2023真題展現(xiàn)
考向一 立體幾何的體積
考向二 外接球與內(nèi)切球
考向三 空間角
真題考查解讀
近年真題對(duì)比
考向一 旋轉(zhuǎn)體
考向二 立體幾何的體積
考向三 外接球與內(nèi)切球
考向四 球體的表面積
考向五 空間角
考點(diǎn)六 直線與平面的位置關(guān)系
命題規(guī)律解密
名校模擬探源
易錯(cuò)易混速記/二級(jí)結(jié)論速記
考向一 立體幾何的體積
1．（2023?新高考Ⅱ?第14題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為 ．
2．（2023?新高考Ⅰ?第14題）在正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1=2，則該棱臺(tái)的體積為 ．
考向二 外接球與內(nèi)切球
3．（2023?新高考Ⅰ?第12題）（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（ ）
A．直徑為0.99m的球體
B．所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體
C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體
D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體
考向三 空間角
4．（2023?新高考Ⅱ?第9題）（多選）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P﹣AC﹣O為45°，則（ ）
A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為43π
C．AC＝22D．△PAC的面積為3
【命題意圖】
考查空間幾何體的表面積與體積、外接球問題、空間角等．
【考查要點(diǎn)】
命題會(huì)涉及到體積，表面積，角度等計(jì)算，涉及到最值計(jì)算，范圍求取，考查空間想象力、運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力．
【得分要點(diǎn)】
1．表面積與體積公式
（1）棱柱的體積公式：設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．
（2）棱錐的體積公式：設(shè)棱錐的底面積為S，高為h，V棱錐=13Sh．
（3）棱臺(tái)的體積公式：設(shè)棱臺(tái)上底面面積為S，下底面面積為S′，高為h，
V棱臺(tái)=13×(S+S'+S×S')×?．
（4）圓柱的體積和表面積公式：設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h(母線長(zhǎng)l)，則V圓柱=πr2?S圓柱=2×πr2+2πrl=2πr(r+l)．
（5）圓錐的體積和表面積公式：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h(母線長(zhǎng)l)，母線長(zhǎng)為l：V圓錐=13πr2?S圓錐=πr2+πrl=πr(r+l)．
（6）圓臺(tái)的體積和表面積公式：設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長(zhǎng)為l：V圓臺(tái)=13π?(r2+R2+Rr)S圓臺(tái)=πr2+πR2+πrl+πRl=π(r2+R2+rl+Rl)．
（7）球的體積和表面積：設(shè)球體的半徑為R，V球體=43πR3，S球體＝4πR2．
2．外接球題型歸類：
（1）三線垂直圖形
計(jì)算公式：三棱錐三線垂直還原成長(zhǎng)方體
（2）由長(zhǎng)方體（正方體）圖形的特殊性質(zhì)，可以構(gòu)造如下三種模型：
①三棱錐對(duì)棱相等．，，，是三個(gè)對(duì)棱棱長(zhǎng)．
②等邊三角形與等腰直角三角形連接．
③投影為矩形．
（3）線面垂直型：線垂直一個(gè)底面（底面是任意多邊形，實(shí)際是三角形或者四邊形（少），它的外接圓半徑是r，滿足正弦定理）．

計(jì)算公式；其中
（4）面面垂直型
一般情況下，倆面是特殊三角形。垂面型，隱藏很深的線面垂直型

（5）垂線相交型
等邊或者直角：等邊三角形中心（外心）做面垂線，必過球心．
直角三角形斜邊中點(diǎn)（外心）做面垂線，必過球心．
許多情況下，會(huì)和二面角結(jié)合．
3．直線和平面所成的角：
一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：
（1）作：作出斜線與射影所成的角．
（2）證：論證所作（或找到的）角就是要求的角．
（3）算：常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．
（4）答：回答求解問題．
4．線面角的求解方法：
傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．
向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a→，平面的法向量為u→，直線與平面所成的角為θ，a→與u→的夾角為φ，則有sinθ＝|cs φ|=|a→?u→||a→||u→|．
5．二面角的平面角求法：
（1）定義法．
（2）三垂線定理及其逆定理．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角．
（4）平移或延長(zhǎng)（展）線（面）法．
（5）射影公式．
（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角．
（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：
設(shè)平面α和β的法向量分別為u→和v→，若兩個(gè)平面的夾角為θ，則
①當(dāng)0≤＜u→，v→＞≤π2，θ=＜u→，v→＞，csθ＝cs＜u→，v→＞=u→?v→|u→||v→|．
②當(dāng)π2＜＜u→，v→＞＜π時(shí)，csθ＝﹣cs＜u→，v→＞=?u→?v→|u→||v→|．
考向一 旋轉(zhuǎn)體
