2023真題展現(xiàn)
考向一 等差數(shù)列
考向二 等比數(shù)列
考向三 數(shù)列綜合
真題考查解讀
近年真題對(duì)比
考向一 等差數(shù)列
考向二 數(shù)列遞推公式
考向三 數(shù)列的求和
考向四 數(shù)列綜合
命題規(guī)律解密
名校模擬探源
易錯(cuò)易混速記/二級(jí)結(jié)論速記
考向一 等差數(shù)列
1．（2023?新高考Ⅰ?第7題）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{Snn}為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
考向二 等比數(shù)列
2．（2023?新高考Ⅱ?第8題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，則S8＝（ ）
A．120B．85C．﹣85D．﹣120
考向三 數(shù)列綜合
3．（2023?新高考Ⅰ?第20題）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞1．令bn=n2+nan，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和．
（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若{bn}為等差數(shù)列，且S99﹣T99＝99，求d．
4．（2023?新高考Ⅱ?第18題）已知{an}為等差數(shù)列，bn=an?6，n為奇數(shù)2an，n為偶數(shù)，記Sn，Tn為{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，S4＝32，T3＝16．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：當(dāng)n＞5時(shí)，Tn＞Sn．
【命題意圖】
考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)；考查數(shù)列的求和方法，考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，考查數(shù)列和其他知識(shí)結(jié)合等綜合知識(shí)．
【考查要點(diǎn)】
數(shù)列是高考考查熱點(diǎn)之一，其中等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及與等差、等比數(shù)列有關(guān)的錯(cuò)位相消求和及裂項(xiàng)相消求和，是考查的重點(diǎn)．作為數(shù)列綜合題，常和充要條件、方程、不等式、函數(shù)等結(jié)合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者證明不等式等，對(duì)于基礎(chǔ)能力和基礎(chǔ)運(yùn)算要求較高．
【得分要點(diǎn)】
1．解決等差、等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的幾點(diǎn)注意
?1?等差數(shù)列、等比數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用；
?2?對(duì)于計(jì)算解答題注意基本量及方程思想的運(yùn)用；
?3?注重問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，由非等差數(shù)列、非等比數(shù)列構(gòu)造出新的等差數(shù)列或等比數(shù)列，以便利用相關(guān)公式和性質(zhì)解題；
?4?當(dāng)題目中出現(xiàn)多個(gè)數(shù)列時(shí)，既要縱向考察單一數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，又要橫向考察各數(shù)列之間的內(nèi)在聯(lián)系.
2．?dāng)?shù)列求和問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉(zhuǎn)化的再根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?,一般常見的求和方法有：
（一）公式法
①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.
②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))
③數(shù)列前項(xiàng)和重要公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）等差數(shù)列中，；
（6）等比數(shù)列中，.
?二?分組求和法：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列.
?三?裂項(xiàng)?相消?法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過(guò)程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和.
?四?錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.
(1)適用條件：若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
(2)基本步驟
(3)注意事項(xiàng)：①在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出Sn－qSn；
②作差后，等式右邊有第一項(xiàng)、中間n－1項(xiàng)的和式、最后一項(xiàng)三部分組成；
③運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項(xiàng)和看成n項(xiàng)和，把－anbn＋1寫成＋anbn＋1導(dǎo)致錯(cuò)誤．
?五?倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{an}，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)便使用了此法. 用倒序相加法解題的關(guān)鍵，就是要能夠找出首項(xiàng)和末項(xiàng)之間的關(guān)系，因?yàn)橛袝r(shí)這種關(guān)系比較隱蔽.
