專題04 平面圖形的面積問題-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題04 平面圖形的面積問題

由直觀形象到抽象邏輯推理
小學(xué)生的理解思維是建立在直觀的形象的思維基礎(chǔ)上的，在接觸初中幾何的時候，這種思維就無法完成學(xué)習(xí)。除了直觀的思維，還有需要一些歸納、推理、變量等復(fù)雜的思維，這樣才能學(xué)好初中幾何。舉例說明，在小學(xué)幾何學(xué)習(xí)中，推導(dǎo)一個長方體的體積公式的時候，首先要依靠模型操作，然后依靠幾組數(shù)據(jù)進行歸納，最終推導(dǎo)出長方體的體積公式。這里面就包含了合情推理的思維。
在初中幾何中，隨著變量和演繹推理證明等知識的進入，初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何就需要提高相應(yīng)的思維能力，比如抽象思維，判斷推理等等。難度自不必說，思維的層次也大為不同。甚至一些證明，必須用演繹推理來完成，比如“兩直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行”，這個命題就需要演繹推理思維，學(xué)生必須要在自己的心中構(gòu)建直觀圖形，難度加大了。如“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個定理，在小學(xué)教材中是由實驗得出的，學(xué)生較熟悉。因此，在教學(xué)中既讓學(xué)生通過實驗得出結(jié)論，又要強調(diào)說明不能滿足于實驗，而必須從理論上給予嚴(yán)格論證。

求幾何圖形面積常見方法及運用：
1）割補法求面積（平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等）；2）和差法求面積；3）等積變換（化線段比為面積比）；4）運用整體思想；5）容斥原理（韋恩圖）等。
公式法，所求面積的圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊三角形、特殊四邊形等，可直接利用公式計算。
割補法，就是從割和補兩種不同角度認(rèn)識同一個面積。還有的是從不同的角度認(rèn)識某個長方形面積的一半。通過對面積問題的訓(xùn)練可以打開思維。特別是結(jié)合算兩次的思想能讓我們的思維理念得到很大提升。最后我寫了算兩次解決面積問題，來詮釋前面的理論。
和差法，所求面積的圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化變成規(guī)則圖形面積的和或差，這是求陰影部分面積最常用的方法。
等積變換法，以線段比為對象運用兩個面積比來表示同一個面積比，有的是運用整體與局部思想整體由各個局部合成。有的是抓住面積不變，從兩個不同的底和高來表示同一個三角形的面積或者隨便求出直角邊的平方。

【題型一】割補法求面積（一）平移與對稱
【解題技巧】常見模型
圖形
轉(zhuǎn)化后的圖形
秘籍計算方法

【典題1】（2021·北京西城·小升初真題）如圖中有一個圓和等腰直角三角形，陰影部分的面積是（?）cm2。

A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】B
【分析】如圖所示，陰影①、②與空白③、④的面積相等，將陰影①、②移到空白③、④的位置，則這個等腰直角三角形被4等分，陰影部分占2份，所以陰影部分的面積就變成了原來等腰直角三角形的面積的一半，利用三角形的面積公式即可求解。
【詳解】20×（5×2）××＝200×＝50（cm2）故答案為：B

【點睛】解答此題的關(guān)鍵是明白：陰影部分的面積是原來等腰直角三角形的面積的一半。
【典題2】（2021·全國六年級培優(yōu)）計算圖中陰影部分的面積(單位：分米)．

【答案】37.5
【解析】將右邊的扇形向左平移，如圖所示．兩個陰影部分拼成—個直角梯形．

(平方分米)．
【變式練習(xí)】
1．求如圖中陰影部分的面積（單位：厘米）

【答案】9.12平方厘米
【解析】如圖所示，陰影①的面積與空白②的面積相等，將陰影①平移到空白②的位置，則陰影部分的面積=扇形的面積﹣三角形的面積，三角形為等腰直角三角形，于是利用扇形和三角形的面積公式即可求解．

解：×3.14×（4×2）2﹣（4×2）×4÷2=×3.14×64﹣8×4÷2=25.12﹣16=9.12（平方厘米）；
答：陰影部分的面積是9.12平方厘米．
點評：解答此題的關(guān)鍵是：利用平移的方法，將陰影部分轉(zhuǎn)化成容易求面積的圖形，進而問題得解．
2．（2021·江蘇小升初模擬）計算下圖中陰影部分的面積。

【答案】107平方厘米
【分析】沿虛線剪拼如下：

由圖可知陰影部分面積＝半圓面積－三角形面積。
【詳解】3.14×（20÷2）2÷2－（20÷2）×（20÷2）÷2＝3.14×50－100÷2＝157－50＝107（平方厘米）
【點睛】本題主要考查陰影部分的面積，解題的關(guān)鍵是通過剪拼轉(zhuǎn)化原圖。
3．（2021·黑龍江牡丹江·小升初真題）求陰影的面積。（單位：厘米）

【答案】32.5平方厘米
【分析】如圖所示，根據(jù)圓的特征，①、②部分的面積完全相等，求陰影部分的面積就是求②、③部分的面積和，而②、③部分組合成一個上底為5厘米、下底為8厘米、高為5厘米的梯形。陰影部分面積等于梯形面積。
【詳解】（5＋8）×5÷2＝13×5÷2＝65÷2＝32.5（平方厘米）

4．（2022·安徽·六年級期末）計算陰影部分的面積。（π取3.14）

【答案】1.14平方厘米
【分析】如下圖：連接兩條半徑的兩個端點，三角形內(nèi)的陰影部分可移到三角形外兩個圓弧，陰影部分的面積＝圓的面積的－一個三角形的面積；圓的面積：S＝πr2，三角形的面積＝底×高÷2；據(jù)此解答。
【詳解】3.14×2×2÷4－2×2÷2＝3.14－2＝1.14（平方厘米）

【題型二】割補法求面積（二）旋轉(zhuǎn)
【解題技巧】常見模型
圖形
轉(zhuǎn)化后的圖形
秘籍計算方法

【典題1】（2021·江蘇揚州·小升初真題）如圖，兩個同樣大的正方形，把其中一個正方形的頂點固定在另一個正方形的中心點上。旋轉(zhuǎn)其中一個正方形如圖所示，重疊部分的面積是5平方厘米，正方形的面積是( ) 平方厘米。

【答案】20
【分析】標(biāo)注字母并做出輔助線，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OA＝OC，△AOB和△COD形狀大小完全相同，可以將△COD割補到△AOB的位置，因此陰影部分面積就是正方形面積的，正方形面積就是重疊部分的面積×4，即可解答。
【詳解】5×4＝20（平方厘米）

【點睛】本題考查正方形的特征，利用割補法將陰影部分不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形進行解答。
【典題2】（2021·四川·成都外國語學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)部的一點，連接PA、PB、PC。將繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置。設(shè)，，，求旋轉(zhuǎn)到的過程中邊PA所掃過的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積。

