2. 能歸納具體問題中蘊含的規(guī)律，用代數(shù)式表示， 并通過計算驗證；
3. 在解決問題過程中體驗類比、轉化等數(shù)學思想，培優(yōu)良好的思維品質。
【思考1】下面是楊輝三角，你能接著寫下去嗎?
【思考2】下面是2023年6月的日歷，你能觀察出日歷上的數(shù)字有什么特點，他們之間有關嗎?
提示可以從下列情況思考：（1）橫排相鄰的日期；（2）豎排相鄰的日期；（3）“左上-右下”相鄰的日期；（4）“左下-右上”相鄰的日期。
1.規(guī)律探索型問題解題技巧
1）抓住條件中的變與不變：找數(shù)學規(guī)律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化的量.所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律. 所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號.
2）化繁為簡，形轉化為數(shù)：有些題目看上去很大、圖形很復雜，實際上，關鍵性的內容并不多.對題目做一番認真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關鍵的內容抽出來，題目的難度就會大幅度降低，問題也就容易解決了.
3）要進行計算嘗試：找規(guī)律，當然是找數(shù)學規(guī)律.而數(shù)學規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學運算.因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數(shù)學運算式子.所以，從運算入手，嘗試著做一些計算，也是解答找規(guī)律題的好途徑.
4）尋找事物的循環(huán)節(jié)：有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解.
2、規(guī)律探索型問題常見類型
1）數(shù)式規(guī)律：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學方法，考查了學生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結構，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式.
2）圖形規(guī)律：根據(jù)一組相關圖形的變化，從中總結圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問題，一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律.
3）數(shù)表規(guī)律：解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時也需要看看有沒有一個數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時還需要先局部看，再整體找規(guī)律.
4）常見的數(shù)列規(guī)律：
1）1，3，5，7，9，… ，（為正整數(shù)）； 2）2，4，6，8，10，…，（為正整數(shù)）．
3）2，4，8，16，32，…，（為正整數(shù)）； 4）2， 6， 12， 20，…， （為正整數(shù)）．
5），，，，，，…，（為正整數(shù)）．
6）特殊數(shù)列： ①三角形數(shù)：1，3，6，10，15，21，…，.
②斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個數(shù)開始每一個數(shù)等于與它相鄰的前兩個數(shù)的和.
考點1、數(shù)列的規(guī)律
【解題技巧】數(shù)列的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關系.
例1．（2023·云南昆明·?？寄M預測）觀察下列按一定規(guī)律排列的數(shù)：，1，9，1，，1，18，1，…，則第15個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得第k個奇數(shù)為，再由第15個數(shù)是第8個奇數(shù)，即可求解．
【詳解】解：∵，1，9，1，，1，81，1，…，
∴偶數(shù)位置上的數(shù)都是1，奇數(shù)位置上的數(shù)分別是，9，，81，…，
∴第k個奇數(shù)為，∴第15個數(shù)是第8個奇數(shù)，為．故選C．
【點睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律題，明確題意，準確得到規(guī)律是解題的關鍵．
變式1.（2022·廣東七年級月考）有一組數(shù)：，它們是按一定規(guī)律排列的，這一組數(shù)的第n個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的分子和分母的變化特點，從而可以寫出第n個數(shù)．
【詳解】解：一組數(shù)為∴這組數(shù)據(jù)第1個數(shù)為：，
第2個數(shù)為：，第3個數(shù)為：…
∴第n個數(shù)為：故選：C
【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，寫出相應的數(shù)字．
變式2.（2022·福建七年級期中）觀察下列各項：，，，，…，依此規(guī)律下去，則第7項是__________；第項是__________．
【答案】
【分析】觀察可知：整數(shù)部分是從1開始的自然數(shù)，分數(shù)部分的分子為1，分母為從2開始的自然數(shù)的兩倍，據(jù)此可得．
【詳解】解：=，=，=，=，…
∴第7項是，第n項是，故答案為：，．
【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，利用規(guī)律解決問題．
考點2、數(shù)（圖）表的規(guī)律
【解題技巧】數(shù)（圖）表的規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)或圖形總數(shù)與序號之間的關系.
例1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）數(shù)學家萊布尼茨在研究中發(fā)現(xiàn)了下面的“單位分數(shù)三角形”，根據(jù)前五行的規(guī)律，可以知道第六行第三個數(shù)是_________．
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
【答案】
【分析】根據(jù)題干中給出的三角形中數(shù)字規(guī)律，得出第n行第1個數(shù)表示為，第n行第2個數(shù)表示為，再根據(jù)第n行第2個數(shù)是第行第2個數(shù)和第三個數(shù)的和進行求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題目中給出數(shù)的特點，第n行第1個數(shù)表示為，第n行第2個數(shù)表示為，
∴第6行第1個數(shù)為，第6行第2個數(shù)為 ，
∴第六行第三個數(shù)表示的是．故答案為：．
【點睛】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律探索，解題的關鍵是根據(jù)題目中給出的數(shù)字找出規(guī)律．
變式1．（2022秋·浙江杭州·七年級?？计谥校┮阎涸跀?shù)軸上有兩個點A 、B，A點表示有理數(shù)－4，B點表示有理數(shù)6，點P在原點左側，表示有理數(shù)x，且點P到A、B兩點的距離和是16，觀察下面每個圖形中的四個數(shù)都是按相同的規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定y的值是________．
【答案】50
【分析】根據(jù)點P到A、B兩點的距離和是16，確定有理數(shù)x的值，再按照規(guī)律確定y的值．
【詳解】解：∵點P到A、B兩點的距離和是16，且點P在原點左側，
∴點P在點A左側，∴(-4-x)+(6-x)=16，解得：x=-7，
觀察圖形中的四個數(shù)，左上角的數(shù)是右上角的數(shù)的絕對值少1，左下角的數(shù)比左上角的數(shù)多2，從第2個圖形開始，右下角的數(shù)是左上角的數(shù)與左下角的數(shù)的積再加2，
∴m===6，n=m+2=8，∴y=mn+2=48+2=50，故答案為：50．
【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)字類圖形變化題．注意觀察總結出規(guī)律，能正確的應用規(guī)律．
變式2．（2023春·山東青島·七年級校考期中）楊輝三角是中國古代數(shù)學的杰出研究成果之一．如圖，在楊輝三角形中，斜線l的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示這個數(shù)列的第n個數(shù)，則__________．
【答案】1327
【分析】分奇數(shù)和偶數(shù)計算．
【詳解】當序號為偶數(shù)時，，∴，∴；
當序號為奇數(shù)時，，
∴，∴；∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了規(guī)律探索，正確運用分類思想分成偶數(shù)列，奇數(shù)列計算是解題的關鍵．
變式3.（2022?柳南區(qū)七年級月考）將正奇數(shù)按下表排成5列：
若2021在第m行第n列，則m+n＝（ ）
A．256B．257C．510D．511
【分析】觀察圖表，每一行都有四個數(shù)，且奇數(shù)行排在第2﹣5列，偶數(shù)行排在第1﹣4列，根據(jù)2021在正奇數(shù)中的位置來推算m，n．
【解答】解：首先，從圖表觀察，每一行都有四個數(shù)，且奇數(shù)行排在第2﹣5列，偶數(shù)行排在第1﹣4列，
其次，奇數(shù)可以用2x﹣1表示，當x＝1011時，2x﹣1＝2021，即2021是排在第1011個位置．
在上表中，因為每行有4個數(shù)，且1011÷4＝252???????3，因此2021應該在第253行，第4列，
即m＝253，n＝4．∴m+n＝257，故選：B．
考點3、算式的規(guī)律
【解題技巧】算式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關系.
