第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1． 【答案】A
【分析】求,判斷選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)題意可得，，
故選：A
2． 【答案】D
【分析】由 ，化簡得到求解.
【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù) 滿足 ，
所以，
所以的虛部為-3，
故選：D
3． 【答案】C
【分析】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程，在根據(jù)離心率公式，即可求出。
【詳解】由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，
設(shè)雙曲線的方程為，
因?yàn)殡p曲線C經(jīng)過點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C
4． 【答案】D
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可.
【詳解】對于A：定義域?yàn)椋瑸榉瞧娣桥己瘮?shù)，故A錯(cuò)誤；
對于B：定義域?yàn)?，為奇函?shù)，但是函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；
對于C：為奇函數(shù)，定義域?yàn)?，但是函?shù)在上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；
對于D：令定義域?yàn)椋遥?br>所以為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：D
5．【答案】B
【分析】利用特殊值法，和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與邏輯關(guān)系進(jìn)行判斷選項(xiàng).
【詳解】若,由，取，但是，
而，則,又，則中至少有一個(gè)大于1，
若都小于等于1，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，乘積也小于等于1，與乘積大于1矛盾，
則,故，
所以是的必要而不充分條件.
故選：B
6．【答案】A
【分析】先利用余弦定理求出，再利用面積公式求解.
【詳解】，
解得，則，
所以.
故選：A.
7． 【答案】B
【分析】將兩邊平方，即可得到，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即，
所以，即，
所以.
故選：B
8．【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再求出.
【詳解】等差數(shù)列中，由，得，解得，而，
所以.
故選：B
9．【答案】D
【分析】
由直線方程得到其過定點(diǎn)，而可看成單位圓上的一點(diǎn)，故可將求點(diǎn)到直線之距轉(zhuǎn)化為求圓心到直線之距，要使距離最大，需使直線，此時(shí)最大距離即圓心到點(diǎn)的距離再加上半徑即得.
【詳解】由直線 整理得，可知直線經(jīng)過定點(diǎn)，
而由知，點(diǎn)可看成圓上的動(dòng)點(diǎn)，
于是求點(diǎn) 到直線 的距離最值可通過求圓心到直線的距離得到.

如圖知當(dāng)直線與圓相交時(shí)， 到直線 的距離最小值為，
要使點(diǎn)到直線距離最大，需使圓心到直線距離最大，
又因直線過定點(diǎn)，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)距離最大，（若直線與不垂直，則過點(diǎn)作直線的垂線段長必定比短）
此時(shí)，故點(diǎn)到直線距離的最大值為，即的最大值與最小值之差為.
故選：D.
10．【答案】C
【分析】由已知可得面，可得上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，即可判斷（1）；點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，即可判斷（2）；根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，再由線面垂直的性質(zhì)即可判斷（3）；由線面垂直的判定定理可證平面，即可判斷（4）
【詳解】
對于（1），因?yàn)?，面，面，所以面?br>所以上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，又，所以三棱錐的體積不變，故正確；
對于（2），點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，故錯(cuò)誤；
對于（3），設(shè)，則，又面，所以，又，所以平面,
又平面，所以，所以點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與直線所成的角的大小不變，故正確；
對于（4），因?yàn)闉檎襟w，則平面，且平面，則，又，且，平面，
所以平面，且平面，所以，
又平面，且平面，所以，又，
且，平面，所以平面，
且平面，所以，
又，平面，所以平面，
且平面，所以，故正確；
故選：C
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11．【答案】
【分析】根據(jù)題意，由題意可得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，
令可得，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：
12．【答案】4
【分析】由拋物線的性質(zhì)得到到的準(zhǔn)線的距離，然后解出的橫坐標(biāo)，最后求出到直線的距離即可.
【詳解】由點(diǎn)在上，的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，知到直線的距離等于.
而，故到直線的距離為.
設(shè)的坐標(biāo)為，由到直線的距離為，知，所以或.而，故.
所以到直線的距離為.
故答案為：.