【答案】π（m2－n2）
【分析】因為將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到，所以和形狀大小均相等，所以的面積＝的面積，則陰影部分的面積等于以AB為半徑的圓的面積減去以PB為半徑的圓的面積。據(jù)此即可求解。
【詳解】以AB為半徑的圓的面積：×π×m×m＝πm2；
以PB為半徑的圓的面積：×π×n×n＝πn2；陰影部分面積＝πm2－πn2＝π（m2－n2）。
答：旋轉(zhuǎn)到的過程中邊PA所掃過的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積是π（m2－n2）。
【點睛】利用旋轉(zhuǎn)后圖形的大小和形狀都不改變這個關(guān)鍵。再根據(jù)面積之間的關(guān)系求出陰影部分面積。
【變式練習(xí)】
1．如圖所示的四邊形的面積等于多少？

分析：本題的關(guān)鍵在于很多同學(xué)慣用的方法是沿著虛線將四邊形分成一個直角三角形和一個直角梯形，但是分割后會發(fā)現(xiàn)條件找不齊。正確的解法是：如右圖，將三角形OAB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°到三角形OCD，從而將不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化為一個邊長為12的正方形的解。面積為144.
2．如圖所示，中，，，，以為一邊向外作正方形，中心為，求的面積．

解析：如圖，將沿著點順時針旋轉(zhuǎn)，到達的位置．
由于，，所以．而，
所以，那么、、三點在一條直線上．

由于，，所以是等腰直角三角形，且斜邊為，所以它的面積為．根據(jù)面積比例模型，的面積為．
3.在一個正方形中放入一個四個頂點與大正方形相接的一個小正方形(如圖)，如果兩個正方形的周長相差厘米，面積相差平方厘米，求小正方形的面積是多少平方厘米？

解析：方法一：本題就此圖來看計算起來比較麻煩，但是我們可以把圖⑴經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后變成圖⑵這樣我們就可以根據(jù)我們學(xué)過的知識來解決這道題了．八條虛線的長度正好是大小兩個正方形的周長差，空白處即為兩個正方形的面積差，所以虛線長為：(厘米)從圖中可以看出上、下、左、右四個長方形的面積相等為：()(平方厘米)，所以小正方的邊長為：(厘米)，即小正方形的面積為：(平方厘米)
方法二：本題還可以將里面的正方形移到一角上來計算，由右圖可知虛線長度為：(厘米)所以小正方形的面積為：(平方厘米)白色長方形的面積為：()(平方厘米)，所以小正方形的邊長為：(厘米)，正方形的面積為：(平方厘米)．
4．（2021·全國·六年級專題練習(xí)）求下圖中陰影部分的周長和面積。（單位：cm）

【答案】；
【分析】結(jié)合圖示可知，①陰影部分周長由6段弧及一條正方形的邊長組成，且每段弧長是整個圓的周長的，故可列式為：；②將左邊的陰影部分繞正方形的中心順時針旋轉(zhuǎn)180°，恰好與右邊的合為半圓，即陰影部分面積就是半圓的面積，故可列式為：。
【詳解】

【題型三】和差法求面積
【解題技巧】常見模型
圖形
轉(zhuǎn)化后的圖形
秘籍計算方法

【典題1】（2021·成都外國語學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）如圖，正方形ABCD的邊AB＝1，弧BD和弧AC都是以1為半徑的圓弧，則無陰影的兩部分的面積之差為( )。

【答案】π－1
【分析】正方形面積＝邊長×邊長，圓面積＝半徑×半徑×π，分別設(shè)4塊面積為，表達出所需面積，通過面積之間轉(zhuǎn)化即可求解。
【詳解】根據(jù)如下圖兩個陰影部分設(shè)為、，左邊空白的部分設(shè)為，右邊空白的部分設(shè)為。

正方形面積＝＝1×1＝1；兩個扇形面積＝＝1×1×π×＝π；
兩個扇形面積－正方形面積＝－（）
＝－＝＝π－1
【點睛】此題考查圖形面積之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，關(guān)鍵通過等式推導(dǎo)出無陰影部分的兩部分的面積差即是陰影部分面積。
【典題2】（2021·四川成都·六年級期末）如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圓的直徑，A為扇形ACD的圓心，求陰影部分的面積是多少平方厘米。

【答案】4.56平方厘米
【分析】將圖形分割，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為兩部分，一部分是扇形ACD面積與三角形ABC面積一半的差，另一部分是半圓形BEC的面積與三角形ABC面積一半的差，相加即可。
【詳解】如圖分割：

陰影部分①的面積＝扇形ACD面積－三角形ACE的面積，
陰影部分②的面積＝半圓BEC面積－三角形BCE的面積，
三角形ACE的面積＋三角形BCE的面積＝三角形ABC的面積，
陰影部分面積＝扇形ACD的面積＋半圓BEC的面積－三角形ABC的面積
＝×3.14×42＋×3.14×（4÷2）2﹣×4×4＝×3.14×16＋×3.14×4﹣8
＝6.28＋6.28﹣8＝12.56﹣8＝4.56（平方厘米）答：陰影部分的面積是4.56平方厘米。
【點睛】本題主要考查了圓與組合圖形的面積，將要求的面積合理分割，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積差是本題解題的關(guān)鍵。
【變式練習(xí)】
1．（2021·四川成都·小升初模擬）如圖所示為某商品的商標(biāo)，由兩顆愛心組成，每顆愛心都是由一個正方形和兩個半圓拼成，兩個正方形的邊長分別為40毫米和20毫米，則陰影部分的面積是多少平方毫米？（圓周率取3.14）

【答案】2142平方毫米
【分析】此題主要考查了組合圖形的面積計算，觀察圖可知，兩個大半圓可以組成一個整圓，兩個小半圓也可以組成一個整圓；大正方形的面積＋大圓的面積－小正方形的面積－小圓的面積＝陰影部分的面積，據(jù)此列式解答。
【詳解】40÷2＝20（毫米）???????20÷2＝10（毫米）
40×40＋π×202－20×20－π×102＝1600＋400π－400－100π＝1200＋300π
＝1200＋300×3.14＝1200＋942＝2142（平方毫米）
答：陰影部分的面積是2142平方毫米。
【點睛】此題考查組合圖形面積的巧算。通過切拼把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，從而使計算簡便。
2．（2021·四川·成都市鹽道街小學(xué)六年級期中）求圖中陰影①比陰影②的面積多多少平方厘米？

【答案】0.28平方厘米
【解析】
【分析】
根據(jù)題圖可知，陰影①＋空白部分＝半圓面積，陰影②＋空白部分＝三角形面積，陰影①－陰影②＝（陰影①＋空白部分）－（陰影②＋空白部分）＝半圓面積－三角形面積，據(jù)此解答即可。
【詳解】3.14×（4÷2）2÷2－4×3÷2＝6.28－6＝0.28（平方厘米）
3．（2022·全國·期中）如圖，在長方形ABCD中，M是CD邊中點，DN是以點A為圓心的一段弧，KN是以點B為圓心的一段弧，AN=3厘米，BN=2厘米．則圖中陰影部分的面積是　　平方厘米．（π取3.14）