5．（2021?新高考Ⅰ）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（ ）
A．2B．2C．4D．4
考向二 立體幾何的體積
5．（2022?新高考Ⅰ）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)．已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2．將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（≈2.65）（ ）
A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3
6．（2021?新高考Ⅱ）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（ ）
A．20+12B．28C．D．
7.（多選）（2022?新高考Ⅱ）如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB．記三棱錐E﹣ACD，F(xiàn)﹣ABC，F(xiàn)﹣ACE的體積分別為V1，V2，V3，則（ ）
A．V3＝2V2B．V3＝V1C．V3＝V1+V2D．2V3＝3V1
8.（多選）（2021?新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，點(diǎn)P滿足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，則（ ）
A．當(dāng)λ＝1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值
B．當(dāng)μ＝1時(shí)，三棱錐P﹣A1BC的體積為定值
C．當(dāng)λ＝時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P⊥BP
D．當(dāng)μ＝時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P
考向三 外接球與內(nèi)切球
9．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為36π，且3≤l≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是（ ）
A．[18，]B．[，]C．[，]D．[18，27]
10．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3和4，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）
A．100πB．128πC．144πD．192π
考向四 球體的表面積
11．（2021?新高考Ⅱ）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積S＝2πr2（1﹣csα）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
考向五 空間角
12.（多選）（2022?新高考Ⅰ）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則（ ）
A．直線BC1與DA1所成的角為90°
B．直線BC1與CA1所成的角為90°
C．直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°
D．直線BC1與平面ABCD所成的角為45°
考點(diǎn)六 直線與平面的位置關(guān)系
13.（多選）（2021?新高考Ⅱ）如圖，下列正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足MN⊥OP的是（ ）
A．B．
C．D．
本章內(nèi)容是高考必考內(nèi)容之一，多考查空間幾何體的表面積與體積，空間中有關(guān)平行與垂直的判定，空間角等問題。
高考對(duì)本章內(nèi)容的考查比較穩(wěn)定，針對(duì)這一特點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)，首先梳理本章重要定理、公式與常用結(jié)論，掃清基礎(chǔ)知識(shí)和公式障礙；然后分題型重點(diǎn)復(fù)習(xí)，重視立體幾何表面積與體積、內(nèi)接球與外切球、空間角的解題思路。
一．棱柱的結(jié)構(gòu)特征（共2小題）
1．（2023?鹽亭縣校級(jí)模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，以A為球心，為半徑的球被該正方體的表面所截，則所截得的曲線總長(zhǎng)為 ．
2.（多選）（2023?晉江市校級(jí)模擬）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，點(diǎn)D是線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則以下正確的是（ ）
A．AC∥平面A1BD
B．CD與AC1不垂直
C．∠ADC的取值范圍為
D．AD+DC的最小值為
二．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）（共1小題）
3．（2023?河南模擬）已知圓臺(tái)O1O的上、下底面半徑分別為r，R，高為h，平面α經(jīng)過圓臺(tái)O1O的兩條母線，設(shè)α截此圓臺(tái)所得的截面面積為S，則（ ）
A．當(dāng)h≥R﹣r時(shí)，S的最大值為（R+2r）h
B．當(dāng)h≥R﹣r時(shí)，S的最大值為
C．當(dāng)h＜R﹣r時(shí)，S的最大值為（R+2r）h
D．當(dāng)h＜R﹣r時(shí)，S的最大值為
三．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積（共3小題）
