一、單項(xiàng)選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．設(shè)集合2，，，，則（ ）
A．B．2，
C．2，4，D．
【答案】B
【解析】2，，，2，4，，
又，2，，故選B．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由，則，即，即，解得得，
則不能推出，能推出，則“”是“”的必要不充分條件，故選B.
3．函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致形狀是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的定義域?yàn)镽.
因?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù)，故排除A、C.
當(dāng)時，有，所以，，所以，故排除B，故選D
4．2023年考研成績公布不久，對某校“軟件工程”專業(yè)參考的200名考生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可以得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表值，則下列說法中不正確的是（ ）
A．這200名學(xué)生成績的眾數(shù)為370分
B．這200名學(xué)生成績的平均分為377分
C．這200名學(xué)生成績的70%分位數(shù)為386分
D．這200名學(xué)生成績在中的學(xué)生有30人
【答案】C
【解析】顯然眾數(shù)是370，故A正確；
平均分為，故B正確；
設(shè)70%分位數(shù)為，則，得，故C錯誤；
，故D正確.
故選：C
5．已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,
故，故選B.
6．若，求（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以，所?故選A.
7．若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為1，當(dāng)該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為（ ）
A．2：1B．4：1C．8：1D．8：3
【答案】A
【解析】設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，
則當(dāng)球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切時，軸截面如圖，
由可得：，即，
圓錐的體積．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．
該圓錐體積的最小值為．內(nèi)切球體積為．
該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比．故選：A．
8．雙曲線的右焦點(diǎn)為，過作與雙曲線的兩條漸近線平行的直線且與漸近線分別交于、兩點(diǎn)，若四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）存在外接圓，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意得，不妨設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
由題意可知，，，則四邊形為平行四邊形，則，
由于平行四邊形存在外接圓，則，則，
所以，，則，
因此，該雙曲線的離心率為.
故選：A.
9．已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時，
；
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且
當(dāng)時，
；
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)有四個不同的零點(diǎn)，即兩函數(shù)與圖象有四個不同的交點(diǎn)
如下圖所示
由圖可知，
是方程的兩根，即的兩根
所以
是方程的兩根，即的兩個
所以
故選：D
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．
10．已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則 .
【答案】
【解析】由已知條件可得.
11．的展開式中的系數(shù)為 .
【答案】
【解析】由通項(xiàng)公式可得，即的系數(shù)為.
12．由直線上的任意一個點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為 .
【答案】
【解析】圓心坐標(biāo)，半徑
要使切線長最小，則只需要點(diǎn)到圓心的距離最小，
此時最小值為圓心到直線的距離，
此時，
13．設(shè)，，若，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】由題意，因?yàn)椋?，滿足，
所以，，且，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取得最小值.
14．甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地解一道題，甲做對的概率是，三人都做對的概率是，三人都做錯的概率是，則乙、丙兩人各自做對這道題的概率分別為 ，甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的概率為 ．
【答案】 ，或，；
【解析】設(shè)甲、乙、丙做對這道題分別為事件A、B、C，，
由題意，，所以，
解得或；
設(shè)甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的事件為D，
，所以甲、乙、丙三人中恰有一人做對這道題的概率為.
15．青花瓷，常簡稱青花，代表了我國古代勞動人民智慧的結(jié)晶，是中國瓷器的主流品種之一.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動，動點(diǎn)在圓上運(yùn)動且關(guān)于圓心對稱.（i）請用表示 ；（ii）請寫出的取值范圍 .
【答案】
【解析】（i）在圓上運(yùn)動且關(guān)于圓心對稱，為中點(diǎn)，；
（ii）；
當(dāng)為正六邊形頂點(diǎn)時，取得最大值；當(dāng)與正六邊形的邊垂直時，取得最小值；
六邊形為正六邊形，為正三角形，；
作，則為中點(diǎn)，；
，即的取值范圍為.
三、解答題：本題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分14分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求a的值：
(2)求證：；
(3)的值
【解】（1）由及余弦定理，得，
因?yàn)?，所?
（2）由及，得，
由正弦定理得，
因?yàn)?，所以?
若，則，與題設(shè)矛盾，因此.
（3）由（Ⅰ）得，因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以
.
另解：因?yàn)椋?br>所以
.
17．（本小題滿分15分）已知三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)且滿足，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的大小；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
【解】（1）因?yàn)槠矫?，?br>如圖以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
因?yàn)椋?br>所以.
（2）設(shè)平面的法向量，，
則，即，取，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，又，
所以，所以直線與平面所成角的大小為.
（3）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?br>所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.
18．（本小題滿分15分）記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是等比數(shù)列，且滿足，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，
（?。┣蟮那绊?xiàng)的和；
（ⅱ）求.
【解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由題知：，解得，
，，
所以，；
（2）（?。?，
，，
則
；
（ⅱ），，
則，
則，
故
，
故，又，
故.
19．（本小題滿分15分）已知橢圓過點(diǎn)，焦距是短半軸長的倍，
(1)求橢圓的方程；
(2)點(diǎn)是橢圓上的三個不同點(diǎn)，線段交軸于點(diǎn)異于坐標(biāo)原點(diǎn)，且總有的面積與的面積相等，直線分別交軸于點(diǎn)兩點(diǎn)，求的值.
【解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意知，解得，
橢圓的方程；
（2）因?yàn)榈拿娣e與的面積總相等，故為的中點(diǎn)，
結(jié)合對稱性可知兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，
由題意直線斜率存在且不為0，并且縱截距不為0，
設(shè)直線，故，
，化簡得，
由得，，
設(shè)，則，
則，
直線，令得，
，
所以.
20．（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)函數(shù)
（i）當(dāng)時，取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；
（ii）若存在兩個極值點(diǎn)，證明：.
【解】（1），
則，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）（i），
，
∵時，取得極值，∴，解得，
∴，
令，得或；令，得，
∴的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；
（ii），
∵存在兩個極值點(diǎn)，
∴方程，即在上有兩個不等實(shí)根.
∵，解得，
則
∴所證不等式等價于，
即，
不妨設(shè)，即證，
令，，
則，
∴在上遞增，∴，
∴成立，
∴.

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