【答案】3.545
分析：運用長方形的長是（3+2），寬是3，△KCM的底是KC是（3﹣2），高CM的長度是（3+2）÷2，用長方形的面積分別減去兩個扇形的面積與一個三角形的面積．
【詳解】（3+2）×3﹣3.14×32×﹣3.14×22×﹣（3﹣2）×（3+2）÷2÷2，
=15﹣7.065﹣3.14﹣1.25，=3.545（平方厘米）；
答：陰影部分的面積是3.545平方厘米．故答案為3.545．
點評：本題運用長方形的面積公式及三角形，扇形的面積公式進行計算即可．
4．（2021·陜西西安·六年級期中）如圖，正方形的邊長是4厘米，以正方形的邊為直徑畫一個半圓，分別以A、B為圓心，正方形的邊長為半徑畫兩段圓弧。圖中兩個陰影部分的面積相差多少平方厘米？

【答案】2.84平方厘米
【分析】如下圖：

根據(jù)差不變原理，不規(guī)則圖形AED是不規(guī)則圖形ACD與不規(guī)則圖形ABD的公共部分，所以兩個陰影部分的面積差＝不規(guī)則圖形ABD的面積－不規(guī)則圖形ACD的面積；不規(guī)則圖形ACD的面積＝正方形的面積－四分之一圓的面積；不規(guī)則圖形ABD的面積＝四分之一圓的面積－下面小半圓的面積；然后求出面積差即可。
【詳解】4×4－3.14×42÷4＝16－12.56＝3.44（平方厘米）
3.14×42÷4－3.14×（4÷2）2÷2＝12.56－6.28＝6.28（平方厘米）
6.28－3.44＝2.84（平方厘米）
答：圖中兩個陰影部分的面積相差2.84平方厘米。
【點睛】本題主要考查圓與組合圖形的面積計算，根據(jù)差不變原理添加公共部分是解題的關(guān)鍵。

【題型四】整體代換法
【解題技巧】有些參數(shù)（如圓的半徑）直接求很困難，但是可以直接求的半徑的平方，采用設(shè)而不求，整體代換即可。
【典題1】（2021·全國·六年級專題練習(xí)）如圖，陰影部分的面積是25平方米，求圓環(huán)面積。

【答案】157平方米
【分析】要計算圓環(huán)的面積，就要已知圓環(huán)內(nèi)、外半徑的具體數(shù)值，因為題中未給出，只是提供了陰影部分面積是25平方米，這就要首先思考陰影部分面積與圓環(huán)面積具有哪些聯(lián)系；S陰影＝S大直角三角形－S小直角三角形＝R2－r2＝25，要計算圓環(huán)面積可將外半徑的平方與內(nèi)半徑的平方之差推導(dǎo)出即可，R2－r2＝50，那么圓環(huán)的面積就是π（R2－r2）＝157（平方米）。
【詳解】如圖：

S陰影＝S大直角三角形－S小直角三角形＝R2－r2＝（R2－r2）＝25 即R2－r2＝50
所以π（R2－r2）＝3.14×50＝157（平方米）
【典題2】（2021·四川成都·六年級期末）如圖，已知陰影三角形的面積是50dm2，則圓的面積是( )dm2。

【答案】314
【詳解】三角形的面積是50dm2，即r2÷2＝50，r2＝100。圓的面積為πr2＝3.14×100＝314（dm2）
【變式練習(xí)】
1．（2021·四川成都·六年級期末）如圖所示，O為大小兩個圓的圓心，陰影部分的面積是8平方厘米，圓環(huán)的面積是_____平方厘米。

【答案】25.12
【分析】假設(shè)小圓的半徑為r，大圓的半徑為R，則小正方形的邊長為r，大正方形邊長為R，陰影部分面積＝R2－r2＝8（平方厘米），根據(jù)圓環(huán)的面積公式：S＝π（R2－r2）整體代入求解即可。
【詳解】解：設(shè)小圓的半徑為r厘米，大圓的半徑為R厘米，
則小正方形的邊長為r厘米，大正方形邊長為R厘米，
陰影部分面積＝R2－r2＝8（平方厘米），
圓環(huán)的面積：3.14×（R2－r2）＝3.14×8＝25.12（平方厘米）
【點睛】本題主要考查了圓與組合圖形，假設(shè)未知數(shù)然后進行整體代換是本題解題的關(guān)鍵。
2．（2021·四川成都·六年級期末）如圖，陰影部分的面積是a平方米，圓環(huán)的面積是( )平方米。

【答案】2πa
【分析】由題意可知：外圓半徑的平方÷2－內(nèi)圓半徑的平方÷2＝a平方米，則外圓半徑的平方－內(nèi)圓半徑的平方＝2a平方米；代入圓環(huán)的面積公式S＝π（R2－r2）計算即可。
【詳解】圓環(huán)的面積：π（R2－r2）＝π×2a＝2πa（平方米）
【點睛】解答本題的關(guān)鍵是理解陰影部分的面積等于外圓半徑平方與內(nèi)圓半徑平方的差的一半。
3．（2021·江蘇宿遷·五年級期末）如圖：（1）若大正方形的面積是20平方厘米，則圓的面積是( )平方厘米。（2）若小正方形的面積是20平方厘米，則圓的面積是( )平方厘米。

【答案】???? 15.7???? 31.4
【分析】（1）圓的直徑應(yīng)該等于大正方形的邊長，正方形的面積已知，從而可以求出半徑的平方，進而可以求出圓的面積。（2）小正方形的對角線等于圓的直徑，設(shè)圓的半徑為r，則可以表示出正方形的面積，正方形的面積已知，進而求出正方形的面積與半徑的關(guān)系，即可解決問題。
【詳解】（1）3.14×（20÷4）＝3.14×5＝15.7（平方厘米）
（2）設(shè)圓的半徑為r，則正方形的面積：2r×r÷2×2＝2r2
2r2＝20 r2＝10（厘米）
圓的面積：π＝3.14×10＝31.4（平方厘米）
【點睛】解答此題的關(guān)鍵是：弄清楚所求圖形面積可以由哪些規(guī)則圖形的面積和或差求解。
4. 已知圖中正方形的面積是20平方厘米，則圖中里外兩個圓的面積之和是多少．(取)
解析：設(shè)圖中大圓的半徑為，正方形的邊長為，則小圓的直徑等于正方形的邊長，
所以小圓的半徑為，大圓的直徑等于正方形的對角線長，即，得．

所以大圓的面積與正方形的面積之比為：，所以大圓面積為：；
小圓的面積與正方形的面積之比為：，所以小圓的面積為：；
兩個圓的面積之和為：(平方厘米)．

【題型五】等積變換法求面積
【解題技巧】合理使用邊、高的比求面積的比例，靈活掌握邊、高、面積之間的關(guān)系。
【典題1】（2021·成都市實驗外國語學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）已知△ABC的面積是1，把它的各邊按照如圖所示的方式延長1倍后得到△。（1）△的面積為（???????）；（直接寫出答案）
（2）若按照之前的方式再把△的各邊延長2倍得到△，試求△的面積。

