一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，
1．， 2． 3．2 4．
5．； 6． 7．16 8．
9．4 10．1024 11．， 12．1
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。
三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。
17．（14分）（1）證明：在三棱柱，平面，
平面，，，
又，，故，，兩兩垂直，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，0，，，0，，，0，，，1，，，2，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，得．
，
，
又平面，則平面．
（2）解：若為的中點(diǎn)，則，0，，，，
，
由，可得，
故與所成的角為．
18．（14分）解：（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，
因?yàn)?，?br>所以；
（2）若，，顯然為銳角，
則，
所以，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
19．（14分）解：（1）由題中的數(shù)據(jù)可以直接填表，
，
能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；
（2）從全校本學(xué)期檢測(cè)數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間不少于12小時(shí)的概率為，
設(shè)從120名學(xué)生中抽取12人，這些人周做題不少于12小時(shí)的人數(shù)為隨機(jī)變量，
，
，
即數(shù)學(xué)期望為7.2．
可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
．
20．（18分）解：（1）由題意得，①，
將點(diǎn)代入橢圓得②，
聯(lián)立①②可得，即，
，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）可得右焦點(diǎn)，
顯然直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，
由（1）得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
聯(lián)立，整理得，
顯然△，
，，
的面積
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
，
的面積的最大值為；
（3）證明：由（2）得直線的方程為，則，
由（2），，，，
，，
則，
故為定值，且值為0．
21．（18分）解：（1），
，
令，得，
所以在上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
所以（1）．
（2）若、、依次成等比數(shù)列，則，
若、、成等差數(shù)列，則，
所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，則，聯(lián)立，得，
，即，
所以，與矛盾，
所以時(shí)，存在，，滿足條件，
當(dāng)時(shí)，不存在，，滿足條件．
（3）證明：，則，
，
所以，
又
，
令，
上式
①，
令，則恒成立，
單調(diào)遞減，
所以（1），
充分性：若，則，則恒成立，
必要性：要使得①式恒成立，則恒成立，即．
13
14
15
16
A
B
C
C
學(xué)生本學(xué)期檢測(cè)數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分
學(xué)生本學(xué)期檢測(cè)數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)不足120分
合 計(jì)
周做題時(shí)間不少于12小時(shí)
60
16
76
周做題時(shí)間不足12小時(shí)
40
64
104
合 計(jì)
100
80
180

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