2024年上海高考押題預(yù)測(cè)卷01【上海卷】數(shù)學(xué)全解全析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．集合，，則或．
【分析】由題意，解指數(shù)不等式、一元二次不等式求出和，再根據(jù)兩個(gè)集合的交集的定義，求出．
【解答】解：集合或，，
或．
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)不等式、一元二次不等式的解法，兩個(gè)集合的交集的定義，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念求解．
【解答】解：由題意可得：，
所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．
3．已知等差數(shù)列滿足，，則 5 ．
【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，解得．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
4．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 240 ．
【分析】由題意，利用二項(xiàng)式定理，求出通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值．
【解答】解：由于展開式的通項(xiàng)公式為：，
令，解得：，
可得常數(shù)項(xiàng)為，
故答案為：240．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．
5．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則．
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解．
【解答】解：，則，
所以由得，
所以，
所以，．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．
6．已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)，時(shí)，，則 1 ．
【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)的周期，然后利用周期及已知區(qū)間上的函數(shù)解析式即可求解．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
所以，，
所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，
即，，
所以，
所以，即函數(shù)的周期，
當(dāng)，時(shí)，，
則．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及周期性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
7．某班為了響應(yīng)“學(xué)雷鋒”活動(dòng)，將指定的6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的校辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個(gè)辦公室至少分配1人，6名學(xué)生中甲、乙兩人關(guān)系最好，則恰好甲、乙兩人獨(dú)立打掃一個(gè)辦公室的概率為．
【分析】利用排列組合知識(shí)，結(jié)合古典概型的概率公式求解．
【解答】解：6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的校辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個(gè)辦公室至少分配1人，
共有種分法，
甲、乙兩人獨(dú)立打掃一個(gè)辦公室的情況有種情況，
所以所求概率．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合問題，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
8．設(shè)與相交于，兩點(diǎn)，則．
【分析】先求出兩圓的公共弦所在的直線方程，然后求出其中一個(gè)圓心到該直線的距離，再根據(jù)弦長(zhǎng)、半徑以及弦心距三者之間的關(guān)系求得答案．
【解答】解：將和兩式相減：
得過，兩點(diǎn)的直線方程：，
則圓心到的距離為，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．已知，則不等式的解集為．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，以及絕對(duì)值不等式的解法，即可求解．
【解答】解：，
則在上為單調(diào)遞增函數(shù)，
（1），
不等式（1），
則，解得，
故不等式的解集為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
10．圓臺(tái)母線長(zhǎng)為3，下底直徑為10，上底直徑為5，過圓臺(tái)兩條母線作截面，則該截面面積最大值是．
【分析】求出軸截面時(shí)所補(bǔ)成的等腰三角形的頂角的余弦值，則判斷其為鈍角，再計(jì)算出截面積的表達(dá)式，得到最值．
【解答】解：由題意作出軸截面，并將其補(bǔ)充成等腰三角形，
則，，，
因?yàn)?，?br>所以為三角形的中位線，則，
在中利用余弦定理得，，
因?yàn)椋裕?br>過圓臺(tái)兩條母線所作截面也為等腰梯形，并將其補(bǔ)成的等腰三角形，設(shè)其頂角為，
則，
因?yàn)?，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
11．已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，（不重合）線段的垂直平分線過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為．
【分析】由已知結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系和直線過的點(diǎn)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得出線段的垂直平分線的方程，即可聯(lián)立兩直線得出的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，，，，分別代入雙曲線方程后作差整理得出，再根據(jù)線段中點(diǎn)與端點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系與兩點(diǎn)的斜率公式得出，，，即可得出，在根據(jù)雙曲線離心率公式變形后代入即可得出答案．
【解答】解：直線與線段的垂直平分線垂直，
則線段的垂直平分線的斜率為，
線段的垂直平分線過點(diǎn)，
線段的垂直平分線為：，即，
聯(lián)立，解得：，
即的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)，，，，
則，兩式作差可得，
的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的斜率為1，
，，，
則，
所以雙曲線的離心率．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
12．正三棱錐中，底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱，向量，滿足，，則的最大值為 4 ．
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則與數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)已知等式，設(shè)，，將向量等式轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題，再利用球的性質(zhì)計(jì)算出兩球的球面上的兩點(diǎn)間距離的最大值，即可得到本題的答案．