【答案】（1）7；（2）19
【分析】連接A1B，CB1，AC1，如下圖：

根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，
得三角形A1B1C1的面積是三角形ABC面積的倍數(shù)為3×1×（1＋1）＋1＝7（倍）；
依此類推三角形A2B2C2的面積是△ABC的倍數(shù)為：3×2×（2＋1）＋1＝19（倍）
【詳解】（1）由分析可得：三角形的面積為三角形ABC面積的7倍，
所以三角形面積為7×1＝7；
三角形面積是三角形ABC面積的19倍，所以三角形面積為19×1＝19
【點睛】找出三角形面積之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，上述規(guī)律推而廣之可得：三角形AnBnCn的面積是三角形ABC面積的倍數(shù)為3n（n＋1）＋1＝3n2＋3n＋1（倍）。
【典題2】（2021·四川·成都市實驗外國語學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）如圖，三角形的面積是1，點是的中點，點在上，且，與交于點。求四邊形的面積。

【答案】
【分析】因為ΔBAE和ΔBCE的高相等，而且BD∶DC＝1∶2，E是AC的中點，然后連接FC，所以ΔBAE的面積是ΔBAC的面積的，進而分析解答即可。
【詳解】如圖所示，連接FC，設(shè)SΔBDF＝x，SΔCEF＝y(tǒng)，由于E是中點，D是3分點，所以SΔBCE＝SΔBAE＝；2SΔABD＝SΔADC＝；SΔCEF＝SΔEFA＝y(tǒng)，SΔDCF＝2x，SΔBFC＝SΔBFA＝3x，SΔABE＝SΔBFA＋SΔAFE，即3x＋y＝，SΔABD＝SΔBFA＋SΔAFE，即3x＋x＝，可得：x＝，y＝所以SΔDCF＝2x＝，所以四邊形的面積是：SΔDCF＋SΔCEF＝答：四邊形DFEC的面積是。

【點睛】解答此題的關(guān)鍵是如果三角形的高相等，那么三角形的底的比就等于三角形的面積比，適當(dāng)畫輔助線更好的找出三角形面積之間的關(guān)系。
【變式練習(xí)】
1．（2021·四川·成都外國語學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）如圖，在一個梯形內(nèi)有兩個三角形的面積分別為10和12，已知梯形的上底長是下底長的，求余下陰影部分的面積是多少？

【答案】23
【分析】根據(jù)題意和圖形可知：已知的2個三角形高的和是梯形的高，2個三角形底的和是梯形上下底的和。而梯形和三角形的面積都和底高有關(guān)系，所以設(shè)出其中一個三角形的底和高，可以變相求出梯形的面積，再減去已知的2個三角形的面積就可以求出陰影的面積。
【詳解】解：設(shè)上底長為2a，下底長為3a，三角形AOD的高為h，則三角形BCO的高為x，
則x是：（2a×h）∶（3a×x）＝10∶12 解之得：x＝h 那么梯形的高為：h＋h＝h
又因為三角形AOD面積為10，可知：ah＝10 梯形面積為：（2a＋3a）×h÷2＝ah＝×10＝45
故陰影面積為：45－（10＋12）＝23 答：陰影部分的面積是23。
【點睛】本題圖形提示陰影的面積＝梯形的面積－2個已知三角形的面積，還是運用組合圖形面積求法的思想。
2.（2021·四川成都·小升初模擬）如圖，三角形EFC的面積是24平方厘米，AE＝CE，BF＝FC，則三角形ABC的面積為________平方厘米。

【答案】40
【分析】BF＝FC，則BF∶FC＝1∶3，△EFB和△EFC的高相等，所以△EFB和△EFC的面積比是1∶3，也就是把△EFC的面積看作3份，△EFB的面積是1份，則△EBC的面積是4份。

AE＝CE，則AE∶CE＝1∶4，△EBA和△EBC的高相等，所以△EBA和△EBC的面積比是1∶4，也就是把△EBC的面積看作4份，△EBA的面積是1份，△ABC的面積是5份。
【詳解】24÷3×（1＋3）＝8×4＝32（平方厘米）
32÷4×（1＋4）＝8×5＝40（平方厘米）
【點睛】當(dāng)兩個三角形的高相等時，面積之比等于底之比。
3．如圖所示，,則陰影部分的面積=________．

【答案】
【詳解】解：連接DF．

，所以，
又因為，那么：S△ABE=S△BDE，S△AEF=S△DEF，S△BDF=2S△CDF；陰影部分面積=S△BDF =S△ABF
即S=== 故答案為.
【點睛】連接DF，根據(jù)已知和三角形面積公式得出S△ABE=S△BDE，S△AEF=S△DEF，S△BDF=2S△CDF，代入求出陰影部分面積即可．
4．（2021·全國六年級培優(yōu)）如圖，中，點是邊的中點，點、是邊的三等分點，若的面積為1，那么四邊形的面積是多少？

【答案】
【解析】由于點是邊的中點，點、是邊的三等分點，如果能求出、、三段的比，那么所分成的六小塊的面積都可以求出來，其中當(dāng)然也包括四邊形的面積．

連接、．根據(jù)燕尾定理，，而，
所以，那么，即．
那么，．
另解：得出后，可得，
則．

【題型六】容斥原理（韋恩圖）
【解題技巧】容斥原理這個詞可能聽起來比較陌生，它還有另一個名詞，重疊法。如果運用得當(dāng)，掌握其精髓，在求解陰影部分面積，以及相關(guān)應(yīng)用題時，能起到事半功倍的作用。本文就來重點講一下，容斥原理在求解陰影部分面積時的妙用。
【典題1】是邊長為4的正方形，分別以、、、為直徑畫半圓，則這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積是____________

解析：根據(jù)容斥原理，觀察可發(fā)現(xiàn)：計算四個半圓的面積和，陰影部分重疊計算一次，所以，四個半圓的面積和減去正方形面積即為陰影部分面積。陰影部分的面積為：
【典題2】（2022·河南南陽·六年級期末）如圖，直角三角形三條邊分別為3厘米、4厘米5厘米，分別以三邊為直徑畫半圓，圖中陰影部分的面積是( )平方厘米。

【答案】6
【分析】

如圖：可先用大半圓的面積減去直角三角形的面積，得到的是①＋②的面積；再用中半圓與小半圓面積之和減去（①＋②）的面積，就是陰影部分面積。
【詳解】S半中＝（）2×3.14÷2＝6.28（cm2） S半小＝（）2×3.14÷2＝3.5325（cm2）
S三角＝×3×4＝6（cm2） S半大＝（）2×3.14÷2＝9.8125（cm2）
S陰＝S半中＋S半?。⊿半大－S三角）＝6.28＋3.5325－（9.8125－6）＝6（cm2）
【點睛】本題較為復(fù)雜，①＋②的面積既是大半圓面積的一部分，同時也是中半圓和小半圓面積的一部分，所以要先清楚幾個半圓的面積的關(guān)系，再計算；同時計算量也很大，要有一定的耐心。
【變式練習(xí)】
1.如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB4厘米，求陰影部分的面積．(取3)

