2023年高考押題預(yù)測(cè)卷03文科數(shù)學(xué)·全解全析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)的Venn圖逐一判斷即可.【詳解】，選項(xiàng)A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；選項(xiàng)C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；選項(xiàng)D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，故選：B2．若，則（    ）A．5 B． C． D．3【答案】B【分析】由題意求，進(jìn)而可求其模長(zhǎng).【詳解】∵，則，則.故選：B.3．已知命題，有成立；命題 “”是“”的充要條件，則下列命題中為真命題的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分別判斷命題的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以命題p是真命題，則為假命題，由，得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故命題q是假命題，則為真命題，所以，為假命題，，真命題，則為假命題.故選：C．4．將的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出與關(guān)于軸對(duì)稱的解析式，然后一一分析選項(xiàng)即可.【詳解】與關(guān)于軸對(duì)稱的三角函數(shù)為，對(duì)A，平移后的解析式為，不合題意，舍去；對(duì)B，平移后的解析式為，符合題意，對(duì)C，平移后的解析式為，不合題意，舍去；對(duì)D，平移后的解析式為，不合題意，舍去；故選：B.5．已知變量x，y滿足，則的最大值是（    ）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求出最大值作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影四邊形（含邊界），，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫(huà)直線，平移直線到直線，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最小，最大，即，所以的最大值為4.故選：A6．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角恒等變換運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，則.故選：B.7．隨機(jī)鄭兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和除以4，余數(shù)分別為，所對(duì)應(yīng)的概率分別為，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】用表格列舉出所有可能的余數(shù)情況，并確定余數(shù)為對(duì)應(yīng)概率，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，兩枚骰子所得點(diǎn)數(shù)和除以4的余數(shù)情況如下：除以4的余數(shù)123456123012323012303012301412301252301236301230由上表知：共36種情況，其中余數(shù)為分別有9種、8種、9種、10種，所以.故選：A8．函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判斷的奇偶性，再根據(jù)時(shí)的函數(shù)值的符號(hào)判斷圖象.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，故函數(shù)的為奇函數(shù)，排除BD；又 所以，故A錯(cuò)誤.故選：C9．在正四棱柱中，，，為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的條件，結(jié)合正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，作出過(guò)點(diǎn)垂直于的正四棱柱的截面即可計(jì)算作答.【詳解】在正四棱柱中，連接，如圖，，平面，因?yàn)?/span>平面，則，又平面，，則平面，又平面，則，取中點(diǎn)，連接，在平面內(nèi)過(guò)作，交于，顯然，而平面，則平面，有，又平面，，于是平面，而平面，因此，因?yàn)?/span>平面，，從而平面，連接，則點(diǎn)的軌跡為平面與四棱柱的交線，即，因?yàn)?/span>，即有，又，于是，有，，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.10．已知是定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則有①為奇函數(shù)，②關(guān)于對(duì)稱，③關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，④，則上述推斷正確的是（    ）A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】解：（法一）根據(jù)為奇函數(shù)，得到關(guān)于對(duì)稱，再由是上的奇函數(shù)，得到過(guò)，然后由為偶函數(shù)，得到關(guān)于對(duì)稱，再結(jié)合推出的周期為4即可.（法二）舉例判斷；【詳解】解：（法一）因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，又是上的奇函數(shù)，過(guò)，點(diǎn)，所以過(guò)，所以有；又為偶函數(shù)，所以，所以關(guān)于對(duì)稱；所以有，又，所以，所以周期為4，所以由，得，所以為奇函數(shù)，所以①②④正確.（法二）舉例：符合題意，再驗(yàn)證得到①②④正確.故選：D.11．已知橢圓，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)、，使得，則的離心率的取值范圍是(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，設(shè)直線、分別與圓切于點(diǎn)A、B，，根據(jù)題意得到，在直角三角形中，利用正弦函數(shù)的定義得到，再結(jié)合，得到的離心率的取值范圍．【詳解】連接，當(dāng)不為橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線、分別與圓切于點(diǎn)A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，連接，則，∴．又是上任意一點(diǎn)，則，又，∴，則由，得，又，∴．故選：C．12．設(shè)偶函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則下列結(jié)論一定正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】將變形為，從而可構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性以及奇偶性，由此代入數(shù)值，一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，有，即，令，則，即在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，則，即為偶函數(shù)，故，即，即，故A錯(cuò)誤，C正確；由，即，即，B錯(cuò)誤；而，故，則不一定成立，D錯(cuò)誤，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于要能根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行變形，從而構(gòu)造出函數(shù)，進(jìn)而判斷其單調(diào)性，即可解決問(wèn)題.   第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角大小為______．【答案】【分析】先求，再求，利用夾角公式可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，是夾角為的兩個(gè)單位向量，所以，，所以；，所以.所以，因?yàn)?/span>，所以.故答案為：.14．如圖，分別是雙曲線的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線的同一條漸近線的垂線，垂足分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的離心率為___________.【答案】【分析】可分別求出右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)到漸近線的距離分別為和，再利用面積比可得，由三角形相似以及面積比等于相似比的平方即可得.【詳解】由題意可知，不妨取漸近線方程，則點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)到漸近線的距離為，又因?yàn)?/span>，所以，且易知，所以，即可得，所以離心率.故答案為：15．在中，若的面積為2，則___________【答案】【分析】由條件將切化為弦，結(jié)合正弦的和角公式、輔助角公式先求出角，由面積公式可得答案【詳解】解：在中，，則,所以，可得，所以所以可得，由正弦定理可得，可得，又因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，又則所以或解得或(舍去)所，解得．故答案為：．16．如圖，直角三角形中，斜邊邊上的垂直平分線交于，交于，現(xiàn)沿折成一個(gè)三視圖如下的四棱錐，則在四棱錐中，給出下列判斷：①；②平面平面；③；④四棱錐的外接球表面積為.其中正確的判斷有______.【答案】①②④【分析】由三視圖可知，平面；根據(jù)線面垂直判定定理，可證明平面，所以②正確；由四棱錐的體積公式計(jì)算可知③錯(cuò)；四棱錐的外接球等價(jià)于以、、為棱的長(zhǎng)方體的外接球，可找到半徑計(jì)算球的表面積，④正確.