?2023年高考押題預(yù)測卷01
文科數(shù)學(xué)·全解全析
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1．若集合，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】確定，，再計算交集得到答案.
【詳解】，
，故，
故.
故選：B
2．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，若，則的虛部為（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式求出，再根據(jù)虛部的定義即可得解.
【詳解】因為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱，
所以，
所以，
所以的虛部為.
故選：B.
3．設(shè)，向量，，若，則（????）
A． B．1或 C． D．1或
【答案】B
【分析】根據(jù)向量垂直求出或，結(jié)合二倍角余弦公式分類討論即可.
【詳解】由，得,
所以或,
若,則；
若，顯然，則，
所以
綜上，的值為1或.
故選：B.
4．某市甲、乙兩個監(jiān)測站在10日內(nèi)分別對空氣中某污染物實施監(jiān)測，統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：g/m3）如圖所示，以下說法正確的是（????）

A．這10日內(nèi)任何一天甲監(jiān)測站的大氣環(huán)境質(zhì)量均好于乙監(jiān)測站
B．這10日內(nèi)甲監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)的中位數(shù)小于乙監(jiān)測站讀數(shù)的中位數(shù)
C．這10日內(nèi)乙監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)中出現(xiàn)頻率最大的數(shù)值是167
D．這10日內(nèi)甲監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)的平均值小于乙監(jiān)測站讀數(shù)的平均值
【答案】C
【分析】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)逐個判斷各個選項即可.
【詳解】由莖葉圖易知A錯誤；
甲監(jiān)測站污染物濃度的中位數(shù)是，乙監(jiān)測站污染物濃度的中位數(shù)是167，B錯誤；
這10日內(nèi)乙監(jiān)測站該污染物濃度讀數(shù)中出現(xiàn)頻率最大的數(shù)值，即眾數(shù)是167，C正確；
甲監(jiān)測站該污染物濃度的平均值
，，D錯誤;
故選:C．
5．已知實數(shù)滿足約束條件則的最大值是（????）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】畫出可行域，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得的最大值.
【詳解】
畫出可行域如下圖所示，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界點的位置，此時取得最大值為.
故選：B.
6．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上（異于頂點），（點為坐標(biāo)原點），過點作直線的垂線與軸交于點，則（????）
A．6 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】設(shè)，由，得為的中點, 表示的方程，求出點的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義求得結(jié)果.
【詳解】法一：依題意，設(shè)，由，得為的中點且，
則，易得直線的垂線的方程為.
令，得，故，由拋物線的定義易知，
故，
故選:A.
法二：特殊值法.不妨設(shè)，則，則，易得直線的垂線的方程為.令，得，故，又，故.
故選:A.
7．在如圖所示的程序框圖中，若輸入的a，b，c分別為，，，執(zhí)行該程序框圖，輸出的結(jié)果用原來數(shù)據(jù)表示為（????）

A．b，a，c B．a(chǎn)，b，c C．c，b，a D．c，a，b
【答案】A
【分析】該程序的功能為從大到小輸出原來輸入的數(shù)據(jù)，通過比較輸入數(shù)據(jù)的大小，即可求解．
【詳解】解︰由程序框圖可知，該程序的功能為從大到小輸出原來輸入的數(shù)據(jù)，
，，即，
所以，則輸出的結(jié)果用原來數(shù)據(jù)表示為b，a，c.
故選∶A．
8．函數(shù) 的圖象大致是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】，排除BC，當(dāng)時，，當(dāng)時，，A不滿足，排除，得到答案.
【詳解】，排除BC；當(dāng)時，，當(dāng)時，，A不滿足，排除.
故選：D
9．在正方體中，M，N，P分別為，，的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（????）
A． B．平面平面
C． D．平面平面
【答案】D
【分析】求得與位置關(guān)系判斷選項A；求得平面與平面位置關(guān)系判斷選項B；求得與位置關(guān)系判斷選項C；求得平面與平面位置關(guān)系判斷選項D.
【詳解】對A，在中，因為，分別為，的中點，
所以．又，所以，A正確．
對B，在中，因為，分別為，的中點，
所以．因為平面，平面，
所以平面．
因為，平面，平面，
所以平面．又因為，平面，
所以平面平面，B正確．
對C，因為，，所以，C正確．
對D，取的中點，連接，，則是二面角的平面角．
設(shè)正方體棱長為a，則，
又，則，所以平面與平面不垂直．
又平面平面，所以平面與平面不垂直，D錯誤．