解析：利用容斥原理(平方厘米)
2.在桌面上放置個兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是平方厘米，蓋住桌面的總面積是平方厘米，張紙片共同重疊的面積是平方厘米.那么圖中個陰影部分的面積的和多少是平方厘米？

【解析】根據(jù)容斥原理得，所以（平方厘米）

1．（2021重慶市六年級月考）求圖中陰影部分的面積是（）平方厘米．

A．28.5 B．31.4 C．36 D．42.5
【答案】A
分析：如圖所示，可以將陰影部分分成①、②、③，共三個部分，①和②的面積和等于半圓的面積減去三角形ABD的面積，③的面積等于扇形ACD的面積減去三角形ADC的面積，據(jù)此即可得解．

【解析】 [3.14×（10÷2）2÷2﹣10×（10÷2）÷2]+（×3.14×102﹣10×10÷2÷2），
=[39.25﹣25]+（39.25﹣25），=14.25+14.25，=28.5（平方厘米）；
答：陰影部分的面積是28.5平方厘米．故選A．
點評：解答此題的關(guān)鍵是：將陰影部分進行分割，利用規(guī)則圖形的面積和或差求出．
2．（2021·四川成都·六年級期末）如圖，長方形ABCD內(nèi)陰影部分的面積之和為70m2，AB＝8m，AD＝15m，四邊形EFGO的面積是( )m2。

【答案】10
【分析】求出長方形的面積15×8＝120m2，從整體上來看，四邊形EFGO的面積＝三角形AFC面積＋三角形BFD面積?白色部分的面積，而三角形AFC面積＋三角形BFD面積為長方形面積的一半，即60m2，白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即120?70＝50m2，所以四邊形的面積為60?50＝10 m2。
【詳解】15×8＝120m2 120÷2＝60 m2 60－（120－70）＝60－50＝10（m2）
【點睛】本題的關(guān)鍵是通過圖形的轉(zhuǎn)化將所求圖形的面積轉(zhuǎn)化為已知圖形的面積。
3．（2021·浙江嘉興·六年級期末）如圖，已知正方形邊長為，點為上一點，四邊形也為正方形，則三角形的面積是( )cm2。

【答案】50
【分析】設(shè)AF和BC相交于O點。連接點B、F，得到梯形ABFC。根據(jù)蝴蝶模型，在梯形ABFC中，三角形AOB的面積等于三角形COF的面積。則三角形＝三角形AOC＋三角形COF＝三角形AOC＋三角形AOB＝三角形ABC。已知三角形ABC的底是10厘米，高10厘米，根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2即可求出三角形ABC的面積，即是三角形的面積。

【詳解】10×10÷2＝50（平方厘米）
【點睛】根據(jù)蝴蝶模型，推導(dǎo)出三角形的面積等于三角形ABC的面積是解題的關(guān)鍵。
4．（2022·全國·五年級課時練習(xí)）如圖，兩個等腰直角三角形疊放在一起，AF長3，AC長12，DE長8，重疊部分（陰影部分）五邊形AGHID的面積是　 ?。?br />
【答案】27.25
【詳解】試題分析：在直角梯形AGED中，分別求出AG=AF=3，DE=DF=8，DA=DF﹣AF=8﹣3=5，根據(jù)面積公式求得直角梯形AGED的面積，再求出直角等腰三角形IHE的面積，由直角梯形AGED的面積﹣直角等腰三角形IHE的面積即可求解．
解：AF=AG=3，DE=DF=8，所以：DA=DF﹣AF=8﹣3=5，
所以，直角梯形AGED的面積為：（3+8）×5÷2=27.5；
DC=AC﹣AD=12﹣5=7，DI=DC=7，所以：IE=DE﹣DI=8﹣7=1，
直角等腰三角形IHE的面積為1×1÷4=0.25
所以，圖中陰影部分的面積為：27.5﹣0.25=27.25．故答案為27.25．
點評：考查了組合圖形的面積，本題可以將陰影部分的面積由直角梯形AGED的面積﹣直角等腰三角形IHE的面積得出，有一定的難度，關(guān)鍵是熟悉等腰直角三角形的性質(zhì)．
5．（2021·全國·六年級競賽）如圖所示，O1、O2分別是所在圓的圓心。如果兩圓半徑均為3厘米，且圖中兩塊陰影部分的面積相等，那么O1O2的長度是( )厘米。（π取3.14）

【答案】4.71
【解析】如圖，既然圖中兩塊陰影部分的面積相等，那么同時加上一部分后，面積仍然相等，可以求出扇形的面積，也就等于不規(guī)則圖形的面積，進而得到長方形的面積，長方形的面積除以寬，得到長，即為O1O2的長度。
【詳解】如圖所示：

（平方厘米）（平方厘米）
（厘米）所以O(shè)1O2的長度是4.71厘米。
【點睛】本題考查的是圓與扇形的計算，差不變原理是求解本題的關(guān)鍵。
6．（2021·福建莆田·六年級期末）兩個小朋友用圓做剪紙游戲，一個小朋友將圓拼成一個近似長方形，另一個小朋友將圓剪成兩個半圓貼在長方形上，如下圖，如果長方形周長為16.56cm，那么S②比S①大( )平方厘米．

【答案】1.72
【分析】根據(jù)圓面積公式推導(dǎo)的過程：把一個圓分成若干等份，拼成的圖形近似于長方形，這個長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半，長方形的寬就是圓的半徑，設(shè)圓的半徑為rcm，根據(jù)長方形的周長公式可得（3.14r＋r）×2＝16.56，解方程可求得圓的半徑；
由于兩個半圓的面積等于這個長方形的面積，所以S②比S①大的面積就是左上角和右上角的面積，如下圖所示③，所以用邊長為圓半徑的正方形的面積減去－圓的面積除以4的商后，再乘2就是S②比S①大的面積；據(jù)此解答。

【詳解】設(shè)圓的半徑為r厘米。
（3.14r＋ r）×2＝16.56
8.28r＝16.56
r＝2
2×2－3.14×22÷4 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米）
0.86×2＝1.72（平方厘米） S②比S①大1.72平方厘米。
【點睛】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的周長與拼成的長方形周長之間的關(guān)系確定圓的半徑，然后再根據(jù)圓的面積公式進行計算即可。
7．如圖，已知邊長為8的正方形ABCD,E為AD的中點，P為CE的中點，△BDP的面積________．

【答案】8
【詳解】如圖，連接BE.