【解答】解：由三棱錐是正三棱錐，可得，且，
由化簡(jiǎn)得，根據(jù)化簡(jiǎn)得．
設(shè)，，代入，，分別化簡(jiǎn)得且，
因此，點(diǎn)在以為直徑的球面上，半徑；在以為直徑的球面上，半徑．
分別取線段、的中點(diǎn)、，則，故．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的線性運(yùn)算、向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、球的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。
13．已知直線，直線，則“”是“”的
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
【分析】根據(jù)直線平行，充分必要條件的定義，判斷即可．
【解答】解：直線，直線，
，，解得．
則“”是“”的充要條件，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線平行，充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
14．若，，，則的最小值為
A．B．C．6D．
【分析】由，，得得，則，然后結(jié)合基本不等式可求得的最小值．
【解答】解：由，，得得，則
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)的最小值．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．如圖是根據(jù)原衛(wèi)生部2009年6月發(fā)布的《中國(guó)7歲以下兒童生長(zhǎng)發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》繪制的我國(guó)7歲以下女童身高（長(zhǎng)的中位數(shù)散點(diǎn)圖，下列可近似刻畫身高隨年齡變化規(guī)律的函數(shù)模型是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)圖象是否是線性增長(zhǎng)，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，再由選項(xiàng)中函數(shù)的性質(zhì)判斷后可得．
【解答】解：選項(xiàng)，由散點(diǎn)圖知身高隨時(shí)間變化不是線性增長(zhǎng)，故錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)模型中隨增長(zhǎng)越來越快，與圖象不符合；
選項(xiàng)，對(duì)數(shù)函數(shù)模型在時(shí)沒有意義；
選項(xiàng)，符合散點(diǎn)圖中隨增長(zhǎng)越來越慢，且在時(shí)有意義．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了散點(diǎn)圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．已知函數(shù)，若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則
A．B．0C．2024D．4048
【分析】直接利用函數(shù)的奇偶性以及對(duì)數(shù)的關(guān)系式的變換，進(jìn)一步求出等差數(shù)列的和．
【解答】解：，定義域?yàn)椋?br>故，
故函數(shù)為奇函數(shù)；
所以，；
由于，，
所以，
所以，整理得，
故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性，等差數(shù)列的求和公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。
17（14分）．已知函數(shù)，其中．
（1）求在，上的解；
（2）已知，若關(guān)于的方在，時(shí)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【分析】（1）由特殊角的正弦函數(shù)值，可得所求解；
（2）運(yùn)用二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得所求取值范圍．
【解答】解：（1），
可得，或，即，或，，
則在，上的解為，；
（2）
，
關(guān)于的方程，即在，時(shí)有解．
由，，可得，，，，
所以，的取值范圍是，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及方程的根的個(gè)數(shù)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
18（14分）．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且平面．
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
【分析】（1）連接，交于，連接，取中點(diǎn)，連接，，先證明是中點(diǎn)，再證明四邊形是平行四邊形，即可證明結(jié)論；
（2）依題意建立空間直角坐標(biāo)系求解．
【解答】解：（1）證明：連接，交于，連接，取中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)槠矫?，且平面平面，平面?br>所以，因?yàn)樗倪呅问钦叫危允侵悬c(diǎn)，
所以是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，
所以，且，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，且，
所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面；
（2）因?yàn)?，，，所以，所以?br>因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以，?br>所以平面，平面，所以平面平面，
取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，因?yàn)椋裕?br>平面平面，所以平面，
所以在點(diǎn)處有、、兩兩互相垂直，
則以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則依題意有，0，，，2，，，1，，，2，，
因?yàn)?，所以?，，是中點(diǎn)，所以，1，，
所以，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，，所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則
．
所以平面與平面夾角的余弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中直線與平面平行的證明，考查了空間向量的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
19（14分）．某微信群群主為了了解微信隨機(jī)紅包的金額拆分機(jī)制，統(tǒng)計(jì)了本群最近一周內(nèi)隨機(jī)紅包（假設(shè)每個(gè)紅包的總金額均相等）的金額數(shù)據(jù)（單位：元），繪制了如圖頻率分布直方圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)紅包金額的平均值與眾數(shù)；
（2）群主預(yù)告今天晚上7點(diǎn)將有3個(gè)隨機(jī)紅包，每個(gè)紅包的總金額均相等且每個(gè)人都能搶到紅包．小明是該群的一位成員，以頻率作為概率，求小明至少兩次搶到10元以上金額的紅包的概率．