故選：D．
10．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，若的前項和為，則，則正整數(shù)等于（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列前項和公式，即可求解.
【詳解】聯(lián)立可得或，
又因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，
則公比，

所以，
所以.
故選：B.
11．若曲線在處的切線的傾斜角為，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，然后利用二倍角公式及弦切互化計算即可.
【詳解】因為，所以，所以，
所以.
故選：D
12．已知正三棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一球面上.若該球的表面積為，且，則該正三棱錐體積的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由外接球表面積求出半徑，設(shè)球心到底面距離為，由三角函數(shù)關(guān)系解出底面三角形面積，由此可確定正三棱錐體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系.
【詳解】設(shè)球的半徑為，
因為，
所以正三棱錐外接球半徑，
設(shè)的外接圓的圓心為，
因為是正三棱錐，所以平面，
設(shè)外接球球心為，則平面，
所以，故點在直線上，
當(dāng)球心與點在平面的同側(cè)，
如圖所示，設(shè)

由已知，,
因為，，
解得，矛盾，
當(dāng)球心與點在平面的異側(cè)時或球心在平面內(nèi)時，
如圖所示，

所以，,
因為，，
解得，
所以，
又因為，所以，
所以，
所以，
令，，
由
所以在遞減，
又，，
所以當(dāng)時，即時，
三棱錐的體積取最大值，最大值為，
當(dāng)時，即時，
三棱錐的體積取最小值，最小值為，
所以正三棱錐體積的取值范圍是.

第Ⅱ卷
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．在公差不為的等差數(shù)列中，為其前項和，若，則正整數(shù)___________.
【答案】
【分析】利用等差數(shù)列通項公式和求和公式可直接構(gòu)造等式求得的值.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由得：，
即，，解得：.
故答案為：.
14．已知為正四棱錐，從O，A，B，C，D五點中任取三點，則取到的三點恰好在同一個側(cè)面的概率為_________．
【答案】/0.4
【分析】利用古典概型的概率計算公式，分析出符合題意的基本事件總數(shù)和個數(shù)，即可求解.
【詳解】解：從O，A，B，C，D五點中任取三點，
有，，，，，，，，，，共10種不同取法，
取到的三點恰好在同一個側(cè)面有，，，，共4種情況，
由古典概型的概率計算公式知，所求概率為，
故答案為：或0.4.
15．直線分別與軸?軸交于兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】首先由直線方程求得坐標(biāo)，得到；利用點到直線距離公式求得圓心到直線的距離，從而得到點到直線距離的范圍，利用三角形面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】因為直線分別與軸?軸交于兩點，
所以，????
所以
圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，
所以圓心到直線距離，
所以到直線距離，即，
.
故答案為：.

16．已知函數(shù)，的定義域均為R，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是______．（只填序號）
①為偶函數(shù)；
②為奇函數(shù)；
③；
④.
【答案】①④
【分析】結(jié)合已知條件和是奇函數(shù)求出函數(shù)的周期，然后利用周期和已知條件得出為偶函數(shù)，進(jìn)而判斷選項A；根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)，周期為4即可判斷選項B；根據(jù)的性質(zhì)分析可得，再根據(jù)的周期性即可判斷選項C；再結(jié)合函數(shù)的周期即可判斷選項D.
【詳解】因為，所以，
又因為，則有，
且是奇函數(shù)，則，可得，即，
則，
即，所以是周期為4的周期函數(shù)，
因為，則，
可得，
故也是周期為4的周期函數(shù)．
對于①：因為，則，即，
所以，所以為偶函數(shù)．故①正確；
對于②：∵
，
∴，故②錯誤；
對于③：因為，令，即，則，
又因為，令，所以，
令，則，即，
即，
所以，所以③錯誤；
對于④：因為，
所以
，
所以，所以④正確．
故答案為：①④．
【點睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．


三、 解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
17．已知的內(nèi)角的對邊分別為，
(1)求的值；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)2
(2)

【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊得到，再根據(jù)正弦定理求解即可.
（2）根據(jù)題意得到，再結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】（1）因為，由正弦定理得，
由余弦定理得，，
整理得；
（2）因為，因為，由（1）可得，則.，
又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
于是
所以的最大值為.
18．如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊二角形，，平面平面分別為棱的中點.

