絕密★啟用前 2023年高考押題預(yù)測卷01數(shù)學(xué)（天津卷）（考試時(shí)間：120分鐘  試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（共45分）一、選擇題：本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)只有一個(gè)符合題目要求．1．設(shè)全集，集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以．故選：C.2．設(shè)，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，故充分性成立，由可得或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【詳解】定義域?yàn)?/span>，且，即為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B、D；當(dāng)時(shí)，，所以，故排除C；故選：A4．某高中隨機(jī)選取100名學(xué)生一次數(shù)學(xué)統(tǒng)測測試成績，分為6組：，繪制了頻率分布直方圖如圖所示，則成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有（    ）A．35名 B．50名 C．60名 D．65名【答案】D【詳解】∵，∴，∴（名），故選：D.5．若，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，，，而，即，所以，，的大小關(guān)系為.故選：B6．設(shè)，則 =（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：即，所以即，所以，故選：D7．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，焦距為4，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的左、右支分別交于，兩點(diǎn)，，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?/span>，解得設(shè)，，，根據(jù)題意可知，設(shè)雙曲線方程為，設(shè)，若P點(diǎn)在雙曲線的左支上，則雙曲線的焦半徑為：，，由題意可得，，所以，根據(jù)變形得，所以 故，同理可得，同理可得，若P點(diǎn)在雙曲線的右支上，則雙曲線的焦半徑為：，，根據(jù)雙曲線焦半徑公式可得：，；，，，解得.故選：C8．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．勒洛四面體最大的截面是正三角形B．若、是勒洛四面體表面上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為C．勒洛四面體的體積是D．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是【答案】D【詳解】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體表面的截面，如圖1所示，故A不正確；根據(jù)勒洛四面體的性質(zhì)，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，所以勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即為內(nèi)接正四面體的邊長，所以勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為，故B錯(cuò)誤；如圖2，由對稱性可知勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心，連接并延長交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)，則就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑. 如圖3, 在正四面體中，為的中心，是正四面體外接球的球心，連接、、，由正四面體的性質(zhì)可知在上.因?yàn)?/span>, 所以，則.因?yàn)?/span>，即，解得，則正四面體外接球的體積是，而勒洛四面體的體積小于其外接球的體積，C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以 , 所以，勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是，則 D正確.故選：D.9．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列四個(gè)結(jié)論：①是的一個(gè)解析式；②是最小正周期為的奇函數(shù)；③的單調(diào)遞減區(qū)間為，；④直線是圖象的一條對稱軸.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，故①錯(cuò)誤；函數(shù)的最小正周期，但是，故為非奇非偶函數(shù)，即②錯(cuò)誤；令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故③正確；因?yàn)?/span>，所以直線是圖象的一條對稱軸，故④正確；故選：B 第Ⅱ卷（共105分）二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．）10．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則=___________.【答案】【詳解】為純虛數(shù)，則且，∴，，故答案為：．11．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：．12．圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程為______.【答案】【詳解】記圓心為點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)，因?yàn)閳A心在直線上，故可設(shè)圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)，所以直線與直線垂直，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，所以，所以圓心為，圓的半徑為，所以圓的方程為.故答案為：.13．假設(shè)某市場供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率為，乙廠產(chǎn)品的合格率為，在該市場中購買甲廠的兩個(gè)燈泡，則恰有一個(gè)是合格品的概率為___________；若在該市場中隨機(jī)購買一個(gè)燈泡，則這個(gè)燈泡是合格品的概率為___________.【答案】     /     /【分析】根據(jù)全概率公式和條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】在該市場中購買甲廠的兩個(gè)燈泡，恰有一個(gè)是合格品的概率為，若在該市場中隨機(jī)購買一個(gè)燈泡，則這個(gè)燈泡是合格品的概率為.故答案為：；.14．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形ABCDEFGH中，若，則的值為________ ；若正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】          【詳解】，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，正八邊形內(nèi)角和為，則，所以，,,因?yàn)?/span>，則，所以，解得，所以；設(shè)，則，，則，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取最小值.故答案為：，.15．已知函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】由已知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)， ， ，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，，當(dāng)，，作出函數(shù)在時(shí)的函數(shù)圖像，如圖所示，方程可化為，因?yàn)榉匠?/span>在區(qū)間上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有且僅有三個(gè)交點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，所以在區(qū)間上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有且僅有六個(gè)交點(diǎn)，所以在區(qū)間上恰有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有且僅有五個(gè)交點(diǎn)，所以在區(qū)間上恰有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，所以在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，所以在區(qū)間上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，所以在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象在上沒有交點(diǎn)，所以在區(qū)間上沒有實(shí)數(shù)解，不符合題意；綜上所述，若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：三、解答題：（本大題5個(gè)題，共75分）16．中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角的大?。?/span>(2)若，求的值.【詳解】（1）由余弦定理，則，又，所以，即，由正弦定理可得，因?yàn)?/span>，所以，則，又，所以.（2）因?yàn)?/span>，，所以，所以，，所以.17．如圖，四棱錐中，平面平面是中點(diǎn)，是上一點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，（i）證明：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；(2)平面與平面夾角的余弦值為，求的值.【詳解】（1）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)作面的垂線為軸，則由題意可得，由，及即，可得.（i）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則解得令，得是平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?/span>，所以.又平面，所以平面.（ii）由（i）可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）設(shè)，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則是平面的一個(gè)法向量，則，解得或（舍去）.所以.18．在公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列中，為的前項(xiàng)和.已知，且是與的等比中項(xiàng).(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；(3)求.【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，由題意，即，∵，解得，∴，∴.∵，∴，∴∴.（2）∴①∴②①②得∴.（3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，∴19．已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，面積的最大值為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，且．①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．②設(shè)和的面積分別為、，求的最大值．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：①設(shè)點(diǎn)、.若直線的斜率為零，則點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，則，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，由于直線不過橢圓的左、右焦點(diǎn)，則，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，則，所以，，解得，即直線的方程為，故直線過定點(diǎn).②由韋達(dá)定理可得，，所以，，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最大值為.20．已知函數(shù)．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，且．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，， ，切線的斜率，又，所以切點(diǎn)為，所以，切線方程為（2）①.函數(shù)，，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，則在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不合題意，舍去；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則在上恒成立，所以在上遞增，即在上遞增，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，符合題意，綜上，的取值范圍是．②.由①知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以時(shí)，，則，又因?yàn)?/span>，所以在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)．因?yàn)?/span>，由①知，所以，則，設(shè)，，則，，，所以在為單調(diào)遞增，又，所以，又時(shí)，，所以．所以．由前面討論知，，在單調(diào)遞增，所以．
 

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