例1．（2022春·廣東梅州·七年級?？计谀┯^察下列算式中的規(guī)律：……，下列等式中符合規(guī)律的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意可得到第n個等式的左邊的數(shù)：1的個數(shù)是個，后面2的個數(shù)是n個，末尾是5；等式的右邊3的個數(shù)是個，末尾是5組成數(shù)字的平方，由此規(guī)律求解即可．
【詳解】∵……，
∴第n個等式的左邊的數(shù)：1的個數(shù)是個，后面2的個數(shù)是n個，末尾是5，
等式的右邊3的個數(shù)是個，末尾是5組成數(shù)字的平方，∴，故選：C．
【點睛】此題考查了數(shù)字變化規(guī)律，解題的關鍵是正確分析出個位數(shù)字是5的數(shù)乘以它本身的積的規(guī)律．
變式1．（2023·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預測）有一種印度式乘法，如圖（1）表示，其中12是沿左上到右下的方向，畫兩組線段依次表示被乘數(shù)從高位到低位的數(shù)字；31是沿左下到右上的方向，畫兩組線段依次表示乘數(shù)從高位到低位的數(shù)字；372是由從左往右數(shù)每一豎列上結點的個數(shù)連在一起得到的（若每一豎列上結點的個數(shù)大于10，則需往左進位），圖（2）表示的算式為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】仿照圖（1）的方法解答即可．
【詳解】解：圖中沿左上到右下的方向，畫三組線段依次表示被乘數(shù)從高位到低位的數(shù)字即112；沿左下到右上的方向，畫三組線段依次表示乘數(shù)從高位到低位的數(shù)字即231；由從左往右數(shù)每一豎列上結點的個數(shù)連在一起分別得到：2、5、8、7、2，即25872．故選B．
【點睛】本題主要考查了圖形規(guī)律，根據(jù)圖（1）歸納出規(guī)律是解答本題的關鍵．
變式2.（2022·山西七年級期中）觀察以下等式：
第個等式：；
第個等式：；
第個等式：；
第個等式：．……
按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第個等式：____________________．
（2）寫出你猜想的第個等式：____________________（用含的等式表示）．
（3）你認為（2）中所寫的式子一定成立嗎？請說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）成立，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)題中等式的規(guī)律可得；（2）觀察等式的規(guī)律可得；
（3）將等式的左邊進行整式的混合運算，判斷與等式右邊是否相等即可．
【詳解】（1）根據(jù)題中規(guī)律可得：
（2）觀察式子可得：
（3）等式左邊===3=等式右邊
∴（2）中所寫式子一定成立．
【點睛】本題通過找規(guī)律的方式考查整式的混合運算．分析所給等式，找到規(guī)律是解題的關鍵．
考點4、圖形的規(guī)律（一次類）
【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項（前3-4項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結論.
例1．（2023秋·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將黑、白兩種顏色的小正方形按照一定規(guī)律組合成一系列圖案，若第n個圖案中黑色小正方形個數(shù)記作，如，，則等于（ ）
A．101B．102C．202D．203
【答案】D
【分析】結合圖形可知，當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，問題隨之得解．
【詳解】結合圖形可知：，，，，
可知：當n為奇數(shù)時，，
當n為偶數(shù)時，，則有：，故選：D．
【點睛】本題考查了尋找圖形規(guī)律的知識，根據(jù)圖形的規(guī)律準確列出代數(shù)式是解答本題的關鍵．
變式1．（2022秋·陜西榆林·七年級?？计谀?shù)學興趣小組的一位同學用棋子擺圖形探究規(guī)律．如圖所示，若按照他的規(guī)律繼續(xù)擺下去，第n個圖案中用了2025顆棋子，則n的值為（ ）
A．506B．507C．508D．509
【答案】A
【分析】根據(jù)題目中給出的圖案中棋子個數(shù)找出規(guī)律，得出第個圖案有顆棋子，令求出n的值即可．
【詳解】解：∵第1個圖案有5顆棋子，第2個圖案有9顆棋子，
第3個圖案有13顆棋子，第4個圖案有17顆棋子，……
第個圖案有顆棋子，∴當時，解得：，故A正確．故選：A．
【點睛】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，解題的關鍵是根據(jù)題目中給出的圖案，找出一般規(guī)律．
變式2．（2023春·重慶北碚·七年級?？计谥校榧o念中國人民志愿軍抗美援朝作戰(zhàn)勝利“70周年”，學校社團開展了系列活動．手工制作社團的同學用糖果擺成如圖所示的“70”圖案，其中第1個“70”圖案用8顆糖果，第2個“70”圖案用12顆糖果……按照這種規(guī)律，第70個“70”圖案用（ ）顆糖果．
A．276B．280C．284D．288
【答案】C
【分析】仔細觀察圖案，找到糖果個數(shù)的變化規(guī)律即可求解．
【詳解】解：觀察圖案，可得：第①個圖案中，糖果的個數(shù)為個，
第②個圖案中，糖果的個數(shù)為個，第③個圖案中，糖果的個數(shù)為個，……
第個圖案中，糖果的個數(shù)為個，第70個圖案中，糖果的個數(shù)為個，故選：C．
【點睛】本題考查了規(guī)律性-圖形的變化類，解題的關鍵是通過歸納與總結，得到其中的變化規(guī)律．
考點5、圖形的規(guī)律（二次類）
【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項（前3-4項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結論.
