2023年高考押題預(yù)測(cè)卷02【廣東卷】數(shù)學(xué)·全解全析注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．已知全集，集合，，則下圖陰影部分所對(duì)應(yīng)的集合為（    ）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】求得兩集合的并集，根據(jù)陰影部分表示的含義即可求得答案.【詳解】由題意知，則,由圖可知陰影部分所對(duì)應(yīng)的集合為.故選：A2．復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A． B． C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)計(jì)算公式，列方程即可求解，，進(jìn)而可求.【詳解】設(shè)（），由題意得，解得，，所以故選：C 3．已知向量，，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求得m，再利用向量的模公式求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>，，所以，又因?yàn)?/span>，所以，解得，所以，故選：C4．某市質(zhì)量檢測(cè)部門從轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩個(gè)地區(qū)的食品生產(chǎn)企業(yè)中分別隨機(jī)抽取9家企業(yè)，根據(jù)食品安全管理考核指標(biāo)對(duì)抽到的企業(yè)進(jìn)行考核，并將各企業(yè)考核得分整理成如下的莖葉圖．由莖葉圖所給信息，可判斷以下結(jié)論中正確是（    ）A．若，則甲地區(qū)考核得分的極差大于乙地區(qū)考核得分的極差B．若，則甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)C．若，則甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差D．若，則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法判斷ABD；由波動(dòng)程度判斷C.【詳解】對(duì)于A：甲地區(qū)考核得分的極差為，乙地區(qū)考核得分的極差為，即甲地區(qū)考核得分的極差小于乙地區(qū)考核得分的極差，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)為乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)為，即甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：甲地區(qū)考核得分從小到大排列為：75，78，81，84，85，88，92，93，94乙地區(qū)考核得分從小到大排列為：74，77，80，83，84，87，91，95，99由以上數(shù)據(jù)可知，乙地區(qū)考核得分的波動(dòng)程度比甲地區(qū)考核得分的波動(dòng)程度大，即甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差，故C正確；對(duì)于D：由莖葉圖可知，甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)為，乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)為，則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C5．設(shè)，則 =（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式和輔助角公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得，再利用二倍角的余弦公式即可得到答案【詳解】解：即，所以即，所以，故選：D6．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，則（    ）A．16 B．32 C．81 D．243【答案】A【分析】根據(jù)，作差得到等比數(shù)列的公比為，再求出，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，∴，∴，∴，故等比數(shù)列的公比為．在中，令，可得，∴，則．故選：A．7．泊松分布是一種描述隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布，在經(jīng)濟(jì)生活、事故預(yù)測(cè)、生物學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，泊松分布的概率分布列為，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值．當(dāng)n很大且p很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中．一般地，當(dāng)而時(shí)，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似．若隨機(jī)變量，的近似值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得，代入公式用對(duì)立事件的概率和為1計(jì)算即可.【詳解】由題， ，，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似，此時(shí)，所以，所以，，則.故選：B8．已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)P為此三棱錐各頂點(diǎn)所在球面上的一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面SAB的距離的最大值為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】畫圖分析，構(gòu)造三角形求出相應(yīng)的量，利用正弦定理和余弦定理求相應(yīng)的量，分析點(diǎn)P到平面SAB的距離的最大值即可.【詳解】如圖1，設(shè)正三棱錐的底面外接圓的圓心為，外接球的球心為，為的中點(diǎn)，的外接圓的圓心為，所以在正三棱錐中有：平面，平面，因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以為的重心，且邊長(zhǎng)為3，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，所以在中，，設(shè)，所以在中，，所以，在中，，所以，由正弦定理得：，又平面，平面，所以，所以在中，，由圖2：當(dāng)共線時(shí)，點(diǎn)P到平面SAB的距離有最大值為：，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知a，b都是正實(shí)數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】AB選項(xiàng)，利用基本不等式求出最小值，得到A正確，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，作差法比較出大小關(guān)系；D選項(xiàng)，先變形后利用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>a，b都是正實(shí)數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>a，b都是正實(shí)數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故恒成立，C正確；D選項(xiàng)，a是正實(shí)數(shù)，故，其中，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D錯(cuò)誤.故選：AC10．