一、單項(xiàng)選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，，故選C.
2．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由于不等式的解集為，則可推出，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要條件．故選：A.
3．函數(shù)的部分圖像大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，定義域?yàn)镽所以
所以為奇函數(shù)，且，排除AB；當(dāng)時(shí)，，即，排除D故選：C.
4．政府為了了解疫情當(dāng)下老百姓對防控物資方面的月花費(fèi)情況，抽取了一個(gè)容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在的有54人，則n的值為（ ）
A．100B．150C．90D．900
【答案】B
【解析】因?yàn)橹С鲈趦?nèi)的有54人，所以由頻率分布直方圖得：，故選B
5．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，，，所以，故選B．
6．設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.故選：C.
7．已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得：，解得 ，所以曲線的方程為，故選：C
8．“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明.它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)中國館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為( )

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】內(nèi)層圓柱的底面半徑，外層圓柱底面半徑，
內(nèi)外層的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球上，球的半徑，
如圖，以內(nèi)層圓柱為例，
∵內(nèi)層圓柱的底面圓周在球面上，
∴球心與內(nèi)層圓柱的底面圓心的連線垂直于底面圓，
則，∴，
根據(jù)球的對稱性可得，內(nèi)層圓柱的高為，
同理可得，外層圓柱的高為，
故此模型的體積為：.故選：C.
9．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：
①是偶函數(shù)
②在區(qū)間單調(diào)遞增
③的最大值為2
④在有4個(gè)零點(diǎn)
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）
A．①②④B．②④C．①④D．①③
【答案】D
【解析】因，則為偶函數(shù)，①正確；
當(dāng)時(shí)，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，②錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，又是偶函數(shù)，所以的最大值為2，③正確；
當(dāng)時(shí)，，它有兩個(gè)零點(diǎn)：0，，當(dāng)時(shí)，，它有一個(gè)零點(diǎn)：，
所以函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn)：，0，，④錯(cuò)誤，
所以所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③.
故選：D
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．
10．已知是虛數(shù)單位，計(jì)算： .
【答案】
【解析】．
11．的展開式共有8項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為 ．
【答案】
【解析】的展開式共有項(xiàng)，
依題意得：，；
設(shè)的展開式的通項(xiàng)為，則，
由得，
的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．
12．直線l：被圓C：截得的弦長為，則m的值為 .
【答案】1或9
【解析】，
圓心C，半徑，
圓心C到直線l的距離，
則，即，解得或1．
13．某城市的電力供應(yīng)由1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)負(fù)荷相同的核電機(jī)組并聯(lián)提供．當(dāng)一個(gè)機(jī)組發(fā)生故障時(shí)，另一機(jī)組能在這段時(shí)間內(nèi)滿足城市全部供電需求的概率為．已知每個(gè)機(jī)組發(fā)生故障的概率均為，且相互獨(dú)立，則機(jī)組發(fā)生故障的概率是 ．如果機(jī)組發(fā)生故障，那么供電能滿足城市需求的概率是 ．
【答案】 /0.19
【解析】設(shè)供電能滿足城市需求為事件A，機(jī)組發(fā)生故障為事件B，
則，，所以．
14．如圖，A，B是⊙C上兩點(diǎn)，若弦AB的長度為2，則 ，若向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為 ．
【答案】 2 /
【解析】（1）；
（2）由題意，，故，故，又，故，即，解得，故，所以
15．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程，有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋瑒t，
當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，，
故的大致圖像如圖所示：
關(guān)于的方程等價(jià)于，
即或，
由圖可得，方程有且僅有一解，則有兩解，
所以，解得．
三、解答題：本題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分14分）在的內(nèi)角所對邊的長分別是，已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【解】（1）因?yàn)?，故由余弦定理?br>可得，即，解得（舍）或.
（2）因?yàn)?，故，則，
由正弦定理，則，解得.
（3）因?yàn)?br>又，
故.
17．（本小題滿分15分）如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面ABCD和ADEF都是邊長為2的正方形，平面平面ADEF，點(diǎn)G、M分別是線段AD、BF的中點(diǎn)．
(1)求證：平面BEG；
(2)求直線DM與平面BEG所成角的正弦值；
(3)求平面BEG與平面ABCD夾角的余弦值．
【解】（1）由四邊形是正方形，則，又面面，面面 ，面，
所以面，而面，則，又，
所以、、兩兩垂直.
建立以A為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，，，
所以，
設(shè)為面的法向量，則，令，可得，
又，則，所以，又平面，
所以平面．
（2）由（1）知：且為面的法向量，
因此，即直線與平面所成角的正弦值為．
（3）由平面的一個(gè)法向量且為面的法向量，
因此，即平面與平面夾角的余弦值為．
18．（本小題滿分15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值．
【解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減并化簡得（），
當(dāng)時(shí)，上式也符合，
所以.
（2）數(shù)列滿足，，
則，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以，
設(shè)數(shù)列滿足，且前項(xiàng)和為，
,,
兩式相減得，
所以.
設(shè)數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和，
所以.
（3）依題意，存在，使得成立，
，則只需求的最小值.
，
當(dāng)或時(shí)，取得最小值為.
所以的最小值為.
19．（本小題滿分15分）已知橢圓，其離心率為，若，分別為C的左、右焦點(diǎn)，x軸上方一點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足，．
(1)求C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)過點(diǎn)P的直線l交C于另一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在第三象限），點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對稱，直線PM交x軸于點(diǎn)N，若的面積是的面積的2倍，求直線l的方程．
【解】（1）因?yàn)椋?，且?br>又，所以，
即，即，所以，
又離心率，所以，，所以，
所以橢圓方程為．
∵，又∵，
∴，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）依題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，
由消去y整理，解得或，
所以Q點(diǎn)坐標(biāo)為，
從而M點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以直線PM的方程為，
則N點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)榈拿娣e是的面積的2倍，點(diǎn)Q在第三象限，
所以，
即，解得（舍負(fù)），
所以滿足條件的直線l的方程為，
即：．
20．（本小題滿分16分）已知函數(shù)
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，且在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；
（3）若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【解】（1）若，則，
所以，所以，所以切線方程為
（2）依題意，在區(qū)間上
因?yàn)?，?br>令得，或．
若，則由得，；由得，．
所以，滿足條件；
若，則由得，或；由得，
，
依題意，即，所以．
若，則．
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足條件；
綜上，．
（3），．
所以．設(shè)，．
令得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以的最小值為．
因?yàn)椋裕?br>所以的最小值．
從而，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
又，
設(shè)．
則．令得．由，得；
由，得．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以．
所以恒成立．所以，．
所以．
又，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)．

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