因為E為AD的中點，所以△BEC的面積=×正方形ABCD的面積=×8×8=32；
因為P為CE的中點，所以△BPC的面積=×△BEC的面積=16
△CDE的面積=×8×4=16 △CDP的面積=×△CDE的面積=×16=8 △ABD的面積=×8×8=32．
所以△BDP的面積=正方形ABCD的面積-△ABD的面積-△BPC的面積-△DPC的面積
=64-32-16-8=8．故答案為8．
【點睛】解答此題的關(guān)鍵是利用三角形的面積公式及高一定時，面積與底成正比的性質(zhì)解決問題．
8．（2021·江蘇南京市·長江路小學(xué)六年級期末）如圖所示，將一條邊長為10厘米的平行四邊形沿對角線對折，此時，圖中影陰部分是原平行四邊形面積的。長________厘米。

【答案】4
【分析】把原平行四邊形AEDC的面積看作單位“1”，則陰影部分（△BCD）的面積是，根據(jù)平行四邊形的特征，△ACD的面積是，陰影部分（△BCD）面積是△ACD的÷＝，又由于陰影部分（△BCD）與△ACD等高，陰影部分（△BCD）面積是△ACD面積的，因此，則陰影部分（△BCD）的底（BC）是△ACD底（AC）的，又知AC＝10厘米，據(jù)可解答。
【詳解】如圖所示：

由分析可知：陰影部分（△BCD）的底（BD）是△ACD底（AC）的，又知AC＝10厘米，
10×＝4（厘米）
【點睛】本題是考查簡單圖形的折疊問題，解答此題的關(guān)鍵是陰影部分（△BCD）面積是△ACD面積的，陰影部分（△BCD）的底（BC）是△ACD底（AC）的。
9．（2021·江蘇揚州市·六年級期末）如圖，一張平行四邊形的紙沿AB折疊（點A把平行四邊形的一條邊按2∶3的比分成了兩段），陰影部分的面積是12平方厘米。這個平行四邊形的面積是（________）平方厘米。

【答案】40
【分析】根據(jù)題意可知，折成的陰影部分是一個三角形，且該三角形的高與平行四邊形的高相等，因為點A把平行四邊形的一條邊按2∶3的比分成了兩段，所以三角形的底長占平行四邊底長的，又因為三角形的面積＝底×高÷2，所以三角形的面積占平行四邊形面積的×，再根據(jù)分?jǐn)?shù)的除法解決此題即可。
【詳解】2＋3＝5（份） ×＝ 12÷＝12×＝40（平方厘米）故答案為：40
【點睛】此題主要考查三角形和平行四邊形的關(guān)系，等底等高時，三角形的面積＝平行四邊形的面積×，注意圖形折疊的部分在折疊前后的形狀、大小不變。
10．（2021·四川成都·六年級期末）在課堂中，淘氣通過轉(zhuǎn)化的思想，運用旋轉(zhuǎn)的技巧，輕松地求出了陰影部分的面積，你也能算嗎？（單位：cm）

【答案】25cm2
【分析】如下圖：

陰影部分可轉(zhuǎn)化為底是10厘米，高是10÷2＝5厘米的三角形，帶入三角形面積公式即可求出面積；據(jù)此解答
【詳解】10×5×÷2＝50÷2＝25（cm2）
11．（2022·安徽亳州·六年級期末）求圖中陰影部分的面積。單位（厘米）

【答案】6平方厘米
【分析】把上面的陰影部分轉(zhuǎn)化旋轉(zhuǎn)到下面，拼成的陰影部分的面積等于梯形面積減去三角形的面積。利用梯形面積公式：，三角形面積公式：，計算即可。
【詳解】（平方厘米）
所以，陰影部分的面積是6平方厘米。
12．（2022·陜西漢中·六年級期末）計算下面圖形陰影部分的周長和面積。

【答案】28.26cm；36cm2
【分析】觀察圖形，陰影部分周長等于直徑是6cm圓的周長加上半徑是6cm圓的周長的，根據(jù)圓的周長公式：π×2×半徑，代入數(shù)據(jù)，求出陰影部分周長；
陰影部分面積等于直徑是6cm圓的面積加上邊長為6cm正方形面積與半徑為6cm圓的面積的的差，根據(jù)圓的面積公式：π×半徑2，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【詳解】周長：3.14×6＋3.14×2×6×＝18.84＋6.28×6×＝18.84＋37.68×＝18.84＋9.42＝28.26（cm）
面積：3.14×（6÷2）2＋（6×6－3.14×62×）＝3.14×32＋（36－3.14×36×）＝3.14×9＋（36－113.04×）
＝28.26＋（36－28.26）＝28.26＋7.74＝36（cm2）
13．（2021·河北邯鄲·小升初真題）求陰影部分的面積。（單位：cm）

【答案】19.44cm2
【分析】觀察圖形可得：陰影部分的面積＝上底是4cm、下底是6cm、高是4＋6＝10（cm）的梯形的面積－半徑是4cm的圓的面積－底是6cm、高是6cm的三角形的面積，然后再根據(jù)梯形的面積公式S＝（a＋b）h÷2，圓的面積公式S＝πr2，三角形的面積公式S＝ah÷2進行解答。
【詳解】（4＋6）×（4＋6）÷2－×3.14×42－6×6÷2＝50－12.56－18＝19.44（cm2）
則陰影部分的面積是19.44cm2。
14．（2022·山東·曹縣教學(xué)研究室六年級期末）下圖是一個直角梯形，求圖中陰影部分的周長和面積。（單位：厘米）

【答案】周長33.12厘米，面積25.12平方厘米
【分析】周長由三個部分組成，一個直徑為8厘米的圓周長的一半，一個半徑為8厘米的圓周長的四分之一以及一條長為8厘米的線段；
面積可以看成一個半徑為8厘米的圓面積的四分之一減去一個直徑為8厘米的圓面積的一半。
【詳解】8×3.14÷2＋8＋8×2×3.14÷4＝25.12÷2＋8＋16×3.14÷4
＝12.56＋8＋50.24÷4＝20.56＋12.56＝33.12（厘米）
＝64×3.14÷4－16×3.14÷2＝200.96÷4－50.24÷2
＝50.24－25.12＝25.12（平方厘米）
15．（2021·廣東深圳·六年級階段練習(xí)）如圖，O為圓心，AB＝BC＝8厘米，求陰影部分的面積。

【答案】20.56平方厘米
【分析】如圖，將陰影部分進行拆分，先計算弓形面積，再計算三角形面積，相加的陰影部分的面積。
【詳解】如圖所示，弓形面積可以用圓的面積減去三角形面積，右圖三角形面積直接用底和高來計算；

（厘米）（平方厘米）
16．（2021·全國·五年級課時練習(xí)）圖中，正方形ABCD的邊長為10厘米，過它的四個頂點作液體個大圓，過它的各邊中點作一個小圓，再過兩組對邊中點作直線，求圖中各塊陰影部分的面積總和．（?π=3.14）
【答案】29.4375平方厘米
【詳解】試題分析：如圖所示，將陰影①、②、③分別移到空白①、②、③的位置，則可以得出陰影部分的面積就等于環(huán)形面積的一半，利用圓環(huán)的面的計算方法即可得解．
解：據(jù)分析可知：大圓的面積為：π×直徑2，其中大圓的直徑2=102+102=200，
所以大圓的面積為：π×直徑2=50π，
小圓的面積為：π×直徑2=π（）2= π，
所以圖中陰影部分的總面積等于：（50﹣）π=π=29.4375（平方厘米）；
答：圖中各塊陰影部分的面積總和為29.4375平方厘米．
點評：利用平移的方法，得出陰影部分的面積即為大圓與小圓之間的圓環(huán)面積的一半，是解答本題關(guān)鍵．
17．（2022·全國·六年級階段練習(xí)）求圖中陰影部分的周長和面積．