4．（2023?南通三模）已知底面半徑為r的圓錐SO，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱與圓錐的側(cè)面積的比值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023?安陽二模）2022年12月7日為該年第21個(gè)節(jié)氣“大雪”．“大雪”標(biāo)志著仲冬時(shí)節(jié)正式開始，該節(jié)氣的特點(diǎn)是氣溫顯著下降，降水量增多，天氣變得更加寒冷．“大雪”節(jié)氣的民俗活動(dòng)有打雪仗、賞雪景等．東北某學(xué)生小張滾了一個(gè)半徑為2分米的雪球，準(zhǔn)備對(duì)它進(jìn)行切割，制作一個(gè)正六棱柱模型ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1，設(shè)M為B1E1的中點(diǎn)，當(dāng)削去的雪最少時(shí)，平面ACM截該正六棱柱所得的截面面積為 平方分米．
6．（2023?皇姑區(qū)校級(jí)模擬）用一張正方形的紙把一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體形禮品盒完全包好，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是 ．
四．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積（共13小題）
7．（2023?鄭州模擬）陀螺又稱陀羅，是中國(guó)民間最早的娛樂健身玩具之一，在山西夏縣新石器時(shí)代的遺址中就發(fā)現(xiàn)了石制的陀螺．如圖所示的陀螺近似看作由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其中圓柱的底面半徑為1，圓錐與圓柱的高均為1，若該陀螺由一個(gè)球形材料削去多余部分制成，則球形材料體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023?寧夏三模）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)（E在F的左邊），且EF＝．下列說法不正確的是（ ）
A．異面直線AB1與BC1所成角為60°
B．當(dāng)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面EFA⊥平面ACC1A1
C．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得AE∥BF
D．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐體積B﹣AEF不變
9．（2023?新羅區(qū)校級(jí)三模）已知正六棱錐P﹣ABCDEF的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，球心O在該正六棱錐的內(nèi)部，若球O的體積為36π，則該正六棱錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
10．（2023?吉安一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長(zhǎng)，其外接球的表面積為20π，D是B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段A1D上的動(dòng)點(diǎn)，過BC且與AP垂直的截面α與AP交于點(diǎn)E，則三棱錐A﹣BCE的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
11．（2023?雅安三模）已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為（ ）
A．B．C．D．
12.（多選）（2023?臨泉縣校級(jí)三模）在正三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝1，AA1＝2，AB＝3，＝2，＝2，過MN與AA1平行的平面記為α，則下列命題正確的是（ ）
A．四面體ABB1C1的體積為
B．四面體ABB1C1外接球的表面積為12π
C．α截棱臺(tái)所得截面面積為2
D．α將棱臺(tái)分成兩部分的體積比為
13.（多選）（2023?遼寧模擬）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱錐A﹣BEF的體積為定值
D．△AEF的面積與△BEF的面積相等
14.（多選）（2023?福州模擬）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CC1的中點(diǎn)，P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．線段DP長(zhǎng)度的最小值為2
B．三棱錐D﹣A1AP的體積為定值
C．平面AEF截正方體所得截面為梯形
D．直線DP與AA1所成角的大小可能為
15.（多選）（2023?山西二模）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，E在棱A1B1上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），則（ ）
A．側(cè)面AA1D1D中不存在直線與DE垂直
B．平面A1DE與平面ABCD所成二面角為
C．E運(yùn)動(dòng)到A1B1的中點(diǎn)時(shí)，A1C上存在點(diǎn)P，使BC∥平面AEP
D．P為A1C中點(diǎn)時(shí)，三棱錐E﹣PBC1體積不變
16.（多選）（2023?船營(yíng)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C的對(duì)角線交點(diǎn)O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直三棱柱的體積是1
B．直三棱柱的外接球表面積是6π
C．三棱錐E﹣AA1O的體積與點(diǎn)E的位置有關(guān)
D．AE+EC1的最小值為
17．（2023?甘肅模擬）如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過PO上一點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則該圓柱體積的最大值為 ．
??
