一、單項選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．設全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為全集，集合，所以，
又，所以，故選A.
2．已知，則（ ）
A．p是q的充分不必要條件B．p是q的充要條件
C．q是p的必要不充分條件D．q是p的充分不必要條件
【答案】D
【解析】由題得.
當命題成立時，命題不一定成立，所以p是q的非充分條件，q是p的非必要條件；
當命題成立時，命題一定成立，所以p是q的必要條件，q是p的充分條件.
所以p是q的必要非充分條件，q是p的充分非必要條件，故選D
3．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函數(shù)為上的減函數(shù)，又，
所以，故；
函數(shù)為上的減函數(shù)，又，
所以，故；
函數(shù)為上的增函數(shù)，又，
所以，故；
所以，故選B.
4．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】對于A，，
又的定義域為，
為上的奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，與已知圖象相符；
當時，為增函數(shù)，為增函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，
由復合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增，
又，
在上單調(diào)遞減，與已知圖象不符，A錯誤；
對于B，由得：，的定義域為，與已知圖象不符，B錯誤；
對于D，，
不是奇函數(shù)，圖象不關于原點對稱，與已知圖象不符，D錯誤.
故選：C.
5．已知等比數(shù)列的前項和，滿足，則（ ）
A．16B．32C．81D．243
【答案】A
【解析】等比數(shù)列的前項和為，且，
∴，
∴，∴，故等比數(shù)列的公比為．
在中，
令，可得，∴，則，故選A．
6．已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線是其圖象的一條對稱軸，則符合條件的函數(shù)解析式可以是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0，
∴A==2，m==2，∵
∵直線x=是其圖象的一條對稱軸， 所以
φ=-+kπ，k∈Z∴函數(shù)的解析式為y=2sin（4x-+kπ）+2，k∈Z，
可以為，故選B
7．下列說法正確的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為17；
B．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷與有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；
C．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于0；
D．若隨機變量滿足，則．
【答案】B
【解析】A選項，，故從小到大排列，第8個數(shù)和第9個數(shù)的平均數(shù)作為第80百分位數(shù)，
即，A錯誤；
B選項，由于，得到與有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，B正確；
C選項，兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于1，C錯誤；
D選項，若隨機變量滿足，則，D錯誤.
故選：B
8．在炎熱的夏天里，人們都喜歡在飲品里放冰塊.如圖是一個高腳杯，它的軸截面是正三角形，容器內(nèi)有一定量的水.若在高腳杯內(nèi)放入一個球形冰塊后，冰塊沒有開始融化前水面所在的平面恰好經(jīng)過冰塊的球心（水沒有溢出），則原來高腳杯內(nèi)水的體積與球的體積之比是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖，圓與AB切于點D，設球的半徑為，
則，且，
有，即，得，
所以水的體積，
所以水的體積與球的體積之比是，故選D.
9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點M在雙曲線C的右支上，，若與C的一條漸近線l垂直，垂足為N，且，其中O為坐標原點，則雙曲線C的標準方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因為，，且為中點，所以，且，
因為，所以，解得，
直線l的方程為，所以，則，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以雙曲線的標準方程為，故選C.
二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分．
10．i是虛數(shù)單位，復數(shù) .
【答案】
【解析】，
11．的展開式中的系數(shù)為 .
【答案】
【解析】的展開式的通項，
令，得，所以的展開式中的系數(shù)為.
12．已知過原點O的一條直線l與圓C：相切，且l與拋物線交于O，P兩點，若，則 ．
【答案】3
【解析】由于圓心為，半徑為，故直線一定有斜率，
設方程為，則，解得，
故直線方程為，
聯(lián)立與可得或，
故，故，
13．有兩臺車床加工同一型號的零件，第一臺車床加工的優(yōu)秀率為15%，第二臺車床加工的優(yōu)秀率為10%．假定兩臺車床加工的優(yōu)秀率互不影響，則兩臺車床加工零件，同時出現(xiàn)優(yōu)秀品的概率為 ；若把加工出來的零件混放在一起，已知第一臺車床加工的零件數(shù)占總數(shù)的60%，第二臺車床加工的零件數(shù)占總數(shù)的40%，現(xiàn)任取一個零件，則它是優(yōu)秀品的概率為 ．
【答案】
【解析】由于第一臺車床加工的優(yōu)秀率為15%，第二臺車床加工的優(yōu)秀率為10%，所以兩臺車床加工零件，同時出現(xiàn)優(yōu)秀品的概率為
記 “加工的零件為優(yōu)秀品”， “零件為第1臺車床加工“， “零件為第2臺車床加工“，，，，，
由全概率公式可得，
14．如圖，平行四邊形中，，，，，設，，用，表示 ， ．
【答案】 ；
【解析】空一：因為，
所以；
空二：因為，
所以，
因此，
因為，，，所以，
所以，
15．已知函數(shù)有且僅有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】（1）當，即時，
恒成立，
所以，
因為有兩個零點，
所以且，解得或（舍），
所以或；
（2）當，即或，
設的兩個根為，且，
當時，恒成立，不滿足題意，
當，有有兩個解，
因為，，所以與在必有一個交點，
當時，與沒有交點，
當時，，所以與在必有一個交點
所以要使方程有且只有兩個零點，
則無解，
即沒有實數(shù)根，
即，解得，
因為，所以，
綜上實數(shù)的取值范圍為：.
