2023真題展現(xiàn)
考向一 三角形中的幾何運(yùn)算
考向二 正弦定理
真題考查解讀
近年真題對(duì)比
考向一 正弦定理
考向二 解三角形
命題規(guī)律解密
名校模擬探源
易錯(cuò)易混速記/二級(jí)結(jié)論速記
考向一 三角形中的幾何運(yùn)算
1．（2023?新高考Ⅱ?第17題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為3，D為BC的中點(diǎn)，且AD＝1．
（1）若∠ADC=π3，求tanB；
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
考向二 正弦定理
2．（2023?新高考Ⅰ?第17題）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）設(shè)AB＝5，求AB邊上的高．
【命題意圖】
考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、用正余弦定理解三角形、三角恒等變換等．
【考查要點(diǎn)】
解三角形是高考必考內(nèi)容．考查正余弦定理和三角形面積公式．借助正余弦定理和三角形面積公式以及恒等變形公式進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換和化簡(jiǎn)，求邊長(zhǎng)、角度、面積等．
【得分要點(diǎn)】
1．正弦定理和余弦定理
2．三角形面積公式
（1）S=12a?ha（ha表示邊a上的高）．
（2）S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
（3）S=12r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
3．解三角形常用結(jié)論
考向一 正弦定理
3．（2021?新高考Ⅰ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b2＝ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC．
（1）證明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cs∠ABC．
4．（2021?新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面積；
（2）是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．
考向二 解三角形
5．（2022?新高考Ⅰ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝．
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值．
6．（2022?新高考Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．
（1）求△ABC的面積；
（2）若sinAsinC＝，求b．
本專題是高考?？純?nèi)容，結(jié)合往年命題規(guī)律，解三角形的題目多以解答題的形式出現(xiàn)，分值為10分。
一．正弦定理（共7小題）
1．（2023?淮北二模）已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若△ABC的面積為，sinB＝1+csC，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)．
2．（2023?西固區(qū)校級(jí)二模）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC．
（1）求角A；
（2）若a＝6，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．
3．（2023?小店區(qū)校級(jí)模擬）在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝2b，且．
（1）求角C；
（2）E為三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，求線段CE的長(zhǎng)．
4．（2023?山西模擬）如圖，在四邊形ABCD中，已知∠ABC＝，∠BDC＝，AB＝BC＝7．
（1）若BD＝5，求AD的長(zhǎng)；
（2）求△ABD面積的最大值．
5．（2023?河南模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知5bsinA＝3atanB，D是AC邊上一點(diǎn)，AD＝2DC，BD＝2．
（1）求csB；
（2）求 的最大值．
6．（2023?武昌區(qū)校級(jí)模擬）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，且BD＝2，2AD＝3CD．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求△ABC的面積．
7．（2023?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)二模）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．
問(wèn)題：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足_____．
（1）求角A的大小；
（2）若D為線段CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，求△ABC的面積．
二．余弦定理（共4小題）
8．（2023?蒙城縣校級(jí)三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cs2C﹣cs2A＝sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大??；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面積的最大值．
9．（2023?廣西模擬）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．
（1）證明：A＝B．
（2）若D為BC的中點(diǎn)，從①AD＝4，②，③CD＝2這三個(gè)條件中選取兩個(gè)作為條件證明另外一個(gè)成立．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
10．（2023?東風(fēng)區(qū)校級(jí)模擬）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c．a(chǎn)＝2，b＝2，且csA（ccsB+bcsC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
11．（2023?瀘縣校級(jí)模擬）已知△ABC的角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．
（1）求A；
（2）從下列條件中：①a＝；②S△ABC＝中任選一個(gè)作為已知條件，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．
三．三角形中的幾何計(jì)算（共10小題）
12．（2023?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠A＝，AC＝，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，CD＝．
（Ⅰ）求∠ADC的值；
（Ⅱ）求△BCD的面積．
13．（2023?武功縣校級(jí)模擬）在△ABC中，是A，B，C所對(duì)應(yīng)的分邊別為a，b，c，且滿足asinB＝bsin2A．
（1）求∠A；
（2）若a＝2，△ABC的面積為，求三角形的周長(zhǎng)．
14．（2023?全國(guó)三模）已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且．
（1）求角C；
（2）若c＝2，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．