18．（2023?2月份模擬）三棱錐A﹣BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD．若AB＝3，BD＝1，則該三棱錐體積的最大值為（ ）
A．2B．C．1D．
19.（多選）（2023?浠水縣模擬）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，，AB＝AP＝PD＝1，平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段PC上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），則（ ）
A．存在點(diǎn)M使得BD⊥AM
B．四棱錐P﹣ABCD外接球的表面積為3π
C．直線PC與直線AD所成角為
D．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線BD的距離最小時(shí)，過點(diǎn)A，D，M作截面交PB于點(diǎn)N，則四棱錐P﹣ADMN的體積是
五．球的體積和表面積（共27小題）
20．（2023?玉樹市校級(jí)模擬）在正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1＝2AB＝4，AA1＝2，則該棱臺(tái)外接球的表面積為（ ）
21．（2023?晉中模擬）我國(guó)古代《九章算術(shù)》將底面為矩形的棱臺(tái)稱為芻童．若一芻童為正棱臺(tái)，其上、下底面分別是邊長(zhǎng)為和的正方形，高為1，則該芻童的外接球的表面積為（ ）
A．16πB．18πC．20πD．25π
22．（2023?廣東模擬）已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面、底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（ ）
A．32πB．28πC．24πD．20π
23．（2023?巴林左旗校級(jí)模擬）兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形△ABC與△ABD，沿公共邊AB折疊成60°的二面角，若點(diǎn)A，B，C，D在同一球O的球面上，則球O的表面積為（ ）
A．B．C．D．
24．（2023?湖北模擬）現(xiàn)有一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐框架，其各頂點(diǎn)都在球O1的球面上．將一個(gè)圓氣球O2放在此框架內(nèi)，再向氣球內(nèi)充氣，當(dāng)圓氣球恰好與此正三棱錐各棱都相切時(shí)停止充氣，此時(shí)兩球表面積之和為（ ）
A．23πB．C．D．
25．（2023?防城港模擬）已知△SAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∠ACB＝45°，當(dāng)三棱錐S﹣ABC體積取最大時(shí)，其外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
26．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）已知三棱錐P﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，PA＝BC＝2，則球O的表面積為（ ）
A．B．C．D．
27．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝，AC＝BC＝2，BB1＝7，點(diǎn)P在棱BB1上，且P靠近B點(diǎn)，當(dāng)PA⊥PC1時(shí)，三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為（ ）
A．3πB．4πC．10πD．17π
28．（2023?白山二模）已知球O的半徑為2，圓錐內(nèi)接于球O，當(dāng)圓錐的體積最大時(shí)，圓錐內(nèi)切球的半徑為（ ）
A．B．C．D．
29．（2023?四川模擬）在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，將△BCD繞對(duì)角線BD所在直線旋轉(zhuǎn)至BPD，使得，則三棱錐P﹣ABD的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
30.（多選）（2023?云南模擬）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則（ ）
A．異面直線DD1與B1F所成角的正切值為
B．點(diǎn)P為正方形A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)DP∥平面B1EF時(shí)，DP的最小值為
C．過點(diǎn)D1，E，F(xiàn)的平面截正方體ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面周長(zhǎng)為
D．當(dāng)三棱錐B1﹣BEF的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上時(shí)，球O的表面積為3π
31.（多選）（2023?深圳模擬）如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，M，N分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，O為線段MN的中點(diǎn)，球O的表面正好經(jīng)過點(diǎn)M，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．AO⊥平面BCD
B．球O的體積為
C．球O被平面BCD截得的截面面積為
D．球O被正四面體ABCD表面截得的截面周長(zhǎng)為
32．（2023?高州市一模）圓錐內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓錐的側(cè)面和底面均相切，已知圓錐的底面半徑為r1，球的半徑為r2，記圓錐的體積為V1，球的體積為V2，當(dāng)＝ 時(shí)，取最小值 ．
33．（2023?江寧區(qū)校級(jí)二模）在三棱錐V﹣ABC中，AB，AC，AV兩兩垂直，AB＝AV＝4，AC＝2，P為棱AB上一點(diǎn)，AH⊥VP于點(diǎn)H，則△VHC．面積的最大值為 ；此時(shí)，三棱錐A﹣VCP的外接球表面積為 ．
34．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模）一個(gè)正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，底邊長(zhǎng)為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為 ．