(1)證明：平面；
(2)若三棱柱的體積為，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）利用中位線得線線平行，進(jìn)而可證平行四邊形，由線面平行的判斷定理即可求證.
（2）根據(jù)面面垂直可得線面垂直，利用體積公式可求解,進(jìn)而根據(jù)等體積法即可求解.
【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，
則，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
因為平面平面，
所以平面.

（2）取的中點，連接.
因為是等邊三角形，所以.
又平面平面，且平面平面，
所以平面.
因為平面，所以.
因為，平面,
所以平面.
所以，得.
因為平面，所以.
在Rt和Rt中，由勾股定理可得，
所以.
設(shè)點到平面的距離為，
由，得，解得.
所以點到平面的距離為.
19．下表是中國近年來人口數(shù)據(jù)（不包括香港、澳門特別行政區(qū)和臺灣省）：
年份
2013
2014
2015
2016
人口數(shù)
13.61億
13.68億
13.75億
13.83億
(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出這四個點，再把這些點連接成線；
(2)選擇其中合適的兩個點，建立一次函數(shù)模擬，用模擬函數(shù)預(yù)測2017年中國人口數(shù)；
(3)能否用“更好”的直線來模擬這組數(shù)據(jù)的變化？也就是說，能否確定，的值，使式子的值最??？（按如下步驟進(jìn)行預(yù)測）
①化簡S，使之成為字母的二次三項式；
②當(dāng)取何值時（設(shè)為），二次三項式S取最小值（設(shè)為），這里和都應(yīng)該是含字母的式子，且是字母的二次三項式；
③求的值，使取最小值；
④求出對應(yīng)于上述的值；
⑤用一次函數(shù)模擬數(shù)據(jù)的變化，用模擬函數(shù)預(yù)測2017年中國人口數(shù)．
(4)把所得到的兩個預(yù)測數(shù)據(jù)和2017年中國實際人口數(shù)進(jìn)行比較．
【答案】(1)圖象見解析；
(2)選擇見解析，預(yù)測2017年中國人口數(shù)為13.89億；
(3)①；②，；③；④；⑤，預(yù)測2017年中國人口數(shù)13.9億.
(4)答案見解析；

【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，畫出圖象即可；
（2）選擇兩組數(shù)據(jù)，代入求解，即可求得模擬直線方程，進(jìn)而可預(yù)測2017年人口數(shù)；
（3）根據(jù)題意及數(shù)據(jù)，逐一求解各個參數(shù)，可得模擬方程，進(jìn)而可預(yù)測2017年人口數(shù)；
（4）查閱2017年人數(shù)，分析比較，即可得答案.
(1)
如圖所示：

(2)
不妨選擇前兩組數(shù)據(jù)建立一次函數(shù)模擬，設(shè)模擬方程為，
令2013年對應(yīng)x為1，則2014年對應(yīng)x為2，選取兩點進(jìn)行模擬，
代入可得，
解得，所以，
2017年，即時，，
故預(yù)測2017年中國人口數(shù)為億（選其他數(shù)據(jù)，計算合理也正確）
(3)
①


②所以當(dāng)時，S有最小值，
所以，

③由②可得當(dāng)時，有最小值，即，
④當(dāng)時，，
⑤，2017年對應(yīng)x=5，代入可得，
所以預(yù)測2017年中國人口數(shù)為13.9億.
(4)
查閱可得2017人口總數(shù)為13.9億，比較可得第二種方法算的更準(zhǔn)確，誤差更小.
【點睛】解題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，代入求解，考查分析理解，計算求值的能力，計算難度大，屬難題.
20．已知函數(shù)在點處的切線斜率為4，且在處取得極值．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若函數(shù)有三個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組求得，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性與極值；
（2）由題意得到原題意等價于與有三個交點，結(jié)合（1）中的單調(diào)性與極值，列式求解.
【詳解】（1）∵，
由題意得，解得，
所以，，
令，解得或；令，解得；
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴在處取到極大值，在處取到極小值，
故符合題意，.
（2）令，則，
原題意等價于與有三個交點，
由（1）可得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴在處取到極大值，在處取到極小值，
故，解得，
所以的取值范圍為．
21．已知圓，直線過點且與圓交于點B，C，BC中點為D，過中點E且平行于的直線交于點P，記P的軌跡為Γ
(1)求Γ的方程；
(2)坐標(biāo)原點O關(guān)于，的對稱點分別為，，點，關(guān)于直線的對稱點分別為，，過的直線與Γ交于點M，N，直線，相交于點Q.請從下列結(jié)論中，選擇一個正確的結(jié)論并給予證明.
①的面積是定值；②的面積是定值：③的面積是定值.
【答案】(1)
(2)結(jié)論③正確，證明見解析

