數(shù) 學(xué)
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分）
1．已知集合，．則 ．
2．已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位），則 ．
3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則它的第7項(xiàng)是 ， ．
4．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為 ．
5．如圖所示，該分布的0.25分位數(shù)為 ．
6．定義在上的奇函數(shù)滿足，并且當(dāng)時，，則
7．設(shè)有12件藥品，其中4件是次品，現(xiàn)進(jìn)行兩次無放回抽樣，即每次抽一件不放回去，則兩次都抽到正品的概率是 ．
8．已知圓與圓相切，則 ．
9．已知不等式的解集是 ．
10．交通錐，又稱錐形交通路標(biāo)，如圖1，常用于進(jìn)行工程、發(fā)生事故時提醒行人或車輛，以保證工程人員及道路使用者的人身安全等．某數(shù)學(xué)課外興趣小組對一個去掉底座的圓錐形交通錐筒進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)將該交通錐筒放倒在地面上，如圖2，使交通錐筒在地面上繞錐頂點(diǎn)滾動，當(dāng)這個交通錐筒首次轉(zhuǎn)回到原位置時，交通錐筒本身恰好滾動了3周．若將該交通錐筒近似看成圓錐，將地面近似看成平面，測得該圓錐的底面半徑為，則該圓錐的側(cè)面積為 （交通錐筒的厚度忽略不計(jì)）．
11．過雙曲線右焦點(diǎn)作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點(diǎn)．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為 ．
12．已知點(diǎn)為正四面體的外接球上的任意一點(diǎn)，正四面體的棱長為2，則的取值范圍為 ．
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。
13．已知直線，直線，則“”是“”的
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
14．已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為
A．2B．1C．D．4
15．如圖是根據(jù)原衛(wèi)生部2009年6月發(fā)布的《中國7歲以下兒童生長發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》繪制的我國7歲以下女童身高（長的中位數(shù)散點(diǎn)圖，下列可近似刻畫身高隨年齡變化規(guī)律的函數(shù)模型是
A．B．
C．D．，
16．已知函數(shù)，若等比數(shù)列滿足，則
A．2020B．C．2D．
三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。
17.（14分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為菱形，平面，過的平面交平面于，．
（1）證明：平面；
（2）若平面平面，，四棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．
18．（14分）在中，角、、的對邊分別為、、，．
（1）求角，并計(jì)算的值；
（2）若，且是銳角三角形，求的最大值．
19．（14分）某微信群群主為了了解微信隨機(jī)紅包的金額拆分機(jī)制，統(tǒng)計(jì)了本群最近一周內(nèi)隨機(jī)紅包（假設(shè)每個紅包的總金額均相等）的金額數(shù)據(jù)（單位：元），繪制了如圖頻率分布直方圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)紅包金額的平均值與眾數(shù)；
（2）群主預(yù)告今天晚上7點(diǎn)將有3個隨機(jī)紅包，每個紅包的總金額均相等且每個人都能搶到紅包．小明是該群的一位成員，以頻率作為概率，求小明至少兩次搶到10元以上金額的紅包的概率．
（3）在春節(jié)期間，群主為了活躍氣氛，在群內(nèi)發(fā)起搶紅包游戲．規(guī)定：每輪“手氣最佳”者發(fā)下一輪紅包，每個紅包發(fā)出后，所有人都參與搶紅包．第一個紅包由群主發(fā)．根據(jù)以往搶紅包經(jīng)驗(yàn)，群主自己發(fā)紅包時，搶到“手氣最佳”的概率為；其他成員發(fā)紅包時，群主搶到“手氣最佳”的概率為．設(shè)前輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為，第輪由群主發(fā)紅包的概率為．求及的期望．
20（18分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的上方），與軸交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)時，點(diǎn)為橢圓上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)，求△的周長；
（2）當(dāng)且直線過點(diǎn)時，設(shè)，，求證：為定值，并求出該值；
（3）若橢圓的離心率為，當(dāng)為何值時，恒為定值；并求此時面積的最大值．
21.(18分）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為．設(shè)，曲線在點(diǎn)，處的切線交軸于點(diǎn)，．當(dāng)時，設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線交軸于點(diǎn)，．依此類推，稱得到的數(shù)列為函數(shù)關(guān)于，的“數(shù)列”．
（1）若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，求的值；
（2）若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，記，證明：是等比數(shù)列，并求出其公比；
（3）若，則對任意給定的非零實(shí)數(shù)，是否存在，使得函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列為周期數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請說明理由．

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