35．（2023?攀枝花三模）如圖，圓臺(tái)O1O2中，，其外接球的球心O在線段O1O2上，上下底面的半徑分別為r1＝1，，則圓臺(tái)外接球的表面積為 ．
36．（2023?湖南模擬）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝AC＝4，AA1＝2，∠BAC＝90°，則該三棱柱外接球的表面積為 ．
37．（2023?桃城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝2，∠ABC＝60°，將△ACD沿邊AC翻折，使點(diǎn)D翻折到P點(diǎn)，且，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積是 20π ．
38．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）已知A，B兩點(diǎn)都在以PC為直徑的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，若球O的體積為8π，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為 ．
39．（2023?晉中模擬）在△ABC中，AB⊥BC，，D是AC邊的中點(diǎn)，且AC＝2．將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，形成四面體A﹣BCD．則該四面體外接球的表面積為 ．
40．（2023?河南模擬）已知等腰直角△ABC的斜邊BC＝2，沿斜邊的高線AD將△ABC折起，使二面角B﹣AD﹣C為，則四面體ABCD的外接球的表面積為 ．
41．（2023?簡(jiǎn)陽市校級(jí)模擬）在△ABC中，AB＝AC＝2，，D為BC的中點(diǎn)，將△ACD繞AD旋轉(zhuǎn)至APD，使得，則三棱錐P﹣ABD的外接球表面積為（ ）
A．B．C．5πD．8π
42．（2023?河南模擬）已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，高為，則四棱錐P﹣ABCD的外接球的體積為（ ）
A．B．36πC．D．
43.（多選）（2023?大同二模）已知三棱錐P﹣ABC的所有棱長(zhǎng)均為2，PO⊥平面ABC，O為垂足，D是PO的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交平面PBC于點(diǎn)A1，CD的延長(zhǎng)線交平面PAB于點(diǎn)C1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．A1C1∥AC
B．若Q是棱PB上的動(dòng)點(diǎn)，則|AQ|+|CQ|的最小值為
C．三棱錐D﹣ABC外接球的表面積為6π
D．
44.（多選）（2023?包河區(qū)校級(jí)模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長(zhǎng)為4，M為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)，AM⊥平面α，則下列說法正確的是（ ）
A．若N為DD1中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN最小時(shí)，
B．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C1重合時(shí)，若平面α截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長(zhǎng)就越大
C．直線AB與平面α所成角的余弦值的取值范圍為
D．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，四面體AMD1B1內(nèi)切球表面積為
45．（2023?保定一模）“蹴鞠”，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”是最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng)，類似現(xiàn)在的踢足球活動(dòng)．已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，且滿足AB＝BC＝CD＝DA＝DB＝2cm，AC＝3cm，則該“鞠”的表面積為 cm2．
46.（多選）（2023?大連模擬）已知正四棱臺(tái)ABCD﹣A1B1C1D1的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB＝2A1B1＝2，，E為△BDC1內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．AA1∥平面BDC1
B．球O的表面積為8π
C．EA+EA1的最小值為
D．若AE與平面BDC1所成角的正弦值為，則E點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為
六．異面直線及其所成的角（共4小題）
47．（2023?貴州模擬）如圖，圓柱的底面直徑AB與母線AD相等，E是弧AB的中點(diǎn)，則AE與BD所成的角為（ ）
A．B．C．D．
48．（2023?榆林二模）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，2BB1＝3AB，D是棱BC的中點(diǎn)，E在棱CC1上，且CC1＝3CE，則異面直線A1D與B1E所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
49．（2023?遼寧模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2，P為空間中一點(diǎn)．下列論述正確的是（ ）
A．若，則異面直線BP與C1D所成角的余弦值為
B．若，三棱錐P﹣A1BC的體積不是定值
C．若，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1C⊥平面AB1P
D．若，則異面直線BP和C1D所成角取值范圍是
50．（2023?大連二模）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得．若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
七．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系（共2小題）
51．（2023?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點(diǎn)P在直線AD1上，Q為線段BD的中點(diǎn)．則下列說法不正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)P，使得PQ⊥A1C1
B．存在點(diǎn)P，使得PQ∥A1B
C．直線PQ始終與直線CC1異面
D．直線PQ始終與直線BC1異面