例1. （2022·重慶七年級期中）古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…．我國宋元時期數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術”其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球），若一個“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛球的總個數(shù)為（ ）
A．55B．220C．285D．385
【答案】A
【分析】“三角形數(shù)”可以寫為：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，15＝1+2+3+4+5，所以第n層“三角形數(shù)”為，再把n＝10代入計算即可．
【詳解】解：∵“三角形數(shù)”可以寫為：第1層：1，第2層：3＝1+2，
第3層：6＝1+2+3，第4層：10＝1+2+3+4，第5層：15＝1+2+3+4+5，
∴第n層“三角形數(shù)”為，∴若一個“落一形”三角錐垛有10層，
則該堆垛球的總個數(shù)為＝55．故選：A．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質及數(shù)字變化規(guī)律，得出第n層“三角形數(shù)”為是解答本題關鍵．
變式1．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）卡塔爾盧賽爾體育場是由中國鐵建國際集團承建，球場外立面的設計靈感源于阿拉伯吊燈的光影交錯的典型圖案．該圖案是由一些完全相同的小三角形依照規(guī)律排列組成，圖形（1）由2個小三角形組成，圖形（2）由8個小三角形組成，圖形（3）由18個小三角形組成，…．依次規(guī)律，圖形（10）由（ ）個小三角形組成．
A．100B．160C．200D．300
【答案】C
【分析】設第n個圖中三角形的個數(shù)為，列出前幾個圖中三角形的個數(shù)，找到規(guī)律，并用含有n的代數(shù)式表示規(guī)律，然后把代入規(guī)律中求出即可．
【詳解】設第n個圖中三角形的個數(shù)為（n為正整數(shù)），則
；；；?故選：C
【點睛】本題主要考查了規(guī)律型中的圖形變化類，找到規(guī)律，并把規(guī)律用代數(shù)式表示出來是解題的關鍵．
變式2．（2022·成都市七年級期中）如圖是一張101×101方格紙的左上角的部分，用圖中的方式從左上角的格子開始涂色，直到不能涂色為止，則在原方格紙上有_____個格子被涂色．
【答案】5201
【分析】由圖可得，白色的格子分別是2， 6， 10， 14， ．．．從而可得第n個數(shù)是，則其總數(shù)是結合方格紙的大小可求得白色格子的數(shù)量，從而可求涂色的格子的數(shù)量．
【詳解】解∶由題意得白色的格子分別是2， 6， 10， 14， ．．．∴第n個數(shù)是∶，
∴白色格子的總數(shù)是∶，
∵方格紙的規(guī)格是，∴白色格子的行數(shù)是50行，
即當時，其白色格子的總數(shù)是∶(個)，
∴涂色的格子的數(shù)量為∶ (個) ．故答案為∶ 5201．
【點睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，解答的關鍵是先求出白色的格子的數(shù)量，從而可求涂色的格子的數(shù)量．
變式3.（2022·浙江七年級期末）按圖示的方法，搭1個正方形需要4根火柴棒，搭3個正方形需要10根火柴棒，搭6個正方形需要18根火柴棒，則下列選項中，可以搭成符合規(guī)律圖形的火柴棒的數(shù)目是（ ）
A．52根B．66根C．70根D．72根
【答案】C
【分析】仔細觀察圖形，找到圖形變化的規(guī)律，將每行每列的火柴棒數(shù)進行總結，可得出：當有n層時，需要根火柴，從而驗證選項即可確定正確答案．
【詳解】解：觀察圖形可以看出：搭1個正方形，一層，需要根火柴棒；
搭3個正方形，兩層，需要根火柴棒；
搭6個正方形，三層，需要根火柴棒；
搭10個正方形，四層，需要根火柴棒；
因此當有n層時，需要 根火柴棒．
當時，根火柴棒，因此C選項正確．故選：C．
【點睛】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是找到圖形變化的規(guī)律，用變量代替數(shù)字總結規(guī)律，最終再代入數(shù)字求解即可，難度中等．
考點6、圖形的規(guī)律（指數(shù)類）
【解題技巧】圖形規(guī)律：觀察前項（前3-4項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結論
例1．（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）圖①叫做一個基本的“勾股樹”，也叫做第一代勾股樹．讓圖①中兩個小正方形各自長出一個新的勾股樹（如圖②），叫做第二代勾股樹．從第二代勾股樹出發(fā)，又可以長出第三代勾股樹（如圖③）．這樣一生二、二生四、四生八，繼續(xù)生長下去，則第四代勾股樹圖形中正方形的個數(shù)為（）
A．15B．23C．27D．31
【答案】D
【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第四代勾股樹中正方形的個數(shù)．
【詳解】解：第一代勾股樹中正方形有(個)，
第二代勾股樹中正方形有(個)，
第三代勾股樹中正方形有(個)，
第四代勾股樹中正方形有(個)，故選：D．
【點睛】本題考查圖形中的規(guī)律問題，解題的關鍵是仔細觀察圖形，得到圖形變化的規(guī)律．
例2．（2022秋·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）【方法指引】利用圖形來表示數(shù)量或數(shù)量關系，也可以利用數(shù)量或數(shù)量關系來描述圖形或圖形之間的關系，這種思想方法稱為數(shù)形結合．
【方法生成】
將一個邊長為1的正方形紙片分割成若干個部分，請利用數(shù)形結合的思想解決下列問題：
（1）______；（2）______；（3）______；
【方法遷移】（4）______；
【靈活運用】（5）______．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【分析】（1）（2）（3）根據(jù)圖中空白面積＝1－陰影部分面積可得結果；
（4）類比（1）（2）（3）可得結果；（5）類比（4）可得結果；
【詳解】解：由圖中陰影部分面積可知：（1）；故答案為： ；
（2）；故答案為： ；（3）；故答案為： ；
（4）故答案為：；
（5）故答案為：．
【點睛】本題考查的圖形的變化類及有理數(shù)的乘方運算，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．
變式1．（2023秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個圖形，圖形①面積是正方形紙片面積的，圖形②面積是圖形①面積的2倍的，圖形③面積是圖形②面積的2倍的，……，圖形⑥面積是圖形⑤面積的2倍的，圖形⑦面積是圖形⑥面積的2倍．計算的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可得圖形①面積是，圖形②面積是，圖形③面積是，圖形④面積是圖形⑤面積是，圖形⑥面積是，圖形⑦面積是．從而得到的面積等于①②③④⑤⑥的面積之和，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：圖形①面積是，圖形②面積是，圖形③面積是，
圖形④面積是圖形⑤面積是，圖形⑥面積是，
圖形⑦面積是．∴的面積等于①②③④⑤⑥的面積之和，
∴．故選：A
【點睛】本題考查圖形的變化以及有理數(shù)的混合運算，數(shù)形結合是解本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．
變式2．（2023·安徽安慶·?？级＃┯萌舾蓚€“○”與“▲”按如圖方式進行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫完整：
(2)根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫出圖中“○”與“▲”的個數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)45，22(2)圖n中，○的個數(shù)，▲的個數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)圖形總結規(guī)律，直接得出結果；（2）根據(jù)（1）即可得到規(guī)律．
【詳解】（1）解：圖1，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，
圖2，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，
圖3，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，
圖4，○的個數(shù)，▲的個數(shù)，故答案為：45，22；
（2）解：由（1）得到規(guī)律，圖n，○的個數(shù)，▲的個數(shù)．
【點睛】本題主要考查探求規(guī)律的問題，能夠結合圖形的數(shù)目探求規(guī)律是解題的關鍵．
考點7、循環(huán)規(guī)律類問題
【解題技巧】有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解.
例1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）現(xiàn)有一列數(shù)，，，，，，，對于任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個數(shù)的和，如果，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個數(shù)的和求得到分別是多少，即可找出規(guī)律，求得答案.
【詳解】解：任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于左右兩個數(shù)的和，，
，，，，，.
每6個數(shù)為一循環(huán)，且6個數(shù)的和為0，
.故選：B.
【點睛】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，學生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力.涉及到有理數(shù)的加法法則，解題的關鍵在于分析題意，找到規(guī)律并進行推導.