三、解答題：本題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分14分）在非等腰中，，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，且，，.
(1)求的值；
(2)求的周長；
(3)求的值.
【解】（1）在中，由正弦定理，，，
可得，
因為，所以，即，
顯然，解得．
（2）在中，由余弦定理，
得，解得或．
由已知，，互不相等，所以，
所以．
（3）因為，所以，
所以，，
所以.
17．（本小題滿分15分）如圖，四棱錐中，，平面平面，，為的中點.
（1）求證平面；
（2）求點到面的距離
（3）求二面角平面角的正弦值
【解】（1）取中點，連接，如圖
由為的中點，所以//且
又，且，
所以//且，
故//且，
所以四變形為平行四邊形，故//
又平面，平面
所以//平面
（2）由，平面
平面平面，
平面平面
所以平面，又平面
所以，由，
所以為正三角形，所以
則平面
所以平面，且
所以點到面的距離即
（3）作交于點，
作交于點，連接
由平面平面，平面平面
平面平面，
所以平面，平面，
所以，又
平面，所以平面
又平面，所以
所以二面角平面角為
，又為等腰直角三角形
所以，所以
所以
又二面角平面角為
故
所以二面角平面角的正弦值為
18．（本小題滿分15分）已知橢圓：，其離心率為，若，分別為的左、右焦點，軸上方一點在橢圓上，且滿足，．
(1)求的方程；
(2)過點的直線交于另一點，點與點關于軸對稱，直線交軸于點，若的面積是的面積的2倍，求直線的方程．
【解】（1）解：因為，所以，且
又，所以，
即，即，所以，
又離心率，所以，，所以，
所以橢圓方程為；
（2）解：由（1）可得點的坐標為，
依題意直線的斜率存在，設直線的方程為，
由消去整理得，解得或，
所以點坐標為，
從而點坐標為，
所以直線的方程為，
則點的坐標為，
因為的面積是的面積的2倍，
所以或，
當時，即，解得，所以直線的方程為；
當時，即，解得，所以直線的方程為；
所以滿足條件的直線的方程為，
19．（本小題滿分15分）若某類數(shù)列滿足“，且”，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”.
(1)若數(shù)列滿足，求的值并證明：數(shù)列是“型數(shù)列”；
(2)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為“型數(shù)列”，記，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，當不是“型數(shù)列”時，
（i）求數(shù)列的通項公式；
（ii）求證：.
【解】（1），令，則，
令，則；由①，
當時，②，
由①②得，當時，，
所以數(shù)列和數(shù)列是等比數(shù)列.
因為，所以，
所以，因此，
從而，所以數(shù)列是“型數(shù)列”.
（2）（i）因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為“G型數(shù)列”，
所以，所以，因此數(shù)列遞增.又，
所以，因此遞增，
所以公比.又不是“型數(shù)列”，所以存在，
使得，所以，又公比為正整數(shù)，
所以，又，所以，則.
（ii），
因為，所以，
所以，令，當時，，
當時，
20．（本小題滿分16分）設函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設函數(shù)
（i）當時，取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；
（ii）若存在兩個極值點，證明：.
【解】（1），
則，
所以曲線在點處的切線方程為，即；
（2）（i），
，
∵時，取得極值，∴，解得，
∴，
令，得或；令，得，
∴的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；
（ii），
∵存在兩個極值點，
∴方程，即在上有兩個不等實根.
∵，解得，
則
∴所證不等式等價于，
即，
不妨設，即證，
令，，
則，
∴在上遞增，∴，
∴成立，
∴.

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