【詳解】由三視圖可知平面，所以又所以平面，可證所以①正確；由三視圖可知，所以，，所以平面，所以②正確；所以③錯(cuò)；四棱錐的外接球等價(jià)于以、、為棱的長(zhǎng)方體的外接球，可得：，∴，從而，所以④正確.故答案為①②④.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體，考查線線垂直、面面垂直的證明，考查幾何體體積公式和外接球的表面積，考察了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.   三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 17．一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表所示：溫度21232527293235產(chǎn)卵個(gè)數(shù)個(gè)711212466115325(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)適宜作為產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程類型（給出判斷即可?不必說(shuō)明理由）；(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù).建立關(guān)于的回歸方程.（附：可能用到的公式，可能用到的數(shù)據(jù)如下表所示：27.43081.2903.612147.7002763.764705.59240.180（對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.）【答案】(1)散點(diǎn)圖答案見(jiàn)解析，(2) 【分析】（1）按照表格作圖即可，并根據(jù)散點(diǎn)圖判定回歸方程類型；（2）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算公式結(jié)合數(shù)據(jù)，得出，從而得出結(jié)果.【詳解】（1）散點(diǎn)圖如圖所示，. 根據(jù)散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型. （2）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由數(shù)據(jù)得 .所以關(guān)于的線性回歸方程為因此，關(guān)于的回歸方程為. 18．如圖2，在三棱錐中，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)在上且，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）在，由等腰三角形的性質(zhì)可得，在中利用勾股定理的逆定理可得，求出，再利用勾股定理的逆定理可得，然后利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）求出的面積，則可求出三棱錐的體積，再由可求出，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，然后利用等體積法可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：在中，為的中點(diǎn)．則中線，且；在中，，所以，所以；因?yàn)?/span>，為的中點(diǎn)，所以且；所以，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面．. （2）解：由題可得，則，所以．又由（1）知平面，所以．又，則， 由得：，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為． 19．已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足 ， ， ，且既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)令，求證：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由已知可求得，得出的通項(xiàng)公式.根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)，得出關(guān)于方程組，求解方程組即可得出的值，得出，代入即可得出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）及不等式的性質(zhì)，可推出，然后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知可得，所以，，所以. 因?yàn)?/span>既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)，即，代入已知整理可得，解得，即，所以.. （2）由（1）可知，， 所以. 因?yàn)?/span>，故． 20．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4．(1)求a；(2)若直線l與拋物線C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率之和為，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)． 【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于a的方程，解之即可求得a的值；（2）先設(shè)出直線l的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法求得的關(guān)系，進(jìn)而求得直線l過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C上，所以，即，因?yàn)?/span>的面積為4，所以，解得，所以． （2）由（1）得，．當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，不適合題意；當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，設(shè)，，由，得，則，，， 因?yàn)橹本€PA，PB的斜率之和為，所以，即，所以，. 所以，整理得， 所以直線，令，解之得，所以直線l過(guò)定點(diǎn)． 21．設(shè)函數(shù)．（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)若，求在處的切線方程；(2)證明：，當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求曲線在處的切線方程；（2）利用參數(shù)放縮將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明此不等式即可.【詳解】（1）由已知得當(dāng)時(shí)，，，且．由點(diǎn)斜式得，，在處切線方程為 （2）證明：由題可得：，則．令，則．令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以要證，則證：． 令函數(shù)，則，令函數(shù)，則，令，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減． 又，故存在唯一使得，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減．又，故此時(shí)恒成立，即不等式得證，則原不等式得證． 【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常用函數(shù)不等式：①，其加強(qiáng)不等式；②，其加強(qiáng)不等式. （二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）  在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的普通方程為．(1)將C的極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為，M為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，寫(xiě)出P的軌跡的參數(shù)方程并判斷與l的位置關(guān)系．【答案】(1)其中為參數(shù)(2)其中為參數(shù),與l相離． 【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程即可；（2）根據(jù)參數(shù)方程和向量的坐標(biāo)形式轉(zhuǎn)化關(guān)系，以及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程和直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，所以，整理得，曲線C的直角坐標(biāo)方程為， 所以其中為參數(shù)．則對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為其中為參數(shù)． （2）由（1）參數(shù)方程可設(shè)，則由，得其中為參數(shù)． 對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為，圓心到l距離，則與l相離．  23．[選修4-5：不等式選講]（10分） 23．已知、、均為正實(shí)數(shù)，且.(1)證明：；(2)比較與的大?。?/span>【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析 【分析】（1）利用柯西不等式可證得結(jié)論成立；（2）由題中條件可得出，利用作差法結(jié)合基本不等式可得出與的大?。?/span>【詳解】（1）證明：由柯西不等式有， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故. （2）解： ，所以，，所以，， 若第一個(gè)等號(hào)成立，即，即時(shí)，第二個(gè)等號(hào)若要成立，則要滿足，此時(shí)，故等式可成立．所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
 

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