變式1．（2022·湖南·模擬預測）觀察下列等式：，，，，，，，根據(jù)這個規(guī)律，則的末尾數(shù)字是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)2n的個位數(shù)字是2、4、8、6四個數(shù)字依次不斷循環(huán)，直接填空即可；
【詳解】通過觀察發(fā)現(xiàn)2n的個位數(shù)字是2、4、8、6四個數(shù)字依次不斷循環(huán)，且2+4+8+6=20，尾數(shù)為0
2022÷4=500……2，則尾數(shù)為2+4=6，故選D．
【點睛】此題考查冪的乘方末尾的數(shù)字規(guī)律，注意觀察循環(huán)的數(shù)字規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．
變式2．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）如圖1，是的直徑，點B、C、D將半圓分成四等分，把五位同學分別編為序號1、2、3、4、5按順序站在半圓的五個點上，現(xiàn)把最右邊的5號同學調出，站到2號和3號兩位同學之間，再把最右邊的4號同學調出，站到1號和2號兩位同學之間，得到圖2，稱為“1次換序”．接著按同樣的方法，把最右邊的3號同學調出，站到4號和2號兩位同學之間，再把最右邊的5號同學調出，站到1號和4號兩位同學之間，得到圖3，稱為“2次換序”．以此類推……；若從圖1開始，經(jīng)過“n次換序”后，得到的順序與圖1相同，則n的值可以是（ ）

A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【分析】先得到前4次換序后的結果，再歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．
【詳解】解：由題意得：1次換序后，得到的順序為，2次換序后，得到的順序為，
3次換序后，得到的順序為，4次換序后，得到的順序為，
由此可知，每經(jīng)過4次換序，得到的順序與圖1相同，即此時（為正整數(shù)），
觀察四個選項可知，只有選項B符合題意，故選：B．
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關鍵．
A級（基礎過關）
1．（2022秋·北京西城·七年級統(tǒng)考期末）用邊長相等的正方形和等邊三角形卡片按如圖所示的方式和規(guī)律拼出圖形．拼第1個圖形所用兩種卡片的總數(shù)為7枚，拼第2個圖形所用兩種卡片的總數(shù)為12枚若按照這樣的規(guī)律拼出的第個圖形中，所用正方形卡片比等邊三角形卡片多10枚，則拼第個圖形所用兩種卡片的總數(shù)為（ ）
A．57枚B．52枚C．50枚D．47枚
【答案】B
【分析】總結規(guī)律第個圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多幾枚，當時，求出所用正方形卡片及等邊三角形卡片的數(shù)量，栽求和即可得到答案．
【詳解】解：第1個圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多（枚），
第2個圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多（枚），
第3個圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多（枚），
第個圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多（枚），
當時，所用正方形卡片為：（枚），所用等邊三角形卡片為：，
所用兩種卡片的總數(shù)為：（枚），故選：B．
【點睛】本題考查了與有理數(shù)有關的規(guī)律探究，解題的關鍵是總結規(guī)律第個圖形中所用正方形卡片比等邊三角形卡片多幾枚．
2．（2022秋·河北保定·九年級保定市第十七中學?？计谀┤鐖D所示，第1個圖中將正方形取上下對邊中點連線后，再取右側長方形的長邊中點連線；第2個圖中，將第一個圖中的右下方正方形繼續(xù)按第一個圖的方式進行操作，…，按此規(guī)律操作下去，則第（為正整數(shù)）個圖形中正方形的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由第1個圖形中正方形的個數(shù)3＝2×1＋1，第2個圖形中正方形的個數(shù)5＝2×2＋1，第3個圖形中正方形的個數(shù)7＝2×3＋1，……據(jù)此可得．
【詳解】解：∵第1個圖形中正方形的個數(shù)3＝2×1＋1，
第2個圖形中正方形的個數(shù)5＝2×2＋1，第3個圖形中正方形的個數(shù)7＝2×3＋1，……，
∴第個圖形中正方形的個數(shù)為，故選：D．
【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．
3．（2022秋·安徽六安·七年級統(tǒng)考階段練習）小明下五子棋的時候，用棋子按一定的規(guī)律擺了如下三個圖形，請你猜測一下，若小明繼續(xù)擺下去，第10個圖形需要幾顆棋子（ ）
A．40B．45C．41D．36
【答案】C
【分析】根據(jù)前三個圖形中棋子的數(shù)量，可找出變化規(guī)律“”；代入，即可求出結論．
【詳解】解：∵第1個圖形中棋子的個數(shù)是，第2個圖形中棋子的個數(shù)是，
第3個圖形中棋子的個數(shù)是，…，∴第n個圖形中棋子的個數(shù)是．
當時，．故選：C．
【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)各圖形中棋子數(shù)量的變化，找出變化規(guī)律“”是解題的關鍵．
4．（2023春·江西鷹潭·七年級統(tǒng)考期中）某樹苗原始高度為，下圖是該樹苗的高度與生長的月數(shù)的有關數(shù)據(jù)示意圖，假設以后一段時間內，該樹苗高度的變化與月數(shù)保持此關系，用式子表示生長n個月時，它的高度（單位：cm）應為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)每月增加即可解答．
【詳解】解：∵第1個月的高度為：，第2個月的高度為：，
第3個月的高度為：，…，∴第n個月的高度為：，故選D．
【點睛】本題考查了規(guī)律型—圖形類規(guī)律與探究，要求學生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．
5．（2023秋·河南周口·七年級?？计谀┤鐖D，用規(guī)格相同的小金屬棒按照圖示規(guī)律焊接成相連的小正方體，根小金屬棒最多可以焊接成________個小正方體．
【答案】
【分析】根據(jù)正方體有12條棱，每增加1個正方體，增加8根小金屬棒，得到規(guī)律，然后根據(jù)題意列方程即可求解．
【詳解】解：依題意，1個正方體需要12根小金屬棒，2個正方體需要1根小金屬棒，
3個正方體需要根小金屬棒，……個正方體需要根小金屬棒，
∵，，∴根小金屬棒最多可以焊接成個小正方體．故答案為：．
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律得出個正方體需要的小金屬棒數(shù)是解題的關鍵．
6．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預測）蜜蜂不僅給人類帶來了蜂蜜等營養(yǎng)品，也給仿生學提供了技術支持．科學家們正是模仿蜂房的結構，找到了人造衛(wèi)星比較理想的結構．如圖是蜜蜂蜂房的一組有規(guī)律的圖案，它們是由相同的小正六邊形組成，依此規(guī)律，第個圖案中有______個小正六邊形．
【答案】/
【分析】分別求出第1，2，3個圖案的小正六邊形的個數(shù)，推導一般性規(guī)律，進而可得結果．
【詳解】解：由題意知，第1個圖案中有5個小正六邊形，
第2個圖案中有個小正六邊形，第3個圖案中有個小正六邊形，
∴可推導一般性規(guī)律：第個圖案中有個小正六邊形，故答案為：．
【點睛】本題考查了圖形規(guī)律探究．解題的關鍵在于根據(jù)題意推導一般性規(guī)律．
7．（2022秋·云南玉溪·七年級?？计谥校┤鐖D，數(shù)1對應著1顆星形，數(shù)2對應著5顆星形，數(shù)3對應著9顆星形，…，按這樣的規(guī)律排列下去，則正整數(shù)n對應著____顆星形．
【答案】/（-3+4n）
【分析】首先分析題意，找到規(guī)律，并進行推導得出答案．
【詳解】根據(jù)圖形的變化，發(fā)現(xiàn)：分成三層，上下層一致，中間為一排，
∴第2個圖形星形的顆數(shù)為：；
第3個圖形星形的顆數(shù)為：；
第4個圖形星形的顆數(shù)為：；?，