考向一 等差數(shù)列
5．（2022?新高考Ⅱ）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3＝（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
考向二 數(shù)列遞推公式
6.（多選）（2021?新高考Ⅱ）設(shè)正整數(shù)n＝a0?20+a1?21+…+ak﹣1?2k﹣1+ak?2k，其中ai∈{0，1}，記ω（n）＝a0+a1+…+ak，則（ ）
A．ω（2n）＝ω（n）B．ω（2n+3）＝ω（n）+1
C．ω（8n+5）＝ω（4n+3）D．ω（2n﹣1）＝n
考向三 數(shù)列的求和
7．（2021?新高考Ⅰ）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對(duì)折n次，那么Sk＝ dm2．
考向四 數(shù)列綜合
8．（2021?新高考Ⅱ）記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＝S5，a2a4＝S4．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）求使Sn＞an成立的n的最小值．
9．（2021?新高考Ⅰ）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝
（1）記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求{an}的前20項(xiàng)和．
10．（2022?新高考Ⅰ）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數(shù)列．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：++…+＜2．
11．（2022?新高考Ⅱ）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）證明：a1＝b1；
（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù)．
重點(diǎn)考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消等求和方法。有時(shí)考查數(shù)列的創(chuàng)新問(wèn)題，實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，與不等式的綜合問(wèn)題，考查劃歸與轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算求解能力?？疾樾问蕉鄻?。
一．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性（共4小題）
1．（2023?河南模擬）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則當(dāng)an最小時(shí)，n＝（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．（2023?西固區(qū)校級(jí)一模）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，an＝ ．
3．（2023?南崗區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n﹣1，記bm為{an}在區(qū)間[m，2m）（m∈N*）內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則b5＝ ，不等式bm+1﹣bm＞2062成立的m的最小值為 ．
4．（2023?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知點(diǎn)列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pk（xk，yk） （k∈N*，k≥2）滿足P1（1，1），與（i＝2，3，4…k）中有且只有一個(gè)成立．
（1）寫出滿足k＝4且滿足P4（3，2）的所有點(diǎn)列；
（2）證明：對(duì)于任意給定的k（k∈N*，k≥2），不存在點(diǎn)列T，使得+＝2k；
（3）當(dāng)k＝2n﹣1且P2n﹣1（n，n）（n∈N*，n≥2）時(shí)，求 的最大值．
二．等差數(shù)列的性質(zhì)（共4小題）
5．（2023?安慶二模）已知等差數(shù)列{an}滿足+＝4，則a2+a3不可能取的值是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．D．
6．（2023?江西模擬）中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，且成首項(xiàng)為0.114的等差數(shù)列，若直線OA的斜率為0.414，則該數(shù)列公差等于（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
7．（2023?阿拉善盟一模）已知{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則“對(duì)任意的n∈N*且n≠3，Sn＞S3”是“a4＞a3”的（ ）
A．既不充分也不必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．充要條件
8．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若a＞b＞0，c＜d＜0，則
B．若x＞y＞0且xy＝1，則
C．設(shè){an}是等差數(shù)列，若a2＞a1＞0，則
D．若x∈[0，+∞），則
三．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（共3小題）
9．（2023?武功縣校級(jí)模擬）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a4＝2，a7＝﹣4，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（ ）
A．a(chǎn)n＝﹣2n+10B．a(chǎn)n＝﹣2n+5C．a(chǎn)n＝﹣n+10D．a(chǎn)n＝﹣n+5
10．（2023?涼山州模擬）在等差數(shù)列{an}中，a2+a4＝2，a5＝3，則a9＝（ ）
A．3B．5C．7D．9
11．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且a1＝1，，則a2023＝（ ）
A．B．C．D．
四．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共2小題）
12．（2023?玉樹州模擬）記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S11＝44，則a4+a6+a8＝（ ）
A．12B．13C．14D．15
13．（2023?陳倉(cāng)區(qū)模擬）在等差數(shù)列{an}中，a6，a18是方程x2﹣8x﹣17＝0的兩個(gè)根，則{an}的前23項(xiàng)的和為（ ）
A．﹣184B．﹣92C．92D．184
五．等比數(shù)列的性質(zhì)（共4小題）
14．（2023?玉林三模）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則＝（ ）
A．12B．36C．31D．33
15．（2023?河南模擬）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，an＞0，n∈N*，且，則實(shí)數(shù)λ＝（ ）
A．2B．C．3D．
16．（2023?鎮(zhèn)江三模）已知a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，且2和8為其中的兩項(xiàng)，則a5的最小值為（ ）
A．﹣64B．﹣16C．D．
17．（2023?吳忠模擬）已知{an}是等比數(shù)列，若a3a7＝3a5，且a8＝﹣24，則a10＝（ ）
A．96B．﹣96C．72D．﹣72
六．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（共5小題）
18．（2023?河南模擬）在等比數(shù)列{an}中，若a5＝2，a3a8＝a7，則{an}的公比q＝（ ）
A．B．2C．D．4
19．（2023?南江縣校級(jí)模擬）在等比數(shù)列{an}中，a1+a3＝2，a5+a7＝18，則a3+a5＝（ ）
A．3B．6C．9D．18
20．（2023?山西模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a3﹣a1＝2，則a4+a3的最小值是（ ）
A．4B．9C．6D．8
21．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知等比數(shù)列{an}滿足，則a1+a3＝（ ）
A．B．C．D．3
22．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）英國(guó)數(shù)學(xué)家亞歷山大?艾利斯提出用音分來(lái)精確度量音程，音分是度量不同樂(lè)音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對(duì)數(shù)標(biāo)度單位．一個(gè)八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列．八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列．已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l．若，則k﹣l＝（ ）
