第一部分（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)榛颍?br>則，又，
所以.
故選：B
2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由可得，
故虛部為，
故選：A
3．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【詳解】由約束條件作出可行域如圖，
聯(lián)立，解得，則．
化目標(biāo)函數(shù)為．
由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最小，
則有最小值為．
故選：C．
4．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由，可得，
因?yàn)椋裕?br>所以.
故選：B．
5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】當(dāng)時(shí)，進(jìn)入第一次循環(huán)，得；進(jìn)入第二次循環(huán)，得；
進(jìn)入第三次循環(huán)，得；，；
，此時(shí)因，退出循環(huán)，輸出，
而.
故選：C.
6．某校為了解在校學(xué)生對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的傳承認(rèn)知情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行中國(guó)傳統(tǒng)文化知識(shí)考試，并將這100名學(xué)生成績(jī)整理得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖（分成，，，，，六組），下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．圖中的
B．若從成績(jī)?cè)?，，?nèi)的學(xué)生中采用分層抽樣抽取10名學(xué)生，則成績(jī)?cè)趦?nèi)的有3人
C．這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)約為65
D．若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則這100名學(xué)生的平均成績(jī)約為68.2
【答案】C
【詳解】由，得，所以A正確；
這100名學(xué)生中成績(jī)?cè)?，，?nèi)的頻率分別為0.2，0.12，0.08，所以采用分層抽樣抽取的10名學(xué)生中成績(jī)?cè)趦?nèi)的有人，故B正確；
根據(jù)頻率分布直方圖，可知這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，則，所以，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，可得，D正確．
故選：C
7．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，?br>因?yàn)?，可知?br>又因?yàn)?，所?
故選：D
8．已知函數(shù)滿足，且函數(shù)為偶函數(shù)，若，則（ ）
A．0B．1012C．2024D．3036
【答案】B
【詳解】由題意函數(shù)為偶函數(shù)，所以，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
所以函數(shù)的周期為4，在中，分別令和1，
得，，即，
所以，
所以.
故選：B.
9．?dāng)€尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖1，它的屋頂部分的輪廓可以近似看作如圖2所示的正四棱錐，其中底面邊長(zhǎng)和攢尖高的比值為，若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，連接，設(shè)為的中點(diǎn)，，
異面直線與所成角為或其補(bǔ)角．
連接，
所以，在正四棱錐中，，，
平面，
，設(shè)，則由題意得，
在中，．
故選：C．
10．已知點(diǎn)P為直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，
所以由可得，且過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，
所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)與點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，圓心為，半徑.
而圓的圓心為，半徑為，
所以兩個(gè)圓心的距離，且，所以兩圓相離，
所以的最大值為：，的最小值為：，
所以的取值范圍是.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，根據(jù)直線垂直以及過(guò)定點(diǎn)得到點(diǎn)的軌跡是圓，從而得解.
11．設(shè)等比數(shù)列中，使函數(shù)在時(shí)取得極值，則的值是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】D
【詳解】由題意知：，
在處取得極值，，
解得：或；
當(dāng)，時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，不合題意；
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
是的極小值點(diǎn)，滿足題意；
，又與同號(hào)，.
故選：D.
12．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，，，為上兩點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．若，則D．若，則
【答案】C
【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得，解得，
所以拋物線，
設(shè)直線，且，，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，解得，且，，
由，所以A正確；
由，所以B正確；
當(dāng)時(shí)，由，可得，
則，或，，所以，所以C錯(cuò)誤；
由，
解得，所以，則，所以D正確．
故選：C
第二部分（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13．已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則曲線在處的切線方程為 ．
【答案】．
【詳解】由題意設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)?，
令，得，
由導(dǎo)數(shù)幾何意義知：，
又，所以，
故曲線在處的切線方程為：，
整理得： .
故答案為：.
14．已知是雙曲線上任意一點(diǎn)，若到的兩條漸近線的距離之積為，則上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為 ．
【答案】
【詳解】所求的雙曲線方程為，則漸近線方程為，
設(shè)點(diǎn)，則，
點(diǎn)到的兩條浙近線的距離之積為，
解得：，故雙曲線方程為：，
故，故雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為．
故答案為：．
15．已知長(zhǎng)方體中，側(cè)面的面積為2，若在棱上存在一點(diǎn)，使得為等邊三角形，則四棱錐外接球表面積的最小值為 .
【答案】
【詳解】如圖，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
由底面矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)作底面的垂線，過(guò)等邊三角形的中心作平面的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)，點(diǎn)是四棱錐外接球的球心，
，，則，
當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為,
所以四棱錐外接球表面積的最小值為.