第n個圖形星形的顆數(shù)為：；故答案為：．
【點睛】本題考查圖形的變化類問題，重點考查了學生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，難度不大．
8．（2022秋·七年級統(tǒng)考期中）某次會議前，小明同學幫助老師擺放桌椅：
甲方式：……
乙方式：……
（1）按甲方式將4張桌子拼在一起共有_________個座位，張桌子拼在一起共有_________個座位；
（2）按乙方式將6張桌子拼在一起共有_________個座位，張桌子拼在一起共有_________個座位．
【答案】 12 26
【分析】（1）甲方式可以看成是1張桌子配2把椅子，再額外配4把椅子，規(guī)矩規(guī)律可得其值；
（2）乙方式可以看成是1張桌子配4把椅子，再二外配2把椅子，規(guī)矩規(guī)律可得其值．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意有，4張桌子拼在一起共有的座位數(shù)為：，
n張桌子拼在一起共有的座位數(shù)為：．故答案為：12；；
（2）根據(jù)題意有，6張桌子拼在一起共有的座位數(shù)為：，
m張桌子拼在一起共有的座位數(shù)為：，故答案為：26；．
【點睛】本題考查了圖形的變化，根據(jù)圖形的變化找出規(guī)律是解本題的關鍵，綜合性較強，難度適中．
9．（2022秋·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某公園分別按照方案A和方案B，用許多相同的小正方體盆花，依次一圈一圈地擺放出上表面為大正方形的圖案，其中方案A中間的一個小正方形不放花，方案B中間的四個小正方形不放花．可以按照圖中的規(guī)律不斷增加擺花的圈數(shù)．
(1)根據(jù)題意，將兩種方案下前三圈的盆花數(shù)量填入下表：
你發(fā)現(xiàn)同一圈上這兩種方案盆花數(shù)量之間有什么關系？
(2)請用字母表示數(shù)，通過計算說明（1）中發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關系成立的理由．
【答案】(1)同一圈上方案A的盆花數(shù)量比方案B的盆花數(shù)量少4盆(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)據(jù)，再總結歸納，從而可得表格數(shù)據(jù)；
（2）由（1）的答案，總結歸納得到按方案A擺放第n圈的盆花數(shù)量是，按方案B擺放第n圈的盆花數(shù)量是，再列式計算即可．
【詳解】（1）解：如圖．
發(fā)現(xiàn)同一圈上方案A的盆花數(shù)量比方案B的盆花數(shù)量少4盆．
（2）因為按方案A擺放第n圈的盆花數(shù)量是，按方案B擺放第n圈的盆花數(shù)量是，
而， 所以同一圈上方案A的盆花數(shù)量比方案B的盆花數(shù)量少4盆．
【點睛】本題考查的是列代數(shù)式，合并同類項，圖形類的規(guī)律探究，理解題意，列出正確的代數(shù)式是解本題的關鍵．
10．（2023秋·山東威?！ち昙壗y(tǒng)考期末）用正方形和圓按照一定規(guī)律擺出下列一組圖形：
(1)請?zhí)顚懴卤恚?br>(2)第2023個圖形中，有____________個圓；
(3)若第n個圖形中有100個圓，則從第1個圖形到第n個圖形中共有多少個正方形？
【答案】(1)見解析(2)(3)從第1個圖形到第n個圖形中共有561個正方形
【分析】（1）觀察圖形即可填表；
（2）根據(jù)（1）表中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第n個圖形中有個圓，當時，代入求解即可；
（3）先根據(jù)第n個圖形中圓的個數(shù)求出n的值，再根據(jù)從第1個圖形到第n個圖形中正方形的個數(shù)和為：求解即可．
【詳解】（1）由圖得，
（2）由（1）表中的數(shù)據(jù)，可得第n個圖形中有個圓，有n個正方形，
∴第2023個圖形中，有個圓，故答案為：；
（3）若第n個圖形中有100個圓，則，解得，
從第1個圖形到第n個圖形中正方形的個數(shù)和為：個，
所以從第1個圖形到第n個圖形中共有561個正方形．
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索，能夠根據(jù)圖形得出圖形分布的規(guī)律是解題的關鍵．
B級（能力提升）
1．（2023·四川攀枝花·?？家荒＃┌匆?guī)律填空：1，0，9，16，（ ），48
A．33B．25C．36D．42
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)找出規(guī)律即可得出答案．
【詳解】∵，，，∴，，故選：A．
【點睛】本題考查數(shù)字規(guī)律，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關鍵．
2．（2023秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示：某同學在利用火柴棍拼三角形時發(fā)現(xiàn)規(guī)律，圖1是利用3根火柴棍能拼成邊為1根火柴棍的三角形圖案，圖2是利用9根火柴棍拼成邊為2根火柴棍的三角形圖案，圖3是利用18根火柴棍拼成邊為3根火柴棍的三角形圖案，按此規(guī)律拼圖，要拼成邊為100根火柴棍的三角形圖案需要火柴棍的根數(shù)是：（ ）
A．891B．5050C．10101D．15150
【答案】D
【分析】通過圖形發(fā)現(xiàn)邊為1，2,3,4根火柴棍三角形圖案需要火柴棒的根數(shù)的規(guī)律，后根據(jù)規(guī)律即可求解．
【詳解】邊為1根火柴棍的三角形圖案需要3根火柴棒，即；
邊為2根火柴棍的三角形圖案需要9根火柴棒，即；
邊為3根火柴棍的三角形圖案需要18根火柴棒，即；
邊為4根火柴棍的三角形圖案需要30根火柴棒，即；……
邊為100根火柴棍的三角形圖案需要火柴棍的根數(shù)是：
故選：D
【點睛】本題考查圖形類規(guī)律的探索，解題的關鍵是掌握找到題目中的規(guī)律．
3．（2022·浙江·九年級自主招生）一共有12個1排成一行，在它們中間加入一定的加號使得它們的和能被30整除，例如．求使得最終和是30的倍數(shù)的添法的個數(shù)為（ ）
A．15B．45C．55D．90
【答案】C
【分析】由，可得12個1排成一行，添上一定的加號得到的數(shù)的既是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，同時還是的倍數(shù)，可得這個數(shù)的尾數(shù)一定是，可得在12個1只能是11個空中添加個加號；再分情況討論即可．
【詳解】解：∵，
∴12個1排成一行，添上一定的加號得到的數(shù)的既是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，同時還是的倍數(shù)，
∴這個數(shù)的尾數(shù)一定是，∴在12個1中，只能是11個空中添加個加號；
（1）有1個數(shù)是，則添加的加號如下：，
交換與后面的位置，可得此時共有種添加方法；
（2）①有2個數(shù)，則添加的加號如下：，
交換第一個與后面的位置可得共有種添加方法；
交換第二個11與后面的位置可得共有種添加方法；
②有2個數(shù)，則添加的加號還可以如下：，
交換第一個與后面的位置可得共有種添加方法；
交換第二個11與后面的位置可得共有種添加方法；
③有2個數(shù)，則添加的加號還可以如下：，
交換第一個與后面的位置可得共有種添加方法；
交換第二個11與后面的位置可得共有種添加方法；
④有2個數(shù)，則添加的加號還可以如下：，
交換第一個與后面的位置可得共有種添加方法；
交換第二個11與后面的位置可得共有種添加方法；
⑤有2個數(shù)，則添加的加號還可以如下：，此時有1種添加方法，
∴一共有（種）方法．故選C．
【點睛】本題考查的是數(shù)的整除，規(guī)律探究，掌握例舉的方法解決問題是解本題的關鍵．
4．（2022·廣東江門·七年級期末）個等腰梯形按如圖的方式拼接得到組合圖形，由圖可知，時，圖形的周長（1），時，圖形的周長（2）．依此類推：

（1）（5）___________；（2）___________．
【答案】
【分析】（1）先分別求出（1），（2），（3），（4），再求出答案即可；
（2）根據(jù)（1）的結果得出答案即可．
【詳解】解：（1）當時，圖形的周長（1），
當時，圖形的周長（2），
當時，圖形的周長（3），
當時，圖形的周長（4），
當時，圖形的周長（5），故答案為：；
（2）從（1）知：（1），（2）；
（3），（4），（5），
，故答案為：．