A．400B．500C．600D．800
七．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共3小題）
23．（2023?周至縣一模）已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a3a5＝64，且a5+2a6＝8，則S6＝（ ）
A．128B．127C．126D．125
24．（2023?陳倉(cāng)區(qū)模擬）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且，則a1a2+a2a3+?+a10a11＝（ ）
A．B．C．D．
25．（2023?贛州一模）若等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且0＜a9＜1＜a8，則下列正確的是（ ）
A．q＞1B．0＜a1＜1
C．Sn的最大值為S8D．Tn的最大值為T8
八．?dāng)?shù)列的應(yīng)用（共5小題）
26．（2023?甘肅模擬）九連環(huán)是一種流傳于我國(guó)民間的傳統(tǒng)智力玩具．它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，解開九連環(huán)最少需要移動(dòng)341次．它在中國(guó)有近兩千年的歷史，《紅樓夢(mèng)》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載．周邦彥也留下關(guān)于九連環(huán)的名句“縱妙手、能解連環(huán)．”九連環(huán)有多種玩法，在某種玩法中：已知解下1個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)1次，解下2個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)圓環(huán)2次，記an（3≤n≤9，n∈N*）為解下n個(gè)圓環(huán)需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)，且an＝an﹣1+2an﹣2+m（n≥3，n∈N*），則解下8個(gè)圓環(huán)所需要移動(dòng)圓環(huán)的最少次數(shù)為（ ）
A．54B．90C．170D．256
27．（2023?池州模擬）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊部所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．角垛”的最上層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)小球，第三層有6個(gè)小球設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}．該數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，則該“三角垛”中第8層小球個(gè)數(shù)為（ ）
A．21B．28C．36D．45
28．（2023?浉河區(qū)校級(jí)模擬）三潭印月被譽(yù)為“西湖第一勝境”，所謂三潭，實(shí)際上是3個(gè)石塔和其周圍水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每個(gè)高2米，分別矗立在水光瀲滟的湖面上，形成一個(gè)等邊三角形，記為△A1B1C1，設(shè)△A1B1C1的邊長(zhǎng)為a1，取△A1B1C1每邊的中點(diǎn)構(gòu)成△A2B2C2，設(shè)其邊長(zhǎng)為a2，依此類推，由這些三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，若{an}的前6項(xiàng)和為，則△A1B1C1的邊長(zhǎng)a1＝（ ）
A．62B．61C．31D．30
29．（2023?石家莊二模）中國(guó)古代許多著名數(shù)學(xué)家對(duì)推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，所討論的二階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是后項(xiàng)減前項(xiàng)之差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)“堆垛”，共50層，第一層2個(gè)小球，第二層5個(gè)小球，第三層10個(gè)小球，第四層17個(gè)小球，…，按此規(guī)律，則第50層小球的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2400B．2401C．2500D．2501
30．（2023?保定二模）我們知道地球和火星差不多在同一軌道平面上運(yùn)動(dòng)，火星軌道在地球軌道之外．當(dāng)?shù)厍蚝突鹦桥c太陽(yáng)在同一條直線上，這一天文現(xiàn)象稱為“沖日”，簡(jiǎn)稱“沖”．假設(shè)地球和火星都做近似勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星繞太陽(yáng)一周約需687天，地球繞太陽(yáng)一周約需365.25天，則相鄰兩次“沖日”之間間隔約為 天．（結(jié)果精確到個(gè)位）
九．?dāng)?shù)列的求和（共7小題）
31．（2023?貴州模擬）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3＝273，，當(dāng)數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最大值時(shí)，n的值為（ ）
A．30B．31C．32D．33
32．（2023?徐州模擬）若數(shù)列{an}滿足，，則{an}的前n項(xiàng)和為 ．
33．（2023?鄭州模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若k為大于1的奇數(shù)，則Sk＝ ．
34．（2023?武鳴區(qū)校級(jí)二模）已知數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an﹣1﹣an＝﹣2（n≥2且n∈N*），且a2＝4．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn＜1．
35．（2023?保定二模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，若對(duì)任意的正整數(shù)n都有2Sn＝2nan﹣n2+n．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列{（﹣）}的前n項(xiàng)和為Tn，若s≤Tn﹣≤t恒成立，求t﹣s的最小值．
（2）隨著Tn的增大而增大，由此求出的最大值和最小值，兩數(shù)之差即為t﹣s的最小值．
36．（2023?河北三模）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2＝7，S5＝55．
（1）求an和Sn；
（2）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
（2）bn＝＝＝﹣，進(jìn)而求出Tn．
37．（2023?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1＝3，且an（﹣1）＝2（﹣1）an+1，n∈N*．
（1）設(shè)bn＝an﹣，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn＝+，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，并確定最小正整數(shù)n，使得Tn為整數(shù)．
一十．?dāng)?shù)列遞推式（共8小題）
38．（多選）（2023?開福區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若Sn＝an，則{an}是等差數(shù)列
B．若a1＝2，an+1＝2an+3，則{an+3}是等比數(shù)列
C．若{an}是等差數(shù)列，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差數(shù)列
39．（多選）（2023?重慶模擬）對(duì)于數(shù)列{an}，若a1＝1，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．a(chǎn)4＝3B．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列{a2n﹣1}是等差數(shù)列D．a(chǎn)2n＝2n﹣1
40．（2023?貴陽(yáng)模擬）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，有（n﹣2）an﹣（n﹣1）an﹣1+a1＝0．
（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）若a1＝20，S4＝56，求Sn的最大值．
41．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列{an}滿足：an＝若a10＝，則m＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
