數(shù) 學(xué)
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
2．設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．函數(shù)的部分圖像大致為（ ）
A．B．
C．D．
4．政府為了了解疫情當(dāng)下老百姓對(duì)防控物資方面的月花費(fèi)情況，抽取了一個(gè)容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在的有54人，則n的值為（ ）
A．100B．150C．90D．900
5．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
6．設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
8．“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明.它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)中國館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為( )

A．B．C．D．
9．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：
①是偶函數(shù)
②在區(qū)間單調(diào)遞增
③的最大值為2
④在有4個(gè)零點(diǎn)
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）
A．①②④B．②④C．①④D．①③
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．
10．已知是虛數(shù)單位，計(jì)算： .
11．的展開式共有8項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為 ．
12．直線l：被圓C：截得的弦長為，則m的值為 .
13．某城市的電力供應(yīng)由1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)負(fù)荷相同的核電機(jī)組并聯(lián)提供．當(dāng)一個(gè)機(jī)組發(fā)生故障時(shí)，另一機(jī)組能在這段時(shí)間內(nèi)滿足城市全部供電需求的概率為．已知每個(gè)機(jī)組發(fā)生故障的概率均為，且相互獨(dú)立，則機(jī)組發(fā)生故障的概率是 ．如果機(jī)組發(fā)生故障，那么供電能滿足城市需求的概率是 ．
14．如圖，A，B是⊙C上兩點(diǎn)，若弦AB的長度為2，則 ，若向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為 ．
15．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程，有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
三、解答題：本題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分14分）在的內(nèi)角所對(duì)邊的長分別是，已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．（本小題滿分15分）如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面ABCD和ADEF都是邊長為2的正方形，平面平面ADEF，點(diǎn)G、M分別是線段AD、BF的中點(diǎn)．
(1)求證：平面BEG；
(2)求直線DM與平面BEG所成角的正弦值；
(3)求平面BEG與平面ABCD夾角的余弦值．
18．（本小題滿分15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值．
19．（本小題滿分15分）已知橢圓，其離心率為，若，分別為C的左、右焦點(diǎn)，x軸上方一點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足，．
(1)求C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)過點(diǎn)P的直線l交C于另一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在第三象限），點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PM交x軸于點(diǎn)N，若的面積是的面積的2倍，求直線l的方程．
20．（本小題滿分16分）已知函數(shù)
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若，且在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍；
（3）若，判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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