13． 【答案】 1
【分析】利用二倍角公式和輔助角公式，求解
【詳解】，
由最大值為，,則,
所以，
所以，
故答案為：；
14．【答案】 4 3或4
【分析】由已知利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求，又，可得，解得或，即可求得，分類討論可求的值，即可求解數(shù)列的各項(xiàng)，即可求解．
【詳解】等比數(shù)列中，公比；由，所以，又，
所以解得或；
若時(shí)，可得，則，
且的值為，可知數(shù)列單調(diào)遞增，且各項(xiàng)均大于，
所以不會(huì)存在使得的乘積最大(舍去)；
若時(shí)，可得，則，
且的值為，…，
可知數(shù)列單調(diào)遞減，從第項(xiàng)起各項(xiàng)小于且為正數(shù)，
前項(xiàng)均為正數(shù)且大于等于，
所以存在或，使得的乘積最大，
綜上，可得的一個(gè)可能值是3或.
故答案為：4；3或4
15．【答案】②③
【分析】分析函數(shù)在上的取值范圍即可判斷①，對零點(diǎn)在、討論，即可判斷②，③，使得函數(shù)在各段單調(diào)性，且在斷點(diǎn)左側(cè)的函數(shù)值不大于斷點(diǎn)右側(cè)函數(shù)值，即可判斷④.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)的對稱軸為，
對于①：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，所以，即，故①錯(cuò)誤；
對于②：當(dāng)零點(diǎn)位于時(shí)，則，解得，
此時(shí)，
若，即時(shí)在上單調(diào)遞增，
此時(shí)只需，解得或，所以，
若，即時(shí)，此時(shí)，則在上至少還有個(gè)零點(diǎn)，故不符合題意，
所以；
當(dāng)零點(diǎn)位于，此時(shí)在上無零點(diǎn)，則，解得，
此時(shí)且，
要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則只需，解得，
又，顯然無解，所以此種情況不符合題意；
綜上可得當(dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，故②正確；
對于③：使得有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必然是在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，
則，解得，
所以當(dāng)時(shí)有三個(gè)不同零點(diǎn)，故③正確；
對于④：若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則，解得，
所以當(dāng)時(shí)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故④錯(cuò)誤.
故答案為：②③
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第②問關(guān)鍵是分零點(diǎn)所在區(qū)間討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，求出參數(shù)的取值范圍，第③問關(guān)鍵是分析得到在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).
三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
16．（14分）【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）．
【分析】（1）由等腰三角形和直棱柱的性質(zhì)，得出和，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證出平面；
（2）連接，交于點(diǎn)，連接，結(jié)合三角形的中位線得出，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證出平面；
（3）連，交于點(diǎn)，分別取、中點(diǎn)、，連接、、，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證出平面和平面，從而得出就是二面角的平面角，最后利用幾何法求出二面角的余弦值．
【詳解】解：（1）證明：，是中點(diǎn)，，
又在直三棱柱中，平面，平面，
，
又，平面，平面，
平面．
（2）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，
、分別是、的中點(diǎn)，
是的中位線，，
平面，平面，
平面
（3）解：連，交于點(diǎn)，分別取、中點(diǎn)、，連接、、，
四邊形是正方形且、分別是、的中點(diǎn)，故，
在中，，，
，，
又，分別是，中點(diǎn)且，
，
又在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
，
，平面，平面，
平面，
平面，平面，
，，
又，，平面，平面，
平面，
平面，，
又平面平面
就是二面角的平面角，
設(shè)，則在中，，
，
故，
故，
即二面角的余弦值為.
17．（13分）【答案】(1)；(2)答案見解析.
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角公式計(jì)算即得.
（2）選擇條件①，利用余弦定理及三角形面積公式計(jì)算求解；選擇條件②，利用正弦定理計(jì)算判斷三角形不唯一；選擇條件③，利用正弦定理計(jì)算判斷，再求出三角形面積.
【詳解】（1）由得：，而，
則，為銳角，又，解得，
所以且為銳角.
（2）若選條件①，由，為銳角，得，
由余弦定理得，又，則，
解得唯一確定，所以.