42．（2023?瀘縣校級(jí)模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an+1＝Sn，則an＝ ．
43．（2023?河北三模）在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an+1＝，則a8＝ ，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an＝ ．
44．（2023?2月份模擬）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Tn，且a1＝1，an＝Tn﹣1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意n∈N*，m≥，求m的最小值．
45．（2023?武功縣校級(jí)模擬）設(shè)Sn是數(shù)列[an}的前n項(xiàng)和，．
（1）求{an}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
一十一．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合（共3小題）
46．（2023?新余二模）已知數(shù)列{an}中，a1≠0，，且a3、a11是函數(shù)f（x）＝2x2+19x+20的兩個(gè)零點(diǎn)，則a7＝ ．
47．（多選）（2023?湖北二模）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，，前n項(xiàng)和為Sn，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693，ln3≈1.099）
A．a(chǎn)n+an+1≥ln2
B．S2020＜666
C．
D．{a2n﹣1}是單調(diào)遞增數(shù)列，{a2n}是單調(diào)遞減數(shù)列
48．（2023?赤峰模擬）①函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R有f（x）+f（1﹣x）＝1，數(shù)列{an}滿足，令．
②數(shù)列{an}中，已知，對(duì)任意的p，q∈N*都有ap+q＝ap+aq，令．
在①、②中選取一個(gè)作為條件，求解如下問(wèn)題（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明．
（2）設(shè)Tn＝b1+b2+…+bn，，試比較Tn與Mn的大?。?br>一十二．?dāng)?shù)列與不等式的綜合（共6小題）
49．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）已知等比數(shù)列{an}，對(duì)任意n∈N*，an?an+1＞0，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得?n∈N*，|Sn|＜M，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．{an}是遞減數(shù)列
B．{an}是遞增數(shù)列
C．
D．一定存在，當(dāng)n＞N0時(shí)，
50．（2023?黑龍江一模）已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，數(shù)列{bn}滿足為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．若對(duì)任意的n∈N，n≥1，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 ．
51．（2023?陳倉(cāng)區(qū)模擬）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，2a2+a5＝21，S9＝99．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：．
52．（2023?全國(guó)四模）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)，且滿足．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列．
（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n．
53．（2023?岳陽(yáng)模擬）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為．
（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
54．（2023?溫州模擬）設(shè)Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足2Sn＝+an﹣2．
（I）求{an}的通項(xiàng)公式；
（II）若不等式（1+）≥4對(duì)任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)bn＝（其中r是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求證：．
一十三．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共6小題）
55．（2023?錫山區(qū)校級(jí)一模）設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a3是8a1與a5的等差中項(xiàng)；數(shù)列{bn}滿足（t∈R，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）試確定t的值，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（3）當(dāng){bn}為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入bk個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}．設(shè)Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，試求T100．
56．（2023?廣東模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}和其前n項(xiàng)和Sn滿足a5﹣a1＝2S4，a2?a3＝a4．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）在am和am+1之間插入m個(gè)數(shù)，使得這m+2個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為bm，求滿足bm＞50的正整數(shù)m的最小值．
57．（2023?蘇州三模）已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a2＝3，且a3，a5，a8成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前2023項(xiàng)和．
58．（2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列{an}滿足（n+1）an＝n2﹣8n+k，數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列．
（1）求an和bn；
（2）令cn＝，求數(shù)列{cn}的最大項(xiàng)．
59．（2023?葫蘆島二模）已知{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}為公差是2a1的等差數(shù)列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）若an＞bn，求n的取值范圍；
（2）若a1＝1，求集合中元素的個(gè)數(shù)．
60．（2023?河西區(qū)三模）設(shè){an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，a1＝1，a3+1是a2和a8的等比中項(xiàng)，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，2bn﹣Sn＝2（n∈N*）．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn＝（n∈N*）．
（i）求數(shù)列{cn}的前2n+1項(xiàng)和S2n+1；
（ii）求．
常見的裂項(xiàng)技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
②根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
③指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設(shè)，易得，
于是
（7）
④對(duì)數(shù)型
⑤冪型
（1）
（2）
（3）
⑥三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
⑦常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
；
（9）
；
（10）．
（11）．

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