15．（2023?船營(yíng)區(qū)校級(jí)模擬）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題．
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足____．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面積為的中點(diǎn)為D，求BD的最小值．
16．（2023?甘肅模擬）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，asin（B+C）＝（b﹣c）sinB+csinC．
（1）求A；
（2）若D在BC上，a＝2，且AD⊥BC，求AD的最大值．
17．（2023?安徽模擬）如圖，在Rt△ABC中，AB⊥AC，D，E分別為邊CA，CB上一點(diǎn)，．
（1）若，求AB的長(zhǎng)；
（2）若∠ADE＝∠BED，求BE的長(zhǎng)．
18．（2023?涪城區(qū)校級(jí)模擬）在①acsB﹣bcsA＝c﹣b，②tanA+tanB+tanC﹣tanBtanC＝0，③△ABC的面積為a（bsinB+csinC﹣asinA），這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答．
在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且_____．
（1）求角A；
（2）若a＝8，△ABC的內(nèi)切圓半徑為，求△ABC的面積．
19．（2023?邯鄲二模）已知條件：①2a＝b+2ccsB；②；③．
從三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．
問(wèn)題：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足：____．
（1）求角C的大??；
（2）若，∠ABC與∠BAC的平分線交于點(diǎn)I，求△ABI周長(zhǎng)的最大值．
20．（2023?資陽(yáng)模擬）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinB﹣csinC＝a．
（1）證明：
（2）若，，求△ABC的面積．
21．（2023?湖北模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD，，AB＝1．
（1）若，求△ABC的面積；
（2）若，，求tan∠CAD．
四．解三角形（共39小題）
22．（2023?凱里市校級(jí)一模）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足sin（B﹣C）＝1，且（bcsC﹣ccsB）tanA＝a．
（1）求A的大??；
（2）若a＝，求△ABC的面積．
23．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足＝．
（1）求的值；
（2）若△ABC的面積為1，求邊a的最小值．
24．（2023?梅河口市校級(jí)模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為S1，S2，S3，已知．
（1）求△ABC的面積；
（2）若，求c．
25．（2023?新疆模擬）已知a，b，c分別為△ABC 內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若△ABC 滿足cs2A+2sin2＝1，a＝，b＝2．
（1）求角A；
（2）求△ABC的面積．
26．（2023?莆田模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．
27．（2023?岳麓區(qū)校級(jí)模擬）已知△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足2csinAcsB+2bsinAcsC＝a，c＞a．
（1）求角A；
（2）若b＝2，△ABC的面積2，D是BC邊上的點(diǎn)，且，求AD．
28．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD中，已知BC＝1，AC2＝AB2+AB+1．
（1）若△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)；
（2）若AB＝3，∠ADB＝60°，∠BCD＝120°，求∠BDC的值．
29．（2023?深圳模擬）已知a、b、c分別為△ABC三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，且．
（1）求A；
（2）若c2＝4a2﹣4b2，且，求c的值．
30．（2023?桐城市校級(jí)二模）已知△ABC滿足2sinCsin（B﹣A）＝2sinAsinC﹣sin2B．
（1）試問(wèn)：角B是否可能為直角？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．
31．（2023?南京三模）已知＝（sinωx，csωx），＝（csωx，csωx），其中ω＞0，函數(shù)f（x）＝?（﹣）的最小正周期為π
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足f（）＝，求的取值范圍．
32．（2023?晉中二模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，且滿足．
（1）求△ABC的外接圓半徑；
（2）若∠B的平分線BD交AC于點(diǎn)D，且，求△ABC的面積．
33．（2023?麒麟?yún)^(qū)校級(jí)模擬）在銳角△ABC中，角A，B，C，的對(duì)邊分別為a，b，c，從條件①：，條件②：，條件③：2acsA﹣bcsC＝ccsB這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件．
（1）求角A的大?。?br>（2）若a＝2，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．
34．（2023?龍華區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足．
（1）求tanAtanB的值；
（2）若csAcsB＝，c＝6，求△ABC的面積S．
35．（2023?徐州模擬）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b，a，c成等比數(shù)列，且．
（1）求B；
（2）若b＝4，延長(zhǎng)BC至D，使△ABD的面積為，求sin∠ADC．
36．（2023?保定三模）在△ABC中，BC＝10，，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)M，且BM⊥CM，．
（1）若，求△ABC的面積；
（2）若AC＝14．求BM的長(zhǎng)．
37．（2023?招遠(yuǎn)市模擬）在△ABC中，AB＝4，D為AB中點(diǎn)，．
（1）若BC＝3，求△ABC的面積；
（2）若∠BAC＝2∠ACD，求AC的長(zhǎng)．
38．（2023?祁東縣校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB，交線段BC于點(diǎn)D，且AD＝DC，a＝3，bsinC＝asinA﹣bsinB﹣csinC．
（1）求∠BAC；
（2）求△ABC的面積．
39．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)二模）設(shè)函數(shù)，若銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC外接圓的半徑為R，acsB﹣bcsA＝R．
（1）若f（A）＝1，求B；
（2）求的取值范圍．
40．（2023?烏魯木齊模擬）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求∠B大??；
（2）若△ABC為銳角三角形，且a＝2，求△ABC面積的取值范圍．
41．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，，點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上，且．
（1）求；