【點睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，列代數(shù)式，能根據(jù)求出的結果得出規(guī)律是解此題的關鍵．
5．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，將一個正三角形分為4個全等的小正三角形，挖去中間的一個小三角形，稱為一次操作；再對剩下的3個小正三角形分別重復上面的操作，這樣下去，就能得到越來越多的小正三角形，這個最早是由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基制作出來的．那么至少連續(xù)經(jīng)過______次這樣的操作，得到的小正三角形就能超過50個．
【答案】四/4
【分析】根據(jù)題意可得進行一次操作得到4個小正三角形，進行二次操作得到13個小正三角形，進行三次操作得到40個小正三角形，進行三次操作得到121個小正三角形，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：進行一次操作得到4個小正三角形，進行二次操作得到13個小正三角形，
進行三次操作得到40個小正三角形，進行四次操作得到121個小正三角形，
∴至少連續(xù)經(jīng)過三次這樣的操作，得到的小正三角形就能超過50個．故答案為：四．
【點睛】本題主要考查了圖形類規(guī)律題，明確題意，準確得到規(guī)律是解題的關鍵．
6．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考三模）材料題：請仔細閱讀以下信息，試著給出你的答案和解答過程這里有三組數(shù)：①，，，；②，，，，；③，，，
①②兩組是由有限個數(shù)組成的，③是由無限個數(shù)組成的，它們的共同點：都是按一定次序排成的一列數(shù)，稱之為數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第項或首項，第項，第項，，第項，一般記成，，這三組數(shù)列都是從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列這個常數(shù)就叫公差，公差通常用字母表示．
(1)如數(shù)列①中數(shù)列②中那么數(shù)列③中 ______ ．
(2)又如，， ______ ；
(3)由此可得到 ______ ；(4)由（3）的結論你能否求得此等差數(shù)列，，，第項與第項．
【答案】(1)(2)(3)(4)第項為：，第項為：
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義進行求解即可；（2）根據(jù)所給的式子進行求解即可；
（3）結合（2）進行總結即可；（4）利用（3）的結論進行求解即可．
【詳解】（1）解：，，中的，故答案為：；
（2）解：，，
，故答案為：；
（3）解：由（2）得：，故答案為：；
（4）解：，，，第項為：，第項為：．
【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關鍵是對由所給的式子總結出存在的規(guī)律．
7．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考期末）用“”和“”分別代表甲種植物和乙種植物，為了美化環(huán)境，采用如圖所示的方案種植：
(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下表填寫完整：
(2)分別表示出第n個圖形中甲種植物和乙種植物的株數(shù)．
【答案】(1)見詳解；(2)，．
【分析】（1）根據(jù)圖形規(guī)律可知甲種植物是第n個圖形就有n行n列，總數(shù)是n的平方，乙種植物第n個圖形就有行列，總數(shù)是，即可得到答案；（2）根據(jù)圖形規(guī)律即可得到答案；
【詳解】（1）由圖形可得，甲種植物是第n個圖形就有n行n列，乙種植物第n個圖形有行列，
（2）解：：由圖形可得，甲種植物是第n個圖形就有n行n列，乙種植物第n個圖形就有行列，
∴第n個圖形中甲種植物和乙種植物的株數(shù)分別為：，．
【點睛】本題考查圖形規(guī)律，解題的關鍵是根據(jù)圖形找到每個圖形的排布規(guī)律．
8．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┯^察下面三行數(shù)：
0 1 4 9 16……①
0 3 8 15 24……②
3 11 23 39……③
(1)求①中的第11個數(shù)是______(2)用含有n的式子表示②中的第n個數(shù)是________
(3)在（1）、（2）條件下，計算③中的第21個數(shù)是多少？
【答案】(1)100(2)(3)839
【分析】（1）探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題即可；（2）探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題即可；
（3）探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題即可．
【詳解】（1）第2個數(shù)是，第3個數(shù)是，
第4個數(shù)是，第5個數(shù)是，…，∴第n個數(shù)是；
∴第11個數(shù)是，故荅案為：100；
（2）第2個數(shù)是，第3個數(shù)是，第4個數(shù)是，
第5個數(shù)是，…，∴第n個數(shù)是，故荅案為：；
（3）∵③中的第2個數(shù)為，第3個數(shù)為，
第4個數(shù)為，第5個數(shù)為，…，
∴第n個數(shù)為①的第n個數(shù)加上②的第n個數(shù)再減1，
∴①第21個數(shù)為，②第21個數(shù)為，
∴③中的第21個數(shù)是．
【點睛】本題考查規(guī)律型?數(shù)字問題，解題的關鍵是學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．
9．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？计谥校┯猛瑯哟笮〉膬煞N正方形紙片，按下圖方式拼正方形．
(1)圖3中共有個小正方形，圖4中共有個小正方形，…，按圖示方式繼續(xù)拼下去，圖10中（未畫出）共有個小正方形；
(2)以此類推，圖n中（未畫出）共有個小正方形；
(3)借助以上結論計算：．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）觀察圖形根據(jù)已知圖形得出第2個圖形比第1個圖形多：個；第3個圖形比第2個圖形多：個；第4個圖形比第3個圖形多：個；即可得出后面一個圖形比第前個圖形多的個數(shù)是連續(xù)奇數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，寫出式子即可求解．（3）根據(jù)（2）的結論進行計算即可求解．
【詳解】（1）圖3中共有個小正方形，圖4中共有個小正方形，…，按圖示方式繼續(xù)拼下去，圖10中（未畫出）共有個小正方形；故答案為：；
（2）∵第2個圖形比第1個圖形多：個；第3個圖形比第2個圖形多：個；
第4個圖形比第3個圖形多：個；
∴第n個圖形比第個圖形多：個；第個圖中有個小正方形，
此類推，圖n中（未畫出）共有個小正方形故答案為：；
（3）解：∵，∴
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律題，找到規(guī)律是解題的關鍵．
10．（2022秋·廣東佛山·七年級?？茧A段練習）如圖，觀察下列幾何體并回答問題．
(1)請觀察所給幾何體的面、棱、頂點的數(shù)量并歸納出棱柱有___________個面，___________條棱，___________個頂點；棱錐有___________個面，___________條棱，___________個頂點；
(2)所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱錐等這樣由四個或四個以上多邊形所圍成的立體圖形叫做多面體，經(jīng)過前人們歸納總結發(fā)現(xiàn)，多面體的面數(shù)，頂點個數(shù)以及棱的條數(shù)存在著一定的關系，請根據(jù)（1）總結出這個關系為___________．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）觀察所給幾何體的面、棱、頂點的數(shù)量并歸納即可；（2）用表格分別列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所對應的頂點的個數(shù)、棱的條數(shù)和面的個數(shù)，從而得到三者的關系．
