2024年上海高考押題預(yù)測卷03【上海卷】數(shù)學(xué)全解全析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．設(shè)集合，，，則，．
【分析】直接根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求解即可．
【解答】解：集合，，，
，．
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2．若復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的虛部是．
【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則推導(dǎo)出，從而，由此能求出的虛部．
【解答】解：復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），
，
，
的虛部是．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的虛部的求法，考查得復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
3．已知的展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且，若，則實(shí)數(shù) 2 ．
【分析】利用二項(xiàng)式定理展開式，即可解出的值，再利用賦值法，即可解出．
【解答】解：由題意易知，
令，得，
令，得，
，
．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理，賦值法，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，求出函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合的范圍分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則其切線的斜率，
，則，則有，即，
又由，
則，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
5．袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中紅球2個(gè)，白球3個(gè)，依次從中不放回的取球，則第一次取到白球且第二次取到紅球的概率是；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)第一次取到白球?yàn)槭录?，第二次取到紅球?yàn)槭录?，由古典概型公式求出（A）和，進(jìn)而由條件概率公式計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)第一次取到白球?yàn)槭录?，第二次取到紅球?yàn)槭录?br>則（A），，
則．
故答案為：；．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6．半徑為3的金屬球在機(jī)床上通過切割，加工成一個(gè)底面半徑為的圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為．
【分析】由已知可得圓柱的高為圓柱的體積最大，再求出圓柱的側(cè)面積．
【解答】解：由球的半徑為3，如圖，
圓柱的底面半徑為，則高為，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接旋轉(zhuǎn)體問題，是基礎(chǔ)題．
7．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為4，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為 16 ．
【分析】首先設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，然后利用方差的公式計(jì)算得出答案．
【解答】解：設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2 ，
則原數(shù)據(jù)的方差為，
則新數(shù)據(jù)的方差為：
．
故答案為：16．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．
8．已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為7，最小值為3，則．
【分析】分析在的單調(diào)性，求出的范圍，根據(jù)最值建立方程組，解出，即可．
【解答】解：取，解得，
所以在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞減，
因?yàn)樵陂]區(qū)間上有最大值為7，最小值為3，
所以，且（b），，
即，解得，
因?yàn)?，所以，故?br>故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正切函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．
9．已知直線與拋物線交于，，，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，若四邊形的面積為，則 4 ．
【分析】設(shè)，的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得，的坐標(biāo)，由題意可得，的坐標(biāo)，且四邊形為直角梯形，可得它的面積，由題意求出的值．
【解答】解：設(shè)，，，，
聯(lián)立，整理可得：，
解得，，
，，
即，，，由題意可得，，，，
由題意可得四邊形為直角梯形，
所以它的面積，
由題意可得，，
可得，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，梯形面積的求法，屬于中檔題．
10．對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)，，定義某種運(yùn)算“◎”如下：
①當(dāng)或時(shí)，◎；
②當(dāng)時(shí)，◎．
則集合◎的子集個(gè)數(shù)是 1024 ．
【分析】由新定義化簡，，，，，，，，，，從而確定子集的個(gè)數(shù)．
【解答】解：由新定義知，
◎，，，，，，，，，，
共10個(gè)元素，
故其子集的個(gè)數(shù)為，
故答案為：1024．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義及集合的子集的性質(zhì)，屬于中檔題．
11．已知函數(shù)，則的值域?yàn)? ，．
【分析】結(jié)合基本不等式和函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解．
【解答】解：設(shè)，，，函數(shù)，
可得，，
則函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
（2），（1），，
所以值域?yàn)椋?，?br>故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值域求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
12．如圖，已知，為的中點(diǎn)，分別以、為直徑在的同側(cè)作半圓，、分別為兩半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)、、，且，則的最大值為 1 ．
【分析】畫出圖形，求出，設(shè)，推出，即通過三角函數(shù)的最值，求解的最大值為1．
【解答】解：如圖，，
設(shè)，，
，，，
，即，
則的最大值為1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值的求法，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。
13．已知向量，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，則
A．4B．C．2D．
【分析】由已知結(jié)合平面向量基本定理可求，，進(jìn)而可求．
【解答】解：因?yàn)?，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，
所以，
解得，，，
則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，則
A．2020B．0C．2D．
【分析】直接利用函數(shù)周期性求出函數(shù)的值．
【解答】解：是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，
且，
整理得：，整理得，
所以函數(shù)的最小正周期為4，
所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的周期性，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，若，則的最大值為
A．B．C．D．
【分析】由已知結(jié)合射影定理化簡可得，然后對(duì)所求式子進(jìn)行化簡，結(jié)合基本不等式即可求解．
【解答】解：在中，由射影定理有，
即，整理可得，
由正弦定理有：，
即，
所以：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了射影定理、正余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，經(jīng)過的直線與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率等于
A．B．C．2D．3
【分析】設(shè)，，由已知結(jié)合雙曲線的定義可得，從而得到，，，，分別在與△利用余弦定理求得與，由余弦值相等列式即可求得雙曲線的離心率．
【解答】由雙曲線的定義知，，
，
又，，，
又，，即，
，，，，
在中，由余弦定理可得，
，
在△中，由余弦定理可得，
，
因此，，
解得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。