（2）若△ABC面積為，求CD．
42．（2023?朝陽(yáng)區(qū)二模）在△ABC中，a＝4，b＝5，．
（1）求△ABC的面積；
（2）求c及sinA的值．
43．（2023?浙江模擬）在△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，在平面ABC內(nèi)，過(guò)D作DF⊥BC且DF＝AC．
（1）若D為BC的中點(diǎn)，且△ABC的面積等于△CDF面積的倍，求∠ABC；
（2）若∠ABC＝30°，且CD＝3BD，求tan∠CFB．
44．（2023?陳倉(cāng)區(qū)模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，．
（1）求△ABC的面積；
（2）若，求b．
45．（2023?重慶模擬）在銳角△ABC中，a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，外接圓周長(zhǎng)為，且2（b﹣ccsA）＝a．
（1）求c；
（2）記△ABC的面積為S，求S的取值范圍．
46．（2023?青島二模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，2a﹣c＝2bcsC．
（1）求B；
（2）若點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，，b＝c＝2．設(shè)∠BDE＝α，將△DEF的面積S表示為α的函數(shù)，并求S的取值范圍．
47．（2023?威海一模）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若a＝3，，求△ABC的面積．
48．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的面積．
（1）求C；
（2）若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足AP＝AC，BP＝CP，求∠PAC．
49．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．
（1）求A；
（2）若△ABC的面積為，求．
50．（2023?日照一模）已知△ABC中，a，b，c是角A，B，C所對(duì)的邊，asin＝bsinA，且a＝1．
（1）求B；
（2）若AC＝BC，在△ABC的邊AB，AC上分別取D，E兩點(diǎn)，使△ADE沿線段DE折疊到平面BCE后，頂點(diǎn)A正好落在邊BC（設(shè)為點(diǎn)P）上，求此情況下AD的最小值．
51．（2023?香洲區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．
（1）證明csA﹣csC為定值并求出這個(gè)定值；
（2）記△ABD 與△BCD的面積分別為S1和S2，求+的最大值．
52．（2023?駐馬店二模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且5cs2B﹣14csB＝7．
（1）求sinB的值；
（2）若a＝5，c＝2，D是線段AC上的一點(diǎn)，求BD的最小值．
53．（2023?烏魯木齊模擬）在△ABC中，邊a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C，a＝3，c2＝b2﹣3b+9．
（1）求角C的大小；
（2）若，求邊c．
54．（2023?河南模擬）在△ABC中，B≠C，sinB+sinC＝csB+csC．
（1）求A；
（2）若在△ABC內(nèi)（不包括邊界）有一點(diǎn)M，滿足CM＝2MA＝2MB，且∠AMC＝90°，求tan∠ACB．
55．（2023?錦江區(qū)校級(jí)模擬）已知a，b，c分別為銳角△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，c2﹣a2＝ab．
（1）證明：C＝2A；
（2）求的取值范圍．
56．（2023?北流市模擬）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別a，b，c，且bcsA+acsB＝2ccsA．
（1）求角A的值；
（2）已知D在邊BC上，且BD＝3DC，AD＝3，求△ABC的面積的最大值．
57．（2023?湖北模擬）在△ABC中，AB＝9，點(diǎn)D在邊BC上，AD＝7．
（1）若，求BD的值，
（2）若，且點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，求AC的值．
58．（2023?河南模擬）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
（1）求角C；
（2）若c＝4，△ABC的面積為，求a，b．
59．（2023?河北模擬）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acsAcs（C﹣B）﹣asin2A＝bsinAsinC﹣a．
（1）求A；
（2）已知△ABC的外接圓半徑為4，若b+λc有最大值，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
60．（2023?佛山二模）已知△ABC為銳角三角形，且csA+sinB＝（sinA+csB）．
（1）若C＝，求A；
（2）已知點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范圍．
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
2.S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(abc,4R)＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R，r.
3.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
asinA=bsinB=csinC=2R
（R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
變形
形式
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R
a：b：c＝sinA：sinB：sinC
asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，
asin C＝csinA
csA=b2+c2?a22bc
csB=a2+c2?b22ac
csC=a2+b2?c22ab
解決
三角
形的
問(wèn)題
已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角
已知三邊，求各角；
已知兩邊和它們的夾角求第三邊和其他兩角
名稱
公式
變形
內(nèi)角和定理
A+B+C＝π
A2+B2=π2?C2
2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA=b2+c2?a22bc
csB=a2+c2?b22ac
csC=a2+b2?c22ab
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R
R為△ABC的外接圓半徑
a＝2RsinA，sinA=a2R
b＝2RsinB，sinB=b2R
c＝2RsinC，sinC=c2R
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面積公式
S△=12aha=12bhb=12chc
S△=12absinC=12acsinB=12bcsinA
S△=12（a+b+c）r
（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）
sinA=2S△bc
sinB＝2S△ac
sinC=2S△ab
定理
正弦定理
余弦定理
公式
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs__A；
b2＝c2＋a2－2cacs__B；
c2＝a2＋b2－2abcs__C
常見變形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
a＝bsin A
bsin A

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