2024年上海高考押題預(yù)測(cè)卷02【上海卷】數(shù)學(xué)全解全析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．已知集合，．則．
【分析】求出集合、的范圍，再根據(jù)交集的定義可得．
【解答】解：由題意，，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的交集求法，屬簡(jiǎn)單題．
2．已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則．
【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的概念得答案．
【解答】解：復(fù)數(shù)，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．
3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則它的第7項(xiàng)是 27 ，．
【分析】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式，求解數(shù)列的項(xiàng)即可．
【解答】解：數(shù)列的通項(xiàng)公式，則它的第7項(xiàng)是：．
．
故答案為：27；4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題．
4．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為 14 ．
【分析】把按照二項(xiàng)式定理展開，可得展開式中含項(xiàng)的系數(shù)
【解答】解：，
所以展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為：．
故答案為：14．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題目．
5．如圖所示，該分布的0.25分位數(shù)為．
【分析】根據(jù)分位數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：且對(duì)稱軸為軸，
，
該分布的0.25分位數(shù)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
6．定義在上的奇函數(shù)滿足，并且當(dāng)時(shí)，，則
【分析】由已知可得函數(shù)的周期，然后結(jié)合周期及已知函數(shù)解析式可求．
【解答】解：由定義在上的奇函數(shù)，即，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，可知函數(shù)的周期，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
則（1）．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用函數(shù)的對(duì)稱性及周期性求解函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是把所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上．
7．設(shè)有12件藥品，其中4件是次品，現(xiàn)進(jìn)行兩次無(wú)放回抽樣，即每次抽一件不放回去，則兩次都抽到正品的概率是．
【分析】利用古典概型的概率公式求解．
【解答】解：兩次都抽到正品的概率為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
8．已知圓與圓相切，則 1或3 ．
【分析】利用兩個(gè)圓相切，列出方程求解即可．
【解答】解：圓與圓相切，
可得，解得或，
故答案為：1或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
9．已知不等式的解集是，，．
【分析】由，得，去絕對(duì)值求出解集即可．
【解答】解：由，得，
所以或，解得或，
即不等式的解集為，，，
故答案為：，，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的求解，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和絕對(duì)值不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．
10．交通錐，又稱錐形交通路標(biāo)，如圖1，常用于進(jìn)行工程、發(fā)生事故時(shí)提醒行人或車輛，以保證工程人員及道路使用者的人身安全等．某數(shù)學(xué)課外興趣小組對(duì)一個(gè)去掉底座的圓錐形交通錐筒進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)將該交通錐筒放倒在地面上，如圖2，使交通錐筒在地面上繞錐頂點(diǎn)滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)交通錐筒首次轉(zhuǎn)回到原位置時(shí)，交通錐筒本身恰好滾動(dòng)了3周．若將該交通錐筒近似看成圓錐，將地面近似看成平面，測(cè)得該圓錐的底面半徑為，則該圓錐的側(cè)面積為（交通錐筒的厚度忽略不計(jì)）．
【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，根據(jù)周長(zhǎng)的關(guān)系求出，再利用圓錐的側(cè)面積公式求解即可．
【解答】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則圓錐繞頂點(diǎn)滾動(dòng)所形成的圓的半徑為，周長(zhǎng)為．
因?yàn)閳A錐的底面半徑為，
所以該圓錐的底面周長(zhǎng)為，
故，
解得，
所以該圓錐的側(cè)面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．
11．過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點(diǎn)．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為或2 ．
【分析】分兩種情況討論，在軸的同側(cè)和兩側(cè)，可得圓心在的角平分線上，過(guò)作垂直于，的垂線，由題意可得四邊形為正方形，再由題意可得，所以，由題意可得，的值，求出內(nèi)切圓的半徑，由題意可得，的關(guān)系求出離心率．
【解答】解：（1）若，在軸同側(cè)，不妨設(shè)在第一象限．
如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，則在的平分線上，過(guò)點(diǎn)分別作于，于，
由得四邊形為正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為得，又，所以，
又，所以，
所以，從而可得；
（2）若，在軸異側(cè)，不妨設(shè)在第一象限如圖，易知，，，
所以的內(nèi)切圓半徑為，
所以，
又因?yàn)?，所以，?br>所以，，
則，從而可得．
綜上，雙曲線的離心率為或2．
故答案為：2或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)和解直角三角形，考查分類討論思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．
12．已知點(diǎn)為正四面體的外接球上的任意一點(diǎn)，正四面體的棱長(zhǎng)為2，則的取值范圍為．
【分析】首先把四面體放在正方體內(nèi)，進(jìn)一步建立空間直角坐標(biāo)系，再利用坐標(biāo)法的運(yùn)算求出結(jié)果．
【解答】解：將正四面體放在正方體內(nèi)，并建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：
由于正四面體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的棱長(zhǎng)為，
正四面體的外接球即為正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為，