如圖，已知四棱錐的外接球的直徑為4，四邊形ABCD為正方形，平面平面APB，G為棱PC的中點(diǎn)，，則（    ）A．平面PCDB．C．AC與平面PBC所成角的正弦值為D．四棱錐的體積為【答案】ABC【分析】A.由，利用線面平行的判定定理判斷；B.易得平面PBC，再利用線面垂直的性質(zhì)定理判斷；C.易知為AC與平面PBC所成的角求解判斷；D.根據(jù)平面平面APB，過P作，由面面垂直的性質(zhì)定理，得到平面ABCD，再由求解判斷.【詳解】解：  因?yàn)?/span>，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，故A正確；平面平面APB，且，所以，又，從而平面PBC，所以，故B正確；易知，所以四棱錐的外接球的直徑為AC，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>平面PBC，所以為AC與平面PBC所成的角，所以，故C正確；如圖所示：因?yàn)槠矫?/span>平面APB，過P作，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知平面ABCD，因?yàn)?/span>，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：ABC11．函數(shù)與的定義域?yàn)?/span>，且.若的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.則（    ）A．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 B．C．的一個(gè)周期為4 D．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】AC【分析】根據(jù)條件可得，即可判斷A，然后可得，即可判斷B，由條件可得，即可判斷C，舉特例可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：由，得，又，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：由的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得，由選項(xiàng)結(jié)論知，所以，從而，故，即的一個(gè)周期為4，因?yàn)?/span>，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由，及，則，得，函數(shù)的周期為C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：取，又，與的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱矛盾，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：AC.12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說法正確的是（    ）A．雙曲線的漸近線方程為 B．C．的面積為 D．【答案】AB【分析】先根據(jù)拋物線方程得出的坐標(biāo)，即的值，進(jìn)而求出，得出雙曲線的方程.即可得出A項(xiàng)；聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得的值，判斷B項(xiàng)、得出的面積，判斷C項(xiàng)、求得的值，根據(jù)余弦定理，得出的值，判斷D項(xiàng).【詳解】由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線右焦點(diǎn)，即.又，所以，所以，雙曲線的方程為.對(duì)于A項(xiàng)，雙曲線的的漸近線方程為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，整理可得，，解得或（舍去負(fù)值），所以，代入可得，.設(shè)，又，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，易知，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，由余弦定理可得，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化成的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)，進(jìn)而相加可得答案．【詳解】先求的展開式中常數(shù)項(xiàng)以及含的項(xiàng)； 由得，由得；即的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，含的項(xiàng)為 的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 故答案為：14．已知曲線與在處的切線互相垂直，則__________【答案】【分析】求導(dǎo)得切線斜率，根據(jù)切線垂直的斜率關(guān)系建立方程即可得解．【詳解】由，得，則曲線在處的切線斜率為，由，得，則曲線在處的切線斜率為，則根據(jù)題意有 ，即，得．故答案為：.15．已知函數(shù)，若存在且，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)已知可得，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，從而可得的取值范圍．【詳解】由，得到，因?yàn)?/span>，所以，，于是，所以，即，所以，于是，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以，由題意，存在，使得成立，所以．故答案為：16．橢圓是特別重要的一類圓錐曲線，是平面解析幾何的核心，它集中地體現(xiàn)了解析幾何的基本思想.而黃金橢圓是一條優(yōu)美曲線，生活中許多橢圓形的物品，都是黃金橢圓，它完美絕倫，深受人們的喜愛.黃金橢圓具有以下性質(zhì)：①以長(zhǎng)軸與短軸的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個(gè)焦點(diǎn)，②長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距依次組成等比數(shù)列.根據(jù)以上信息，黃金橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】由①得原點(diǎn)到直線AB的距離，求得，由②得，求得，從而，兩邊同除以得，又，即可解得．【詳解】設(shè)左頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，則直線AB的方程為，以長(zhǎng)軸與短軸的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形內(nèi)切圓經(jīng)過兩個(gè)焦點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線AB的距離，即，即，即，所以，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距依次組成等比數(shù)列，則，所以，綜上，，即，兩邊同除以得，又，解得．故答案為：．四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知a?b?c分別為三內(nèi)角A?B?C所對(duì)的邊，且.(1)求A；(2)若，且，求c的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角以及和差的正弦公式化簡(jiǎn)即可求解；（2）結(jié)合余弦定理與條件即可求解.【詳解】（1）依題意，因?yàn)?/span>，由正弦定理得：，由，所以，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以.（2）由（1）以及余弦定理變形式得：即，由，解得或（舍去），所以，.18．