【詳解】（1）解：三棱柱有5個面，9條棱，6個頂點；四棱柱有6個面，12條棱，8個頂點；
六棱柱有8個面，18條棱，12個頂點；三棱錐有4個面，6條棱，4個頂點；
四棱錐有5個面，8條棱，5個頂點；五棱錐有5個面，10條棱，5個頂點；
觀察所給幾何體的面、棱、頂點的數(shù)量，納出n棱柱有個面，條棱，個頂點，n棱錐有個面，條棱，個頂點；故答案為：；
（2）用表格分別列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所對應的頂點的個數(shù)、棱的條數(shù)和面的個數(shù)，如圖：
根據(jù)上表總結出這個關系為，故答案為：．
【點睛】本題考查幾何體的認識；能夠通過由特殊到一般的歸納，得到頂點個數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間滿足的關系式是解題的關鍵．
C級（培優(yōu)拓展）
1．（2022秋·江蘇無錫·七年級?？计谥校┓中螏缀螌W是數(shù)學家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學學科．分形是把整體以某種方式分成幾個部分．按照如圖甲所示的分形規(guī)律（1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈），可得如圖乙所示的一個樹形圖，則第7行中黑圈數(shù)量為（ ）
A．363B．364C．365D．366
【答案】C
【分析】設某一行產(chǎn)生白圈個，黑圈個，表示為：，以此表示出每一行，即可解答．
【詳解】解：設某一行產(chǎn)生白圈個，黑圈個，表示為：，
∵1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，觀察圖乙可知第n行共有個圈，則第一行表示為：，即；第二行表示為：，即；
第三行表示為：，即；第四行表示為：，即；
第五行表示為：，即；第六行表示為：，即；
第七行表示為：，即；∴第7行中黑圈數(shù)量為365個，故選：C
【點睛】本題考查圖形規(guī)律，解題的關鍵是觀察圖形找出其中的規(guī)律．
2．（2022秋·北京·七年級北京市陳經(jīng)綸中學分校?？计谥校€紙杯分別單獨立在桌面上，其中有b個紙杯倒扣（杯口朝下），其余紙杯正立（杯口朝上）．規(guī)定一次操作必須同時翻轉3個不同的紙杯，n次操作的目的是使所有的紙杯都杯口朝上正立在桌面上．
①如果，而，那么不能實現(xiàn)目標（即：n不存在）
②如果，而（為正整數(shù)），那么最少m次操作就能實現(xiàn)目標（即）
③如果a＝5，b＝4，那么不能實現(xiàn)目標（即：n不存在）
以上判斷正確的個數(shù)有（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】C
【分析】每個都要翻轉3個杯子，而只有3個杯子，則每個杯子的朝向經(jīng)過一次變換后與原來不同即可判斷①；每次翻轉杯口朝下的3個杯子，即翻轉m次后就能使所有的杯子杯口朝上即可判斷②；要使得4個杯口朝下的杯子經(jīng)過翻轉后杯口都朝上，則這4個杯口朝下的杯子翻轉的總次數(shù)一定是偶數(shù)（4個奇數(shù)的和），翻轉的總次數(shù)一定是3的倍數(shù)（4個杯子翻轉的次數(shù)和），由此即可判斷③．
【詳解】解：∵杯子數(shù)為3，杯口朝下的杯子數(shù)不為0，且每次同時翻轉3個杯子，
∴每次翻轉，都總有杯口朝下（上一次翻轉結束后杯口朝上的杯子），故①正確；
∵，，∴只需要每次翻轉杯口朝下的3個杯子，即翻轉m次后就能使所有的杯子杯口朝上，即最少m次操作就能實現(xiàn)目標，故②正確；
∵杯口朝下的杯子要使經(jīng)過多次翻轉后杯口朝上，那么翻轉的次數(shù)必須為奇數(shù)，∴要使得4個杯口朝下的杯子經(jīng)過翻轉后杯口都朝上，則這4個杯口朝下的杯子翻轉的總次數(shù)一定是偶數(shù)（4個奇數(shù)的和），
又∵每次只翻轉3個不同的杯子，∴翻轉的總次數(shù)一定是3的倍數(shù)（4個杯子翻轉的次數(shù)和），
∴存在n，例如，A表示杯口朝上，B表示朝下：
原來：ABBBB 第一次變換：AAAAB 第二次變換：ABBAA
第三次變換：AABBB 第四次變換：AAAAA 故③錯誤；故選C．
【點睛】本題考查了圖形類的規(guī)律題，正確理解題意一步步分析每次翻轉變換得到的結果是解題的關鍵．
3．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）在一次數(shù)學活動課上，李老師將一副撲克牌中的紅桃共張牌挑出，打亂順序隨機發(fā)給了甲、乙、丙三名同學，每人三張牌．已知甲的三張牌數(shù)字之和是，乙的三張牌數(shù)字之和與丙的三張牌數(shù)字之和相同，且乙的三張牌上的數(shù)字都是奇數(shù)．寫出甲的三張牌上的數(shù)字是______，丙的三張牌上的數(shù)字是______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意先分析出甲的可能結果，然后結合乙的三個奇數(shù)，篩選出合適的，最后再按照乙丙的三張牌數(shù)字和相同進行分配即可．
【詳解】解：已知紅桃有數(shù)字共計張牌
甲的三張牌數(shù)字之和為的情況有、、三種組合，
張牌中共有個奇數(shù)，乙的三張牌上的數(shù)字都是奇數(shù)，
甲最多只能有一個奇數(shù)，只有符合，
乙的三張牌數(shù)字之和與丙的三張牌數(shù)字之和相同，
乙的三張牌數(shù)字為，丙的三張牌數(shù)字為，故答案為：；
【點睛】本題考查了數(shù)字類組合運算，按照題目進行逐步篩選和分析是解題關鍵．
4．（2022秋·廣東深圳·七年級深圳中學校聯(lián)考期末）如圖是深中初中部美麗校園的一景，黃馨同學上學時走過兩段樓梯，其中第一段有5個階梯，第二段有10個階梯．如果每步只允許走一個或兩個階梯，那么黃馨同學有______種方法走完第一段樓梯，有______種方法走完第二段樓梯.
【答案】 8 89
【分析】先假設只有1個階梯，則只有1種方法走完；有2個階梯，則有2種方法走完；
有3個階梯，則有1+2=3種方法走完；有4個階梯，則有2+3=5種方法走完；從而可以總結規(guī)律：從第3個階梯起后一種的走法總數(shù)等于前兩種走法數(shù)的總和，進而即可解答．
【詳解】解：假設只有1個階梯，則只有1種方法走完；有2個階梯，則有2種方法走完；
有3個階梯，則有1+2=3種方法走完；有4個階梯，則有2+3=5種方法走完；
∴從第3個階梯起后一種的走法總數(shù)等于前兩種走法數(shù)的總和，∴有5個階梯時，有3+5=8種方法走完；
以此類推：依次為1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，
∴有10個階梯時，有89種方法走完．故答案為：8，89．
【點睛】本題考查圖形類規(guī)律探索．理解題意，總結出從第3個階梯起后一種的走法總數(shù)等于前兩種走法數(shù)的總和是解題關鍵．
5．（2022秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期中）幻方是一類數(shù)字方陣，是流行于歐亞的世界性文化，在如圖所示的圖形中，每個字母分別代表不同的數(shù)字，每個三角形的三個頂點上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等，若，，，則______．
【答案】/
【分析】由，可得，，又，故．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
，，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查幻方，解題的關鍵是根據(jù)幻方的特點，列方程得到，．
6．（2022秋·安徽宣城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形的面積均為1．將左圖中黑色的小正方形移動，得到右邊拼成的長方形，根據(jù)兩種圖形方法計算小正方形的個數(shù)；如圖得出以下等式：
(1)請寫出第3個等式：__________；(2)猜想第n個等式為：__________（用含n的等式表示）；
(3)當n為多少時，左圖中的最底端有2024個小正方形？此時左圖中共有多少個小正方形？
【答案】(1)(2)(3)，共有1025156個小正方形
【分析】（1）根據(jù)給出的等式寫出答案即可；（2）根據(jù)這3個等式寫出答案即可；
（3）因為最底端有2024個小正方形，所以，得出n的值，再計算有多少個小正方形即可．
【詳解】（1）解： ；
（2）解：；
（3）解：因為最底端有2024個小正方形，所以，解得：
所以（個）
答：，共有1025156個小正方形．