【分析】（1）由幾何性質(zhì)知P到，兩點的距離之和為定值可得P的軌跡為橢圓；
（2）解法一、二：設(shè)直線，，，表示出直線，的方程并聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.
解法三：當(dāng)直線垂直于x軸時求得Q橫坐標(biāo)為4，當(dāng)直線不垂直于x軸時，設(shè)直線，，，表示出直線，的方程并聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.
解法四：設(shè)直線，，，表示出直線，的方程，利用在橢圓上得，將直線的方程化為，與直線聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.
【詳解】（1）由題意得，，.
因為D為BC中點，所以，即，
又，所以，
又E為的中點，所以，
所以，
所以點P的軌跡是以，為焦點的橢圓（左?右頂點除外）.
設(shè)，其中，.
則，，，.
故.

（2）解法一：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.
由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，
可設(shè)直線，，，且，.
由，得，
所以，，
所以.
直線的方程為：，直線的方程為：，
由，得，
，
解得.
故點Q在直線，所以Q到的距離，
因此的面積是定值，為.

解法二：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.
由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，
可設(shè)直線，，，且，.
由，得，
所以，，
所以.
直線的方程為：，直線的方程為：，
由，
得

，
故點Q在直線，所以Q到的距離，
因此的面積是定值，為.

解法三：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.
由題意得，，，，，且直線的斜率不為0.
（i）當(dāng)直線垂直于x軸時，，由，得或.
不妨設(shè)，，
則直線的方程為：，直線的方程為：，
由，得，所以，
故Q到的距離，此時的面積是.

（ii）當(dāng)直線不垂直于x軸時，設(shè)直線，，，且，.
由，得，
所以，.
直線的方程為：，直線的方程為：，
由，得
.
下證：.
即證，即證，
即證，
即證，
上式顯然成立，
故點Q在直線，所以Q到的距離，
此時的面積是定值，為.
由（i）（ii）可知，的面積為定值.
解法四：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.
由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，
可設(shè)直線，，，且，.
由，得，
所以，.
直線的方程為：，直線的方程為：，
因為，所以，
故直線的方程為：.
由，得
，
解得.
故點Q在直線，所以Q到的距離，
因此的面積是定值，為.

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．
22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
(1)設(shè)曲線與曲線交于，兩點，求；
(2)若，是曲線上的兩個動點，且，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）首先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再聯(lián)立兩曲線方程，求出交點坐標(biāo)，再由距離公式計算可得；
（2）首先求出曲線的坐標(biāo)方程，設(shè)，，即可表示出，再利用二倍角公式公式化簡，最后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
所以，又，所以曲線的普通方程為，
又曲線的極坐標(biāo)方程為，由，
所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，
由，解得或，所以.
（2）又，所以，
所以，即曲線的極坐標(biāo)方程為，
因為，所以設(shè)，，
所以


，
所以當(dāng)時取得最小值，
當(dāng)時取得最大值，
所以的取值范圍為.
23．[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知，，．
(1)證明：．
(2)證明：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解；
（2）利用分析法及作差比較法即可求解.
【詳解】（1）由基本不等式可得可得
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
又由，得，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
故原不等式得證.
（2）要證，即證
即證
令，即證
因為且
故，即原不等式得證.



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2023年高考押題預(yù)測卷數(shù)學(xué)03（乙卷理科）（全解全析）：

這是一份2023年高考押題預(yù)測卷數(shù)學(xué)03（乙卷理科）（全解全析），共20頁。試卷主要包含了選擇題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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