記為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件列出等比數(shù)列基本量的方程組，即可求解；（2）由（1）可知，利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，則①，因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，則，即②，因?yàn)?/span>，所以由②式可得，解得或（舍），代入①式可得，（2）由得，則③，所以④③④得19．如圖，在直四棱柱中，，，為等腰三角形，且．(1)證明：；(2)設(shè)側(cè)棱，點(diǎn)在上，當(dāng)的面積最小時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明面，利用線面垂直即可得出線線垂直；（2）先得出滿足條件的E位置，利用三棱錐的體積計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：連接AC，并與BD相交于，如圖所示，由題可知，為等腰直角三角形，且為等腰三角形，所以點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，且在直四棱柱中，有平面ABCD且平面ABCD，所以，又，、平面所以平面，又平面，所以，在四邊形中，有，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?/span>，所以（2）由（1）知平面，且平面，所以，即的面積為，要使的面積最小，則PE為最小，即，根據(jù)及邊長(zhǎng)可知點(diǎn)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，即點(diǎn)到底面ABC的距離為在等腰中，由，，所以，在等腰中，因?yàn)?/span>，所以由勾股定理可得，所以因此的面積為所以三棱錐的體積為綜上，三棱錐的體積為20．某數(shù)學(xué)興趣小組為研究本校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)的關(guān)系，采取有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從學(xué)校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下： 語文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計(jì)90110200(1)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)有關(guān)聯(lián)？(2)在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢(shì)，在統(tǒng)計(jì)中稱為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，表示“選到的學(xué)生語文成績(jī)不優(yōu)秀”，表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀”請(qǐng)利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)的值.(3)現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個(gè)小組，從抽取的8人里再隨機(jī)抽取3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求這3人中，語文成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.附： 【答案】(1)認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)有關(guān)；(2)；(3)分布列見解析，.【分析】（1）零假設(shè)后，計(jì)算的值與比較即可；（2）根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可；（3）分層抽樣后運(yùn)用超幾何分布求解.【詳解】（1）零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)無關(guān).據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得：根據(jù)小概率值的的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，而認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)有關(guān)；（2）∵，∴估計(jì)的值為；（3）按分層抽樣，語文成績(jī)優(yōu)秀的5人，語文成績(jī)不優(yōu)秀的3人，隨機(jī)變量的所有可能取值為.，，，，∴的概率分布列為：0123∴數(shù)學(xué)期望.21．已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓過點(diǎn)，，．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作圓的切線，分別交拋物線C于M，N（異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，求證：直線MN與圓相切．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，根據(jù)題意列式求解；（2）設(shè)切線方程為，根據(jù)題意可得，聯(lián)立切線與拋物線的方程求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理求直線MN的方程，再求圓心到直線MN的距離即可.【詳解】（1）設(shè)圓，故，解得，可得圓，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可知，拋物線的方程為，圓的圓心為，半徑．∵，即在拋物線上，設(shè)切線方程為，，，由直線與圓相切可得，可得，，設(shè)方程的兩根分別為，，則，．聯(lián)立方程，消去得，則4，是方程的兩根，可得，即，同理可得，即，，可得直線的斜率，則直線，即，則圓心到直線MN的距離，∵，即，代入得，故直線MN與圓相切．【點(diǎn)睛】方法定睛：直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路（1）研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較．（2）利用位置關(guān)系求過圓外一定點(diǎn)的切線方程的基本思路；首先將直線方程設(shè)為點(diǎn)斜式，然后利用圓心到直線的距離等于半徑求斜率，最后若求得的斜率只有一個(gè)，則存在一條過切點(diǎn)與x軸垂直的切線．22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1).(2).【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.（2）將問題轉(zhuǎn)化為（）有兩個(gè)不同的根，運(yùn)用分離參數(shù)研究函數(shù)與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象觀察即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，切線斜率為，所以切線方程為：，即：..（2）∵，定義域?yàn)?/span>，∴，又∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴有兩個(gè)零點(diǎn)，即：（）有兩個(gè)不同的根.即：（）有兩個(gè)不同的根.令，則與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).∵，則，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴的圖象如圖所示，所以，所以.
 

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