則：，解得，
則，，
設(shè)，，，
所以，
所以，
故，
由于，，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)；空間直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。
13．已知直線，直線，則“”是“”的
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
【分析】根據(jù)直線平行，充分必要條件的定義，判斷即可．
【解答】解：直線，直線，
，，解得．
則“”是“”的充要條件，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線平行，充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為
A．2B．1C．D．4
【分析】根據(jù)題意可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)奇偶性與單調(diào)性，列出不等式組，解得，進(jìn)而由基本不等式求出的最小值．
【解答】解：不等式，即，
等價(jià)于，
設(shè)，則為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
所以，故，即，
由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．
15．如圖是根據(jù)原衛(wèi)生部2009年6月發(fā)布的《中國(guó)7歲以下兒童生長(zhǎng)發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》繪制的我國(guó)7歲以下女童身高（長(zhǎng)的中位數(shù)散點(diǎn)圖，下列可近似刻畫身高隨年齡變化規(guī)律的函數(shù)模型是
A．B．
C．D．，
【分析】根據(jù)圖象是否是線性增長(zhǎng)，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，再由選項(xiàng)中函數(shù)的性質(zhì)判斷后可得．
【解答】解：選項(xiàng)，由散點(diǎn)圖知身高隨時(shí)間變化不是線性增長(zhǎng)，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)模型中隨增長(zhǎng)越來(lái)越快，與圖象不符合；
選項(xiàng)，對(duì)數(shù)函數(shù)模型在時(shí)沒(méi)有意義；
選項(xiàng)，符合散點(diǎn)圖中隨增長(zhǎng)越來(lái)越慢，且在時(shí)有意義．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了散點(diǎn)圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．已知函數(shù)，若等比數(shù)列滿足，則
A．2020B．C．2D．
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，利用倒序相加法，求解不等式的和即可．
【解答】解：等比數(shù)列滿足，則，
函數(shù)，
，
所以，
所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．
三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。
17．（14分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，平面，過(guò)的平面交平面于，．
（1）證明：平面；
（2）若平面平面，，四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．
【分析】（1）證明，，即可證明平面平面，利用面面平行的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)論；
（2）先證明平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案．
【解答】（1）證明：因?yàn)槠矫?，過(guò)的平面交平面于，
即平面，平面平面，
所以，又，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，所以平面，
四邊形為菱形，則，平面，平面，
故平面，又，，平面，
所以平面平面．
又平面，所以平面．
（2）解：由（1）知四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，
因?yàn)椋詾榈冗吶切危?br>連接交于，連接，則，，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>又平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)樗睦忮F的體積為，即，
又，，所以，所以，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以．
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
令，則，，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
令，解得，，所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，夾角范圍是，，
所以，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間角的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．
18（14分）．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，．
（1）求角，并計(jì)算的值；
（2）若，且是銳角三角形，求的最大值．
【分析】（1）由已知結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求，進(jìn)而可求；
（2）由已知銳角三角形可先求出的范圍，然后結(jié)合正弦定理可表示，然后結(jié)合和差角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）因?yàn)榍覟槿切蝺?nèi)角，
所以或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
（2）由題意結(jié)合（1）得，
所以，解得，，
因?yàn)椋?br>由正弦定理得，，
所以，，
所以
，，，
則，，，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式，和差角公式及輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．
19（14分）．某微信群群主為了了解微信隨機(jī)紅包的金額拆分機(jī)制，統(tǒng)計(jì)了本群最近一周內(nèi)隨機(jī)紅包（假設(shè)每個(gè)紅包的總金額均相等）的金額數(shù)據(jù)（單位：元），繪制了如圖頻率分布直方圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)紅包金額的平均值與眾數(shù)；
（2）群主預(yù)告今天晚上7點(diǎn)將有3個(gè)隨機(jī)紅包，每個(gè)紅包的總金額均相等且每個(gè)人都能搶到紅包．小明是該群的一位成員，以頻率作為概率，求小明至少兩次搶到10元以上金額的紅包的概率．
（3）在春節(jié)期間，群主為了活躍氣氛，在群內(nèi)發(fā)起搶紅包游戲．規(guī)定：每輪“手氣最佳”者發(fā)下一輪紅包，每個(gè)紅包發(fā)出后，所有人都參與搶紅包．第一個(gè)紅包由群主發(fā)．根據(jù)以往搶紅包經(jīng)驗(yàn)，群主自己發(fā)紅包時(shí)，搶到“手氣最佳”的概率為；其他成員發(fā)紅包時(shí)，群主搶到“手氣最佳”的概率為．設(shè)前輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為，第輪由群主發(fā)紅包的概率為．求及的期望．