若選條件②，由正弦定理得，則，
由，得，因此角有兩解，分別對應(yīng)兩個(gè)三角形，不符合題意.
若選條件③，由，為銳角，得，
又，得，，則，
因此唯一確定，
由正弦定理得，則，所以.
18．（13分）【答案】(1)，；(2)；(3)
【分析】（1）由題意得，，從而求解，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)與學(xué)生總?cè)藬?shù)求解；（2）先求解樣本符合題意的概率，然后由樣本估計(jì)總體，得全市學(xué)生符合題意的概率，從而利用對立事件的概率公式求解；（3）表示出參賽學(xué)生理論競賽的平均成績與方差，從而得關(guān)于二次函數(shù)，由的取值范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)從而求解得答案.
【詳解】（1）由題意，理論或操作至少一項(xiàng)成績?yōu)?00分的學(xué)生
共有人，則，
得，又，
得
（2）由（1）知，從20位理論成績?yōu)?00分的學(xué)生中抽取1人，
操作成績也為300分的概率為，所以從全市理論成績?yōu)?00分的學(xué)生中，
隨機(jī)抽取2人，至少有一個(gè)人操作的成績?yōu)?00分的概率為
（3）由題意，，
設(shè)理論競賽的分?jǐn)?shù)為，則取值為，
對應(yīng)的人數(shù)分別為，所以參賽學(xué)生理論競賽的平均成績?yōu)?br>，
所以參賽學(xué)生理論成績的方差為
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，最小.
19．（15分）【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合斜率的計(jì)算公式，可整理橢圓方程，建立方程，可得答案；
（2）由題意，利用三角形中線性質(zhì)，分割三角形，整理三角形面積表達(dá)式，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，求得面積表達(dá)式中的變量，利用基本不等式，可得答案.
【詳解】（1）由已知得，且，即，
因此有，得．
因此，得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）顯然直線經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，設(shè)，，
則由橢圓的對稱性得，
聯(lián)立，消去x得．
恒成立，所以，．
．
令，顯然有，于是，當(dāng)，即時(shí)取等號．
因此的面積S的最大值為．
20．（15分） 【答案】(1)； (2).
【分析】（1）對，進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線，從而解出的值及該切線的方程；
（2）由條件知，對進(jìn)行求導(dǎo)，分兩種情況進(jìn)行討論：①；②，從而求其最小值的解析式；
【詳解】（1）解：，
由已知得，解得，
兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線的斜率為，
切線的方程為，即切線的方程為.
（2）解：由條件知
①當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞增，
是在上的唯一極值點(diǎn)，從而也是的最小值點(diǎn)，
最小值點(diǎn)，.
②當(dāng)時(shí)，在上遞增，無最小值，故的最小值的解析式為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求最值、分類討論思想.屬于難題.分類討論思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn). 充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.
21．（15分）【答案】（1）（2）（3）滿足條件數(shù)列的通項(xiàng)公式為：或，詳見解析
【分析】（1）直接利用信息求出數(shù)列的項(xiàng)．
（2）利用恒成立問題和函數(shù)的單調(diào)性，求出λ的取值范圍．
（3）直接利用分類討論思想求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【詳解】（1）數(shù)列為“Γ數(shù)列”中，，
所以：當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
又，即：，
，．
（2）因?yàn)閿?shù)列是“Γ數(shù)列”，且，所以：，
則：數(shù)列前4n項(xiàng)中的項(xiàng)b4n-3是以2為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．
易知{b4n}的項(xiàng)后按原來的順序構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．
所以：
，
．
由于不等式對恒成立，
所以：，
設(shè)，
則：，
所以：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以：
所以的最大值為．
即．
（3）為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：，
當(dāng)時(shí)，，
即：，
①，則，故：．
②當(dāng)時(shí)，則：，
所以為常數(shù)，則，k為偶數(shù)時(shí)，
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足條件數(shù)列的通項(xiàng)公式為：或．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
D
C
D
B
A
B
B
D
C

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