（3）在春節(jié)期間，群主為了活躍氣氛，在群內(nèi)發(fā)起搶紅包游戲．規(guī)定：每輪“手氣最佳”者發(fā)下一輪紅包，每個(gè)紅包發(fā)出后，所有人都參與搶紅包．第一個(gè)紅包由群主發(fā)．根據(jù)以往搶紅包經(jīng)驗(yàn)，群主自己發(fā)紅包時(shí)，搶到“手氣最佳”的概率為；其他成員發(fā)紅包時(shí)，群主搶到“手氣最佳”的概率為．設(shè)前輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為，第輪由群主發(fā)紅包的概率為．求及的期望．
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的信息和平均值計(jì)算的規(guī)定列式計(jì)算即得，眾數(shù)可根據(jù)定義從圖中直接讀?。?br>（2）先由圖中信息求得每個(gè)紅包搶到10元以上金額的概率，因3次搶紅包相互獨(dú)立，且每次搶只有搶到10元以上或以下兩種情況，故滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，運(yùn)用其概率公式計(jì)算即得；
（3）由題意分析得到與的遞推式，再根據(jù)其特征構(gòu)造等比數(shù)列，求得的表達(dá)式；再設(shè)為第輪發(fā)紅包時(shí)群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，分析知服從兩點(diǎn)分布，由此求得，因前輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為，則，于是求即是求數(shù)列的前項(xiàng)和，計(jì)算即得．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得，紅包金額的平均值為：，
眾數(shù)為最高矩形的中點(diǎn)坐標(biāo)，即為2.5；
（2）由題可知，每個(gè)紅包搶到10元以上金額的概率為，且3次紅包相互獨(dú)立，
由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，至少兩次搶到10元以上金額的概率為；
（3）由題意，，，
由，
又，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
設(shè)為第輪發(fā)紅包時(shí)群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，
故服從兩點(diǎn)分布：，，，2，，
所以，
由已知，
則
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差、古典概率的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
20（18分）．已知橢圓與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，，，分別為的左、右頂點(diǎn)．
（1）若，且橢圓的焦距為2，求的準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是和的一個(gè)共同焦點(diǎn)，過點(diǎn)的一條直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，，若直線的斜率為1，求的值；
（3）設(shè)直線，直線分別與直線交于，兩點(diǎn)，與的面積分別為，，若的最小值為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）由題意，根據(jù)焦距和求出橢圓方程和，從而得到，求出準(zhǔn)線方程；
（2）先得到，和直線方程，分別聯(lián)立后，得到相應(yīng)的弦長(zhǎng)，從而分兩向量方向相同和相反求出答案；
（3）由三點(diǎn)共線得到和，從而表達(dá)出，，得到，換元后得到，結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)求出最小值，得到方程，求出，進(jìn)一步求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的焦距為2，
所以，
解得，
則，
解得，
則橢圓，
因?yàn)椋诘谝幌笙?，?br>所以，
所以，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，
解得，
則的準(zhǔn)線方程為；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)是和的一個(gè)共同焦點(diǎn)，
所以，
解得，，
則，，
此時(shí)直線的方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
設(shè)，，，，
由韋達(dá)定理得，，
所以，
聯(lián)立，消去并整理得，
設(shè)，，，，
由韋達(dá)定理得，，
所以，
若方向相同，
此時(shí)，
若方向相反，
此時(shí)，
故；
（3）因?yàn)椋?，，三點(diǎn)共線，
所以，
解得，
同理，由，，，三點(diǎn)共線，
可得，
此時(shí)
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又，
則，
因?yàn)椋?br>令，
此時(shí)，
所以，
其中，
因?yàn)椋?br>所以的開口向下，對(duì)稱軸為，
其中，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，
最大值為，
則的最小值為，
令，
解得，負(fù)值舍去，
所以，
解得，
此時(shí)，
又，
所以，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
21（18分）．已知有窮等差數(shù)列的公差大于零．
（1）證明：不是等比數(shù)列；
（2）是否存在指數(shù)函數(shù)滿足：在處的切線的交軸于，，在處的切線的交軸于，，，在處的切線的交軸于，？若存在，請(qǐng)寫出函數(shù)的表達(dá)式，并說明理由；若不存在，也請(qǐng)說明理由；
（3）若數(shù)列中所有項(xiàng)按照某種順序排列后可以構(gòu)成等比數(shù)列，求出所有可能的的取值．
【分析】（1）計(jì)算，得到證明；
（2）計(jì)算切線方程，令得，即，滿足條件．
（3）舉例說明時(shí)成立，考慮時(shí)，確定不可能所有項(xiàng)均為正數(shù)或均為負(fù)數(shù)，的前三項(xiàng)即為中最小的三項(xiàng)，確定，考慮，兩種情況，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，整理得到，，，驗(yàn)證不成立，得到答案．
【解答】證明：（1），故不是等比數(shù)列．
解：（2）在處的切線方程為，
令得，因此，欲使?jié)M足條件，只需使，
令，則，滿足條件，
故存在指數(shù)函數(shù)滿足條件．
（3）取，1，4，則1，，4成等比數(shù)列，故滿足條件．
考慮，
首先，不可能所有項(xiàng)均為正數(shù)或均為負(fù)數(shù)，
否則，對(duì)應(yīng)的等比數(shù)列的公比為正，等比數(shù)列嚴(yán)格增或嚴(yán)格減，
從而即為等比數(shù)列，不可能．
其次，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以也是等比數(shù)列，不妨設(shè)嚴(yán)格增，
則的前三項(xiàng)即為中最小的三項(xiàng)，
則一定對(duì)應(yīng)于中的連續(xù)三項(xiàng)，，，，
不妨設(shè)，則．
①若，則，則，，成等比數(shù)列，不可能；
②若，則，則，，成等比數(shù)列，
，即，得，，，
而除了這三項(xiàng)外，最小值為或，
但和均無法與，，構(gòu)成等比數(shù)列，因此不符合條件．
綜上所述：所有可能的的值是3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，屬于難題．

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