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的信息和平均值計(jì)算的規(guī)定列式計(jì)算即得，眾數(shù)可根據(jù)定義從圖中直接讀??；
（2）先由圖中信息求得每個(gè)紅包搶到10元以上金額的概率，因3次搶紅包相互獨(dú)立，且每次搶只有搶到10元以上或以下兩種情況，故滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停\(yùn)用其概率公式計(jì)算即得；
（3）由題意分析得到與的遞推式，再根據(jù)其特征構(gòu)造等比數(shù)列，求得的表達(dá)式；再設(shè)為第輪發(fā)紅包時(shí)群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，分析知服從兩點(diǎn)分布，由此求得，因前輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為，則，于是求即是求數(shù)列的前項(xiàng)和，計(jì)算即得．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得，紅包金額的平均值為：，
眾數(shù)為最高矩形的中點(diǎn)坐標(biāo)，即為2.5；
（2）由題可知，每個(gè)紅包搶到10元以上金額的概率為，且3次紅包相互獨(dú)立，
由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，至少兩次搶到10元以上金額的概率為；
（3）由題意，，，
由，
又，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
設(shè)為第輪發(fā)紅包時(shí)群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，
故服從兩點(diǎn)分布：，，，2，，
所以，
由已知，
則
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差、古典概率的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
20（18分）．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的上方），與軸交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為橢圓上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)，求△的周長(zhǎng)；
（2）當(dāng)且直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，求證：為定值，并求出該值；
（3）若橢圓的離心率為，當(dāng)為何值時(shí)，恒為定值；并求此時(shí)面積的最大值．
【分析】（1）△的周長(zhǎng)為，計(jì)算得到答案．
（2）確定橢圓和直線方程，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)向量的關(guān)系得到，代入化簡(jiǎn)得到答案．
（3）根據(jù)離心率得到橢圓方程，聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)和為定值得到，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)面積公式結(jié)合均值不等式計(jì)算得到最值．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，橢圓，△的周長(zhǎng)為；
（2）證明：當(dāng)且直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，橢圓，直線斜率存在，，
聯(lián)立，消去得：，△恒成立，
設(shè)，，，，則，
由，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，
考慮向量橫坐標(biāo)得到，，
從而
，所以為定值3；
（3），解得，故橢圓方程，聯(lián)立，
消元得，△，即，
設(shè)，，，，則，，
則
，
當(dāng)為定值時(shí)，即與無(wú)關(guān)，故，得，
此時(shí)，
又點(diǎn)到直線的距離，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)△成立，所以面積的最大值為1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓方程，定值問(wèn)題，面積的最值的問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，此方法是考試的常考方法，需要熟練掌握．
21（18分）．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為．設(shè)，曲線在點(diǎn)，處的切線交軸于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線交軸于點(diǎn)，．依此類推，稱得到的數(shù)列為函數(shù)關(guān)于，的“數(shù)列”．
（1）若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，求的值；
（2）若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，記，證明：是等比數(shù)列，并求出其公比；
（3）若，則對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，是否存在，使得函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列為周期數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）求出曲線在點(diǎn)，處的切線方程，令求得的值即可；
（2）寫出在處的切線方程，令求得，得出的首項(xiàng)和公比，即可證明是等比數(shù)列．
（3）根據(jù)題意，寫出以為切點(diǎn)的切線方程，令得到，討論的取值情況，根據(jù)函數(shù)的大致圖像判斷數(shù)列的單調(diào)，求解即可．
【解答】解：（1）曲線在點(diǎn)，處的切線斜率為，又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
令，解得，所以；
（2）證明：在處的切線方程為，
令，可得，即，
所以，即，
又，所以，
因此是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（3）由題意知，，
以為切點(diǎn)的切線方程為，
令，得到，
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的大致圖像如圖所示：
因?yàn)榈葍r(jià)于，
因此，當(dāng)時(shí)，數(shù)列嚴(yán)格增；同理，當(dāng)時(shí)，數(shù)列嚴(yán)格減．
所以不存在使得是周期數(shù)列．
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的大致圖像如圖所示：
令，可得，即，
依此類推，顯然可得，，．
所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為周期數(shù)列，且周期．
下證唯一性：
當(dāng)時(shí)，，
因此，數(shù)列嚴(yán)格減；
當(dāng)時(shí)，，
所以，
因此數(shù)列嚴(yán)格增．
綜上，當(dāng)時(shí)，不存在，使得為周期數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列” 為周期數(shù)列，且周期．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是難題．

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