17．（14分）如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證平面；
（2）若為的中點(diǎn)，求與所成的角．
【分析】（1）由已知，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出平面的法向量為，并求解，然后通過計(jì)算，即可證明平面；
（2）由第（1）問建立起的空間直角坐標(biāo)系，分別表示出和，然后計(jì)算夾角即可．
【解答】（1）證明：在三棱柱，平面，
平面，，，
又，，故，，兩兩垂直，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，0，，，0，，，0，，，1，，，2，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，得．
，
，
又平面，則平面．
（2）解：若為的中點(diǎn)，則，0，，，，
，
由，可得，
故與所成的角為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定和異面直線所成角的求法，考查向量的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
18．（14分）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．
（1）若，，求；
（2）若，求．
【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理進(jìn)行化簡即可求解；
（2）由已知結(jié)合正弦定理，和差角公式，二倍角公式進(jìn)行化簡可求，進(jìn)而可求．
【解答】解：（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
化簡得，
因?yàn)?，?br>所以；
（2）若，，顯然為銳角，
則，
所以，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
19．（14分）為了調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)新入學(xué)的180名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時(shí)間不少于12小時(shí)的有76人，統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下的列聯(lián)表：
（1）請完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；
（2）（?。┤魧㈩l率視為概率，從全校本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，求這些人中周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間不少于12小時(shí)的人數(shù)的期望．
（ⅱ）通過調(diào)查問卷發(fā)現(xiàn)，從全校本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，這12人周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間的情況分三類，類：周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間大于等于16小時(shí)的有4人：類：周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間大于等于12小時(shí)小于16小時(shí)的有5人：類：周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間不足12小時(shí)的有3人．若從這隨機(jī)抽出的12人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，記為抽取的這3名同學(xué)中類人數(shù)和類人數(shù)差的絕對(duì)值，求的數(shù)學(xué)期望．
附：參考公式和數(shù)據(jù)：，．
附表：
【分析】（1）由題中的數(shù)據(jù)可以直接填表，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)可以直接算出；
（2）根據(jù)題中的條件可以看出自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即可直接解出數(shù)學(xué)期望，的取值為0，1，2，3，分別計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的頻率，即可解出．
【解答】解：（1）由題中的數(shù)據(jù)可以直接填表，
，
能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；
（2）從全校本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間不少于12小時(shí)的概率為，
設(shè)從120名學(xué)生中抽取12人，這些人周做題不少于12小時(shí)的人數(shù)為隨機(jī)變量，
，
，
即數(shù)學(xué)期望為7.2．
可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率，獨(dú)立性檢驗(yàn)，數(shù)學(xué)期望，學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
20．（18分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上有一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求的面積的最大值；
（3）已知直線與直線交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，證明：為定值．
【分析】（1）由題意得，，將點(diǎn)代入橢圓可得，聯(lián)立求解可得，，即可得出答案；
（2）由題意可設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，整理得，利用韋達(dá)定理和三角形的面積公式，表示出與的關(guān)系式，利用基本不等式，即可得出答案；
（3）由（2）得直線的方程為，，，，，，，分別表示出，，，化簡計(jì)算，即可證明結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意得，①，
將點(diǎn)代入橢圓得②，
聯(lián)立①②可得，即，
，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）可得右焦點(diǎn)，
顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，
由（1）得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
聯(lián)立，整理得，
顯然△，
，，
的面積，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
，
的面積的最大值為；
（3）證明：由（2）得直線的方程為，則，
由（2），，，，
，，
則，
故為定值，且值為0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力、直觀想象，屬于中檔題．
21．（18分）已知常數(shù)，設(shè)．
（1）若，求函數(shù)的最小值；
（2）是否存在，且、、依次成等比數(shù)列，使得、、依次成等差數(shù)列？請說明理由．
（3）求證：“”是“對(duì)任意，，，都有”的充要條件．
【分析】（1）求導(dǎo)分析的符號(hào)，的單調(diào)性，最值，即可得出答案．
（2）根據(jù)題意可得，，則，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，討論是否滿足條件，即可得出答案．
（3）由，得，令，則原①，證明充分性和必要性，即可得出答案．
【解答】解：（1），
，
令，得，
所以在上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
所以（1）．
（2）若、、依次成等比數(shù)列，則，
若、、成等差數(shù)列，則，
所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，則，聯(lián)立，得，
，即，
所以，與矛盾，
所以時(shí)，存在，，滿足條件，
當(dāng)時(shí)，不存在，，滿足條件．
（3）證明：，則，
，
所以，
又
，
令，
上式
①，
令，則恒成立，
單調(diào)遞減，
所以（1），
充分性：若，則，則恒成立，
必要性：要使得①式恒成立，則恒成立，即．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
學(xué)生本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分
學(xué)生本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)不足120分
合計(jì)
周做題時(shí)間不少于12小時(shí)
60
76
周做題時(shí)間不足12小時(shí)
64
合計(jì)
180
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
學(xué)生本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分
學(xué)生本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)不足120分
合計(jì)
周做題時(shí)間不少于12小時(shí)
60
16
76
周做題時(shí)間不足12小時(shí)
40
64
104
合計(jì)
100
80
180

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