故答案為：
16．若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)在邊上，且的面積為，則 ．
【答案】
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
即，所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，
又，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，，所以，
因?yàn)?，，所以?br>所以，
所以，得，
在中，，
由余弦定理可得，
得．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問(wèn)題時(shí)，注意角的限制范圍．
三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．陜西省從2022年秋季啟動(dòng)新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”為全國(guó)統(tǒng)一高考科目的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，“1”為首選科目．要求從物理、歷史2門科目中確定1門，“2”為再選科目，要求從思想政治、地理、化學(xué)、生物學(xué)4門科目中確定2門，共計(jì)產(chǎn)生12種組合．某班有學(xué)生50名，在選科時(shí)，首選科目選歷史和物理的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
附：，其中．
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生選擇歷史與性別有關(guān)；
(2)從選擇物理類的40名學(xué)生中按照分層抽樣，任意抽取5名同學(xué)成立學(xué)習(xí)小組，該小組設(shè)正、副組長(zhǎng)各一名，求正、副組長(zhǎng)中至少有一名女同學(xué)的概率.
【詳解】（1）
將表中的數(shù)據(jù)帶入，得到
．3分
所以有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生選擇歷史與性別有關(guān)．5分
（2）
由題意知，抽取的5名同學(xué)中，男生有3名，設(shè)為A，B，C，女生2名，設(shè)為D，E，6分
從這5名同學(xué)中選取2名同學(xué)擔(dān)任正副組長(zhǎng)，所有的可能情況有：
，，，，，，，，，，共計(jì)10種基本情況，且每種情況的發(fā)生是等可能的，8分
其中至少有一名女生的情況有，，，，，，，共計(jì)有7種情況，10分
所以（至少有一名女生）．12分
18．設(shè)等差數(shù)列的公差為，記是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【詳解】（1）由，，得，解得，1分
由，，所以，所以或，3分
當(dāng)時(shí)，此時(shí)；4分
當(dāng)時(shí)，此時(shí)；5分
綜上可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或；6分
（2）因?yàn)?，所以，則，7分
則
，9分
所以
.12分
19．如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，.
(1)證明：平面平面ABCD；
(2)求點(diǎn)A到平面SBC的距離.
【詳解】（1）證明：取CD中點(diǎn)E，連接SE，AE，BE，1分
易得，，因?yàn)?，?br>所以，，，故，3分
又，，
所以，故，4分
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍿CD，
所以平面平面ABCD.6分
（2）由（1）知平面ABCD，且，
在中，，
所以，
故.8分
在中，，，
所以SB邊上的高，
所以.10分
設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為d，
則，即，解得，
所以點(diǎn)A到平面SBC的距離為.12分
20．已知橢圓的方程，右焦點(diǎn)為，且離心率為
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），求與的面積之比的取值范圍.
【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為，
由題意可得，3分
故橢圓方程為4分
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，易知；5分
②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，,，,，
由，得，顯然，
所以，，7分
因?yàn)椋?br>所以，9分
因?yàn)椋?br>所以，
又，10分
設(shè)，則，，解得且，
所以，
綜上可得的取值范圍為．12分

21．已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最小值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以,1分
令，則，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，則，即，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，3分
當(dāng)時(shí)，，由，得，且，
當(dāng)或時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；5分
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
其中.6分
（2）由（1）可知，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，
所以，且是方程的兩不等正根，
此時(shí)，，，
所以，，且有，，8分
則
10分
令，則，令，
則，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
所以，
所以的最小值為.12分
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
22．已知在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)的極坐標(biāo)為且點(diǎn)在曲線上.
(1)求曲線的普通方程以及曲線的極坐標(biāo)方程；
(2)已知直線與曲線分別交于，兩點(diǎn)，其中，異于原點(diǎn)，求的面積.
【詳解】（1）因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，所以，
由，得曲線的直角坐標(biāo)方程為；
由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），又，
得，2分
因?yàn)?，所以，即?br>即曲線的極坐標(biāo)方程為.
又點(diǎn)在曲線上，所以，解得，
所以曲線的極坐標(biāo)方程為；4分
（2）因?yàn)辄c(diǎn)，則，即點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，5分
由（1）得曲線的直角坐標(biāo)方程為，
聯(lián)立，解得或，所以，
聯(lián)立，解得或，所以，8分
則，
點(diǎn)到直線的距離，9分
所以.10分
選修4-5：不等式選講
23．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可化為.1分
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得.4分
故當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.5分
（2）因?yàn)椋?br>所以等價(jià)于.7分
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，8分
所以的最小值為，所以，
解得或，
故的取值范圍是.10分
歷史
物理
合計(jì)
男生
1
24
25
女生
9
16
25
合計(jì)
10
40
50
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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