52.（多選）（2023?濱州二模）如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，正確的為（ ）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．異面直線PM與BD所成的角為45°
八．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系（共1小題）
53．（2023?北流市模擬）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別為所在棱的中點(diǎn)，P為下底面的中心，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．平面EFC1⊥平面AA1C1CB．MP∥AC1
C．MP⊥C1DD．EF∥平面AD1B1
九．直線與平面所成的角（共2小題）
54．（2023?河南模擬）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為AC，A1B的中點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（ ）
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．直線MN與平面ABCD所成的角為60°
D．異面直線MN與DD1所成的角為45°
55.（多選）（2023?思明區(qū)校級(jí)二模）已知正四棱錐P﹣ABCD的所有棱長(zhǎng)均為，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點(diǎn)，M為棱PB上異于P，B的一動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．異面直線EF、PD所成角的大小為
B．直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為
C．△EMF周長(zhǎng)的最小值為
D．存在點(diǎn)M使得PB⊥平面MEF
一十．二面角的平面角及求法（共5小題）
56．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)三模）已知大小為60°的二面角α﹣l﹣β棱上有兩點(diǎn)A，B，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l，若AC＝3，BD＝3，，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．22B．49C．7D．
57.（多選）（2023?南通三模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，E為AB的中點(diǎn)，則（ ）
A．BC1∥平面A1EC
B．二面角A1﹣EC﹣A的正弦值為
C．點(diǎn)A到平面A1BC1的距離為
D．若棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的半徑為
58.（多選）（2023?佛山模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C（包含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．直線BD1⊥平面A1C1D
B．二面角B1﹣CD﹣B的大小為
C．過三點(diǎn)P，A1，D的正方體的截面面積的最大值為
D．三棱錐B1﹣A1C1D的外接球半徑為a
59.（多選）（2023?武漢模擬）三棱錐P﹣ABC中，，BC＝1，AB⊥BC，直線PA與平面ABC所成的角為30°，直線PB與平面ABC所成的角為60°，則下列說法中正確的有（ ）
A．三棱錐P﹣ABC體積的最小值為
B．三棱錐P﹣ABC體積的最大值為
C．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時(shí)，二面角P﹣BC﹣A的平面角為銳角
D．直線PC與平面ABC所成的角取到最小值時(shí)，二面角P﹣AB﹣C的平面角為鈍角
60.（多選）（2023?谷城縣校級(jí)模擬）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)，記平面BEF與平面ABC的交線為l，直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E﹣l﹣C的大小為β，則下列說法不一定正確的是（ ）
A．sinθ＝sinαsinβB．sinα＝sinθsinβ
C．sinβ＝sinαsinθD．csθ＝csαcsβ
1．幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論
(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，
①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；
③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1，棱長(zhǎng)為a的正四面體，其內(nèi)切球半徑R內(nèi)＝eq \f(\r(6),12)a，外接球半徑R外＝eq \f(\r(6),4)a.
2.．唯一性定理
(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．
(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．
3.線、面平行的性質(zhì)
(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．
(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等．
(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行．
(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．
(7)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．
(8)垂直于同一平面的兩條直線平行．
4.用坐標(biāo)法求異面直線所成角的一般步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)；
(3)利用向量的夾角公式計(jì)算兩條直線的方向向量的夾角；
(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍求出異面直線所成的角．
5.利用向量法求兩平面夾角的步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量；
(3)求兩個(gè)法向量的夾角；
(4)法向量夾角或其補(bǔ)角就是兩平面的夾角(不大于90°的角

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