【點睛】本題考查圖形的規(guī)律，根據(jù)給出的式子找到規(guī)律是解題的關鍵．
7．（2022秋·山東青島·七年級?？计谀﹩栴}探究：
如圖1，2個角的各邊相交，第2個角的每條邊最多會與第1個角的2條邊新產(chǎn)生2個交點，所以共有個交點；
如圖2，3個角的各邊相交，第3個角的每條邊最多會與前面2個角的4條邊新產(chǎn)生4個交點，所以共有個交點；
若4個角的各邊相交，第4個角的每條邊最多會與前面3個角的6條邊新產(chǎn)生6個交點，所以共有個交點；
……
(1)若5個角的各邊相交，最多有多少個交點？（仿照上面的“問題探究”中的方法，寫出必要的探究過程）
(2)直接寫出10個角的各邊相交，最多共有________個交點；
(3)直接寫出n個角的各邊相交，最多共有________個交點（用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)40個；(2)180；(3)．
【分析】（1）仿照題干中的方法即可得到答案；（2）根據(jù)題意，得到規(guī)律n個角的各邊相交，最多有個交點，將代入即可得到答案；（3）將（2）得到的規(guī)律化簡整理即可得到答案．
【詳解】（1）解：若5個角的各邊相交，第5個角的每條邊最多會與前面4個角的8條邊新產(chǎn)生8個交點，所以共有個交點；若5個角的各邊相交，最多有40個交點；
（2）解：2個角的各邊相交，最多有個交點；
3個角的各邊相交，最多有個交點；
4個角的各邊相交，最多有個交點；
5個角的各邊相交，最多有個交點；……
n個角的各邊相交，最多有個交點，
10個角的各邊相交，最多共有個交點，故答案為：180；
（3）解：n個角的各邊相交，最多共有交點個數(shù)為：個，
n個角的各邊相交，最多共有個交點，故答案為：．
【點睛】本題屬于規(guī)律探究類問題，根據(jù)已知條件準確歸納概括規(guī)律是解題關鍵．
8．（2022秋·北京通州·七年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有一個長方形的寬為1，長為的紙片，先剪去一個正方形，余下一個長方形，在余下的長方形紙片中再剪去一個正方形，又余下一個長方形……，依此類推，如圖是剪3次后余下的長方形恰好是正方形的其中一種示意圖及相應的值，請畫出（與示意圖不同）剪3次后余下的長方形恰好是正方形的示意圖，并寫出相應的值．
【答案】見解析
【分析】有四個值：當時，三個最大的正方形邊長都為1，余下的正方形邊長為1；當時，第一個和第二個正方形邊長都為1，第三個正方形邊長為，余下的正方形邊長為；當時，第一個正方形邊長為1，第二個正方形邊長為，第三個正方形邊長為，余下的正方形邊長為；當時，第一個正方形邊長為1，第二個和第三個正方形邊長都為，余下的正方形邊長為．
【詳解】①如圖，
；
②如圖，
；
③如圖，
；
④如圖，
．
【點睛】本題的關鍵是：依次找最大正方形，且最后余下的也是一個正方形；運用了數(shù)形結合的思想，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化．
9．（2022秋·浙江杭州·七年級校考期中）完成下列填空：(1)已知，，，……，依據(jù)上述規(guī)律，則___________=___________．
(2)有若干張邊長都是2的四邊形紙片和三角形紙片，從中取一些紙片按如圖所示的順序拼接起來（排在第一位的是四邊形），可以組成一個大的平行四邊形或一個大的梯形．如果所取的四邊形與三角形紙片數(shù)的和是5時，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長是 ___________；如果所取的四邊形與三角形紙片數(shù)的和是n，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長是 ___________．
(3)下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：
第1個數(shù)：；第2個數(shù)：；
第3個數(shù)： ；……則第n個數(shù)為：___________．
【答案】(1)，(2)20，或
(3)
【分析】（1）找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律填空即可；（2）第1張紙片的周長為8，由2張紙片所組成的圖形的周長比第1張紙片的周長增加了2．由3張紙片所組成的圖形的周長比前2張紙片所組成的圖形的周長增加了4，按此規(guī)律可求解；（3）找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律填空即可．
【詳解】（1）解：∵，，，……，
∴，∴，
故答案為：，；
（2）解：解：從圖形可推斷：紙張張數(shù)為5，圖片周長為；
當n為奇數(shù)時，組成的大平行四邊形或梯形的周長為：；
當n為偶數(shù)時，組成的大平行四邊形或梯形的周長為：．
綜上，組成的大平行四邊形或梯形的周長為或．故答案為：20，或．
（3）解：∵第1個數(shù)：；第2個數(shù)：；
第3個數(shù)： ；
……
∴第n個數(shù)為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化以及數(shù)字的變化，解第(2)題的關鍵是將紙片的張數(shù)分奇偶兩種情況進行討論，得出組成的大平行四邊形或梯形的周長．
10．（2022秋·全國·七年級專題練習）閱讀下列材料并完成
將邊長為n（n≥2）的正方形四條邊分別n等分，連接對應的各分點，則圖形中一共有多少個正方形？
問題探究：為了解決上面的問題，我們先研究特殊的情形，再逐次遞進最后得出結論．
探究一：將一個邊長為2的正方形四條邊分別平分，連接各邊對應的中點，則圖形中一共有多少個正方形？
如圖1，連接邊長為2的正方形四條邊的中點，邊長為1的正方形有22＝4個；邊長為2的正方形有12＝1個，總共有12+22＝1+4＝＝5個正方形．
探究二：將一個邊長為3的正方形四條邊分別三等分，連接各邊對應的三等分點，則圖形中一共有多少個正方形？
如圖2，連接邊長為3的正方形四條邊對應的三等分點，邊長為1的正方形有32＝9個；邊長為2的正方形有22＝4個；邊長為3的正方形有12＝1個，總共有12+22+32＝1+4+9＝＝14個正方形．
(1)探究三：請你仿照上面的方法，探究將邊長為4的正方形四條邊四等分，連接各邊對應的四等分點，則圖形中一共有多少個正方形？（在圖3中畫出示意圖，并寫出探究過程）
(2)探究四：將邊長為5的正方形四條邊五等分，連接各邊對應的五等分點，則圖形中一共有 個正方形．
(3)問題解決：將邊長為n（n≥2）的正方形四條邊分別n等分，連接各邊對應的n等分點，則圖形中一共有 個正方形？(4)應用拓展：計算：1+3+8+24+…+899＝ ．
【答案】(1)30個，圖見解析(2)55(3)(4)9411
【分析】（1）先畫出圖形，再根據(jù)探究二的思路即可得；（2）根據(jù)探究三的思路得出規(guī)律即可解決問題；
（3）根據(jù)探究一、二、三歸納類推出一般規(guī)律即可得；
（4）將原式轉化為，再利用規(guī)律計算即可得．
【詳解】（1）解：畫圖如下：
由圖可知，邊長為1的正方形有個；邊長為2的正方形有個；邊長為3的正方形有個，邊長為4的正方形有個，則總共有個正方形．
（2）解：將邊長為5的正方形四條邊五等分，連接各邊對應的五等分點，則圖形中正方形的個數(shù)為（個），故答案為：55．
（3）解：當時，圖形中正方形的個數(shù)為，
當時，圖形中正方形的個數(shù)為，
當時，，
歸納類推得：將邊長為的正方形四條邊分別等分，連接各邊對應的等分點，圖形中一共有正方形的個數(shù)為，故答案為：．
（4）解：原式
，故答案為：9411．
【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關鍵．
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
3
5
7
第2行
15
13
11
9
第3行
17
19
21
23
…
…
…
27
25
圖1
圖2
圖3
圖4
○的個數(shù)
3
9
21
______
▲的個數(shù)
1
4
10
______
盆花數(shù)量
方案
第1圈
第2圈
第3圈
…
方案A
…
方案B
…
盆花數(shù)量
方案
第1圈
第2圈
第3圈
…
方案A
8
16
24
…
方案B
12
20
28
…
圖形編號
①
②
③
④
…
正方形/個
1
…
圓/個
4
…
圖形編號
①
②
③
④
…
正方形/個
1
2
3
4
…
圓/個
4
7
10
13
…
圖序
①
②
③
④
1
4
9
4
9
圖序
①
②
③
④
1
4
9
4
9

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