【答案】陰影部分周長為18.84厘米；陰影部分的面積為2.28平方厘米
【詳解】試題分析：（1）陰影部分的周長可看作由下面幾部分組成：大圓周長的一半、中間小圓的周長、下面兩個小半圓周長的一半，并且小圓直徑和兩個小半圓直徑都相等，根據(jù)圓的周長公式解答即可；
（2）求陰影部分的面積可作幾條輔助線，如圖：將陰影1、2、3、4分別移到空白1、2、3、4，處，那么用大半圓的面積減去大三角形的面積即陰影部分的面積，據(jù)此解答．

解：（1）陰影部分周長：3.14×4÷2+3.14×（4÷2）×2=6.28+12.56=18.84（厘米）
（2）陰影部分的面積：3.14×（4÷2）2÷2﹣4×（4÷2）÷2=6.28﹣4=2.28（平方厘米）
18．（2021·貴州黔西·六年級期末）求陰影部分的周長。

【答案】20.56厘米
【分析】觀察圖形可知，陰影部分的周長等于半徑為4厘米的圓周長的一半加上兩條4厘米的邊的長度。
【詳解】＝12.56＋8＝20.56（厘米）
19．（2022全國·期中）如圖，一個鬧鐘內(nèi)圓的面積是30平方厘米，陰影部分的積是多少平方厘米？
【答案】15平方厘米
【詳解】試題分析：由圖意可知：陰影部分是由三個完全一樣的小陰影組成，我們只考慮其中一個的面積．在圖2中：Ⅱ+Ⅳ=內(nèi)圓的面積；Ⅰ+小陰影+Ⅲ=內(nèi)圓的面積；又因為：Ⅰ=Ⅱ；Ⅲ=Ⅳ，所以Ⅰ+Ⅲ=Ⅱ+Ⅳ=內(nèi)圓的面積．那么小陰影面積=內(nèi)圓的面積﹣內(nèi)圓的面積=內(nèi)圓的面積．原題中陰影部分的面積為內(nèi)圓的面積×3=內(nèi)圓的面積，內(nèi)圓的面積已知，從而問題得解．
陰影面積為15平方厘米．解：在圖2中：Ⅱ+Ⅳ=內(nèi)圓的面積；
Ⅰ+小陰影+Ⅲ=內(nèi)圓的面積；
又因為：Ⅰ=Ⅱ；Ⅲ=Ⅳ，所以Ⅰ+Ⅲ=Ⅱ+Ⅳ=內(nèi)圓的面積．
那么小陰影面積=內(nèi)圓的面積﹣內(nèi)圓的面積=內(nèi)圓的面積．
原題中陰影部分的面積為內(nèi)圓的面積×3=內(nèi)圓的面積，鬧鐘內(nèi)圓的面積是30平方厘米，
所以陰影面積為30×=15（平方厘米）．答：陰影部分的面積是15平方厘米．

點評：解答此題的關(guān)鍵是：先求出其中一部分的陰影的面積，推導(dǎo)出陰影部分與內(nèi)圓的面積的關(guān)系，進而就可以求出陰影部分的面積．
20．（2021·四川成都·六年級期末）如圖是一個正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點，Q為正方形一邊上的中點，求陰影部分的面積．

【答案】51.75平方厘米
【詳解】連PD、PC轉(zhuǎn)換為兩個三角形和兩個弓形，兩三角形面積為：△APD面積+△QPC面積=（5×10+5×5）=37.5．兩弓形PC、PD面積為：π-5×5，所以陰影部分的面積為：37.5+π-25=51.75平方厘米
21．（2022·全國·五年級期末）如圖，ABCD是平行四邊形，BC＝8cm，EC＝6cm，陰影部分面積比△EFG的面積大12cm2，求FC的長。

【答案】4.5厘米
【分析】由圖可知，△EFG＋梯形BCFG＝△BCE，陰影部分＋梯形BCFG＝平行四邊形ABCD，根據(jù)陰影部分與△EFG的面積差表示出平行四邊形ABCD與陰影部分的面積之差，利用三角形的面積計算公式計算出△BCE的面積，再求出平行四邊形ABCD的面積，最后利用“高＝平行四邊形的面積÷底”求出FC的長。
【詳解】分析可知，陰影部分面積－△EFG＝12cm2
（陰影部分＋梯形BCFG）－（△EFG＋梯形BCFG）＝12cm2
平行四邊形ABCD－△BCE＝12cm2
△BCE的面積：8×6÷2＝48÷2＝24（cm2）
平行四邊形ABCD的面積：24＋12＝36（cm2）
FC的長度：36÷8＝4.5（厘米）答：FC長4.5厘米。
【點睛】分析題意求出平行四邊形ABCD的面積是解答題目的關(guān)鍵。
22．（2021·江蘇·五年級專題練習(xí)）如圖所示，長方形的長和寬分別是8厘米和6厘米，陰影部分的總面積是16平方厘米。求四邊形ABCD的面積。

【答案】4平方厘米
【分析】根據(jù)三角形的面積公式得出△AEF和△AGH的面積和正好等于長方形EFGH的面積的面積的一半，根據(jù)長方形的面積求出△ECH的面積，結(jié)合圖形求出即可。
【詳解】△AEF和△AGH的面積和正好等于長方形EFGH的面積的面積的一半，即
×8×6＝4×6＝24（平方厘米）四邊形EFGH是長方形，△ECH的面積是長方形面積的
×8×6 ＝2×6＝12（平方厘米）所以四邊形ABCD的面積是：12－（24 －16）＝12－8＝4（平方厘米）
答：四邊形ABCD的面積是4平方厘米。
【點睛】本題考查了三角形的面積和正方形的面積的應(yīng)用，主要考查學(xué)生能否根據(jù)圖形把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)圖形的面積。
23．（2021·浙江·六年級期末）下圖是由兩個正方形和一個圓組成的，已知大正方形的面積是，那么陰影部分的面積是多少？（圓周率取3.14）

