2|A1）＝+＝1，C錯誤；
對于D，P（B2|A1）+P（B1|A2）＝+＝1﹣+＝1+＞1，D正確．
故選：BD．
60（多選）．（2023?吉林模擬）某商場開業(yè)期間舉辦抽獎活動，已知抽獎箱中有30張獎券，其中有5張寫有“中獎”字樣．假設(shè)抽完的獎券不放回，甲抽完之后乙再抽，記A表示甲中獎，B表示乙中獎，則（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，P（AB）＝P（A）P（B|A）＝×＝，A正確；
對于B，P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝＝，B錯誤；
對于C，P（A|B）＝＝＝，C正確；
對于D，P（B|A）＝＝＝，D錯誤．
故選：AC．
一、條件概率的性質(zhì)
設(shè)P(A)>0，則
①
②如果B與C是兩個互斥事件，則
③設(shè)和互為對立事件，則
二、離散型隨機(jī)變量的期望
1.定義：
一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為
則稱…… 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．
2．性質(zhì)：
①；
②若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，有；
的推導(dǎo)過程如下：：
的分布列為
于是……
＝……)……)＝
∴。
三、正態(tài)分布
1.正態(tài)變量的概率密度函數(shù)
正態(tài)變量的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：，（）
其中x是隨機(jī)變量的取值；μ為正態(tài)變量的期望；是正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.
2．正態(tài)分布
（1）定義
如果對于任何實數(shù)隨機(jī)變量滿足：，
則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。記為。
（2）正態(tài)分布的期望與方差
若，則的期望與方差分別為：，。
3. 正態(tài)曲線
如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，其中實數(shù)和為參數(shù)（），則稱函數(shù)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。
X
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
…
m
P
eq \f(Ceq \\al(0,M)Ceq \\al(n－0,N－M),Ceq \\al(n,N))
eq \f(Ceq \\al(1,M)Ceq \\al(n－1,N－M),Ceq \\al(n,N))
…
eq \f(Ceq \\al(m,M)Ceq \\al(n－m,N－M),Ceq \\al(n,N))
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)P0qn
Ceq \\al(1,n)P1qn－1
…
Ceq \\al(k,n)Pkqn－k
…
Ceq \\al(n,n)Pnq0
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
摸棋子
5個白
4個白
3個白
其它
彩金
20元
2元
紀(jì)念品（價值5角）
同樂一次（無任何獎品）
ξ
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
班級
一
二
三
四
人數(shù)
3
2
3
4
Y/X
b1
b2
b3
…
a1
p1，1
p1，2
p1，3
…
a2
p2，1
p2，2
p2，3
…
a3
p3，1
p3，2
p3，3
…
…
…
…
…
…
（X，Y）
0
1
2
0



1


0
2

0
0
0
1
2
3
P
習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話
習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話
總計
腦瘤部位在左側(cè)的病人
a
b
42
腦瘤部位在右側(cè)的病人
c
d
46
總計
a+c
b+d
88
ξ
0
1
2
P



習(xí)慣固定在左側(cè)接聽電話
習(xí)慣固定在右側(cè)接聽電話
總計
腦瘤部位在左側(cè)的病人
14
28
42
腦瘤部位在右側(cè)的病人
19
27
46
總計
33
55
88
語文成績
合計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
數(shù)學(xué)成績
優(yōu)秀
50
30
80
不優(yōu)秀
40
80
120
合計
90
110
200
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P
性別
飛盤運動
合計
不愛好
愛好
男
6
16
22
女
4
24
28
合計
10
40
50
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P




音樂類別
A小組
B小組
測試音樂數(shù)量
正確識別比例
測試音樂數(shù)量
正確識別比例
古典音樂
10
40%
24
50%
流行音樂
10
40%
20
50%
民族音樂
20
80%
16
87.5%
X
﹣2
0
1
3
4
6
P
X
0
2
4
6
P
喜愛
不喜愛
合計
男
6
女
16
合計
60
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
喜愛
不喜愛
合計
男
24
6
30
女
16
14
30
合計
40
20
60
X
0
1
2
P
…
…
P
…
…
…
…
…
…
P
…
…

相關(guān)試卷

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題13 雙曲線 (名校模擬匯編).zip：

這是一份【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題13 雙曲線 (名校模擬匯編).zip，文件包含專項復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)專題13雙曲線名校模擬匯編原卷版docx、專項復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)專題13雙曲線名校模擬匯編解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共76頁， 歡迎下載使用。

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題12 橢圓 (名校模擬匯編).zip：

這是一份【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題12 橢圓 (名校模擬匯編).zip，文件包含專項復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)專題12橢圓名校模擬匯編原卷版docx、專項復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)專題12橢圓名校模擬匯編解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共73頁， 歡迎下載使用。

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題11 直線與圓 (名校模擬匯編).zip：

這是一份【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題11 直線與圓 (名校模擬匯編).zip，文件包含專項復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)專題11直線與圓名校模擬匯編原卷版docx、專項復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)專題11直線與圓名校模擬匯編解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共47頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題07 數(shù)列 (名校模擬匯編).zip

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題07 數(shù)列 (名校模擬匯編).zip
【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 (名校模擬匯編).zip

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題04 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 (名校模擬匯編).zip
【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題02 復(fù)數(shù) (名校模擬匯編).zip

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題02 復(fù)數(shù) (名校模擬匯編).zip
【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題01 集合及其運算 (名校模擬匯編).zip

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 專題01 集合及其運算 (名校模擬匯編).zip
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部