【答案】10.26平方厘米
【分析】根據(jù)圖意可得：陰影部分的面積＝圓的面積－小正方形的面積，已知大正方形的面積是，36＝6×6，即大正方形的邊長是6cm，也正是圓的直徑；小正方形的對角線的長度是6cm，小正方形的面積是6×6÷2＝18（平方厘米）。據(jù)此解答即可。
【詳解】36＝6×6 3.14×（6÷2）2－6×6÷2＝3.14×9－18＝28.26－18＝10.26（平方厘米）
答：陰影部分的面積是10.26平方厘米。
【點睛】本題屬于求圓與組合圖形面積的問題，這種類型的題目主要明確組合圖形是由哪些基本的圖形構(gòu)成的，然后看是求幾種圖形的面積和還是求面積差，然后根據(jù)面積公式解答即可。
24．（2022·上海普陀·六年級期末）汽車盲區(qū)是造成交通事故的罪魁禍?zhǔn)字?，它是指駕駛員位于正常駕駛座位置，其視線被車體遮擋而不能直接觀察到的那部分區(qū)域。有一種汽車盲區(qū)叫做內(nèi)輪差盲區(qū)，內(nèi)輪差是車輛在轉(zhuǎn)彎時前內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑與后內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑之差；由于內(nèi)輪差的存在而形成的這個區(qū)域（下圖所示）是司機視線的盲區(qū)?？ㄜ?，貨車等車身較長的大型車在轉(zhuǎn)彎時都會產(chǎn)生這種盲區(qū)，為了解決這個問題，現(xiàn)在許多路口都開始設(shè)置“右轉(zhuǎn)危險區(qū)”標(biāo)線。

下圖是我區(qū)某一路口“右轉(zhuǎn)危險區(qū)”的示意圖，經(jīng)過測址后內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑米，前內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑米，圓心角，求此“右轉(zhuǎn)危險區(qū)”的面積和周長。

【答案】面積18.06平方米，周長33.98米
【分析】觀察圖形可知，“右轉(zhuǎn)危險區(qū)”的面積＝六邊形O1DCO2BA的面積＋扇形O2BC的面積－扇形O1AD的面積；“右轉(zhuǎn)危險區(qū)”的周長＝弧AD長度＋AB＋CD＋弧BC的長度，據(jù)此解答。
【詳解】10×10－4×4＋3.14×42× －3.14×102×＝100－16＋12.56－78.5＝18.06（平方米）；
3.14×10×2×＋（10－4）×2＋3.14×4×2×＝3.14×5＋12＋3.14×2＝21.98＋12＝33.98（米）
答：“右轉(zhuǎn)危險區(qū)”的面積是18.06平方米，周長是33.98米。
【點睛】此題考查了有關(guān)扇形的周長和面積計算，找出面積和周長都包含哪些部分，認(rèn)真計算即可。
25．（2021·全國·期中）如圖，已知等腰三角形ABC，D為AC中點，AB=BC=2厘米，，分別是以B、A為圓心的弧．那么陰影部分的面積是多少平方厘米？

【答案】1平方厘米
【詳解】試題分析：如圖所示，連接BD，三角形ABC、三角形BDC和三角形DBA都是等腰直角三角形，且AD=DC=BD，所以扇形BDE與扇形ADF的面積相等，于是可將扇形BDE平移到扇形ADF的位置，則陰影部分的面積等于三角形ABC面積的一半，又因三角形的AB=BC=2厘米，所以可以求出陰影部分的面積．

解：如圖所示，將扇形②平移到扇形①的位置，
陰影部分的面積=三角形ABC的面積；即陰影部分的面積：2×2÷2÷2=4÷2÷2，=2÷2，=1（平方厘米）；
答：陰影部分的面積是1平方厘米．
點評：解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，求得：陰影部分的面積等于三角形ABC面積的一半．
26．（2020·浙江小升初真題）如圖中陰影部分面積為100平方厘米，求兩圓之間的環(huán)形面積．（5分）

【答案】兩個圓之間的環(huán)形的面積為78.5平方厘米．
分析：假設(shè)小圓半徑為r，則小正方形邊長為2r；大圓半徑為R，則大正方形邊長為2R．已知陰影部分的面積是100平方厘米，也就是4R2﹣4r2=100平方厘米，得R2﹣r2=25平方厘米，環(huán)形面積為πR2﹣πr2=25π，取π=3.14，計算即可．
【解析】設(shè)小圓半徑為r，則小正方形邊長為2r；大圓半徑為R，則大正方形邊長為2R．
陰影面積：（2R）2﹣（2r）2=100（平方厘米），
可得：4R2﹣4r2=100平方厘米，得R2﹣r2=25（平方厘米），
環(huán)形面積：πR2﹣πr2=25π=25×3.14=78.5（平方厘米）．
答：兩個圓之間的環(huán)形的面積為78.5平方厘米．
點評：大圓面積減去小圓面積為環(huán)形面積，根據(jù)已知結(jié)合圖形可推出大圓和小圓半徑的平方差，進而可求環(huán)形面積．
27．（2021·浙江·六年級期末）ABC是等腰直角三角形，D是半圓周的中點，BC是半圓的直徑。已知AB＝BC＝10厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米。（的值取3.14）

【答案】32.125平方厘米
【分析】，如圖所示，將原圖中的等腰三角形ABC添補成正方形ABCE，連接DE，整個圖形由正方形ABCE和直徑為10厘米的半圓組成，也是三角形ADE和兩個陰影部分面積組成，D是半圓周的中點，三角形ADE的高是：圓的半徑＋等腰直角三角形腰的長，即：10＋10÷2厘米，三角形ABE的底等于三角形ABC的腰，即：AE＝AB＝10厘米，陰影部分面積＝（正方形面積＋半圓面積－三角形ADE的面積）÷2，即可算出。
【詳解】
如圖所示，將原圖中的等腰三角形ABC添補成正方形ABCE，連接DE
[10×10＋3.14×（10÷2）2÷2－10×（10＋10÷2）÷2]÷2＝[100＋3.14×25÷2－10×15÷2]÷2
＝[100＋78.5÷2－150÷2]÷2＝[100＋39.25－75]÷2＝[139.25－75]÷2＝64.25÷2＝32.125（平方厘米）
答：陰影部分面積是32.125平方厘米。
【點睛】解決本題的關(guān)鍵是做出合適的輔助線，將圖形進行相應(yīng)轉(zhuǎn)換，利用已知的條件求的陰影部分的面積。
28.（2021·成都小升初模擬）求下面圖形中的陰影部分的面積。(單位:cm)(10分)

解析：（1）陰影部分的面積等于：梯形ABOC+扇形OCD－三角形ABD
算式：（2+4）×2÷2+－2×（2+4）÷2=4πcm2
（2）陰影部分的面積等于：半圓ADB+扇形CBE－三角形ABC
算式：+－4×4÷2=（4π-8）cm2
考點:陰影圖形面積
29．（2022·遼寧·六年級單元測試）邊長為6厘米的正方形紙片蓋在桌子上，再將一張邊長為8厘米的正方形紙片的一個頂點，對著桌上正方形紙片的中心，也放在桌上（如下圖），兩張紙片重疊了一部分，求兩張紙片蓋住了多大的面積。

【答案】91平方厘米
【解析】連接OC、OD，則所以

所以蓋住部分的面積為：＝36＋64－9＝91（平方厘米）
答：兩張紙片蓋住了91平方厘米。

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