一、選擇題（每題5分，共60分）
1. 設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可
【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤
故選:
2. 下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（ ）
A. (3x)′＝3xln3
B. (x2lnx)′＝2xlnx＋x
C. ′＝
D. (sinx·csx)′＝cs2x
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算后判斷各選項(xiàng)．
【詳解】由指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法則得A正確；
，B正確；
，C錯(cuò)誤；
，D正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3. 設(shè)隨機(jī)變量，若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)分布求解即可
【詳解】
解得
故選：A
4. 某班有4名同學(xué)報(bào)名參加校運(yùn)會(huì)的五個(gè)比賽項(xiàng)目，且每人參加一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法有（ ）
A 種B. 種C. 種D. 種
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理直接求得.
【詳解】4名同學(xué)報(bào)名參加校運(yùn)會(huì)的五個(gè)比賽項(xiàng)目，且每人參加一項(xiàng)，有種.
故選：B
5. 設(shè)全集為，對(duì)于集合，，則“”是“存在集合，使得且”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】通過集合的包含關(guān)系,以及充分條件和必要條件的判斷,可推出結(jié)果.
【詳解】由題意,則,當(dāng)時(shí),,可得;
”能推出“存在集合，使得且.
故選:C
【點(diǎn)睛】本題考查集合與集合間的關(guān)系,充分條件和必要條件的判斷,考查了對(duì)基本知識(shí)的掌握能力,做題時(shí)要認(rèn)真審題,屬于基礎(chǔ)題.
6. 已知函數(shù)，則（ ）．
A. B. 5C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】求導(dǎo)得，取代入可得，從而求出．
【詳解】，∴，即，
∴，則，
故選：D
7. 已知的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，則二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，由各項(xiàng)系數(shù)和可求得；根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式，由可求得系數(shù).
【詳解】令，則，解得：，
展開式通項(xiàng)為：；
令，解得：，的系數(shù)為.
故選：B.
8. 設(shè)A，B為兩個(gè)事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，則P(AB)=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用條件概率的概率公式計(jì)算可得；
【詳解】解：由條件概率的計(jì)算公式，可得：
故選：B
9. 設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系判斷即可；
【詳解】解：由的圖象可知，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，故排除C、D；
當(dāng)時(shí)先遞減、再遞增最后遞減，所以所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值應(yīng)該先小于，再大于，最后小于，故排除B；
故選：A
10. 下列敘述：①某人射擊次，“射中環(huán)”與“射中環(huán)”是互斥事件；
②甲、乙兩人各射擊次，“至少有人射中目標(biāo)”與“沒有人射中目標(biāo)”是對(duì)立事件；
③拋擲一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)次正面向上，則第次出現(xiàn)反面向上概率大于；
④若樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為．則所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A. ①③B. ①②④C. ②④D. ①②
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用互斥事件的定義可判斷①，對(duì)立事件的定義可判斷②，由連續(xù)拋擲一枚硬幣屬于獨(dú)立重復(fù)事件，根據(jù)概率的的定義可判斷③；由方差的性質(zhì)的公式可判斷④.
【詳解】對(duì)于①. 某人射擊次，“射中環(huán)”與“射中環(huán)”是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，
所以是互斥事件，故①正確.
對(duì)于②. 甲、乙兩人各射擊次，“至少有人射中目標(biāo)”包括：1人射中，1人沒有射中和2人都射中.
由對(duì)立事件的定義：“至少有人射中目標(biāo)”與“沒有人射中目標(biāo)”是對(duì)立事件. 故②正確.
對(duì)于③. 拋擲一枚硬幣次，屬于獨(dú)立重復(fù)事件，每次出現(xiàn)正面向上的概率為，出現(xiàn)反面向上的概率為，
所以連續(xù)出現(xiàn)次正面向上，第次出現(xiàn)反面向上的概率為，故不③正確.
對(duì)于④. 設(shè)數(shù)據(jù)，，，的方差為
由樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，即
由，解得，故④正確.
故選：B
11. 已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在直線上，記，則（ ）．
A. M的最小值為B. 當(dāng)M最小時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為
C. M的最小值為D. 當(dāng)M最小時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為
【答案】B
【解析】
【分析】先判定與直線平行且與的圖象相切的直線的位置，切點(diǎn)到直線的距離即為M的最小值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)和M的最小值，再聯(lián)立直線方程求出Q的橫坐標(biāo).
【詳解】將化為，
即直線l的斜率為，
因?yàn)?，所以?br>令，得，
∴當(dāng)M最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
此時(shí)點(diǎn)P到直線的距離為，
所以M的最小值為；
過點(diǎn)P且垂直于的直線方程為，
聯(lián)立，得，
即點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為.
故選:B．
12. 對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?，則稱為倍值函數(shù).若是倍值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可看出在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得出是方程的兩個(gè)不同根，從而得出，通過求導(dǎo)，求出的值域，進(jìn)而可得到的范圍．
【詳解】解：在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
，
即，
即是方程的兩個(gè)不同根，
∴，
設(shè)，
∴時(shí)，；時(shí)，，
∴是的極小值點(diǎn)，
的極小值為：，
又趨向0時(shí)，趨向；趨向時(shí)，趨向，
時(shí)，和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)解，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)倍值函數(shù)的理解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
二、填空題（每題5分，共30分）
13. 《西游記》第六十二回“滌垢洗心惟掃塔縛魔歸正乃修身”，描寫了一只小妖，他說：“我兩個(gè)是亂石山碧波潭萬圣龍王差來巡塔的.他叫做奔波兒灞，我叫做灞波兒奔.”如果這族小妖都是用這四個(gè)字不同順序命名，那么還可以命制_________個(gè)名字.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)的公式，求得共有種不同命名分式，即可求解.
【詳解】由題意，這族小妖都是用這四個(gè)字不同順序命名，共有種不同命名分式，
所以還可以命制個(gè)名字.
故答案為：.
14. 已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，系數(shù)的最大值為，則___________.
【答案】12
【解析】
【分析】由的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，可知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)為，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開式的系數(shù)為，當(dāng)滿足時(shí)，系數(shù)的最大值為，求解即可.
【詳解】由題意可知
展開式的二項(xiàng)式系數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，取得最大值
展開式的系數(shù)為，
當(dāng)滿足時(shí)，系數(shù)最大.
即
，即解得
又
時(shí)，系數(shù)的最大值為
則
故答案為：12
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，求二項(xiàng)式系數(shù)最大值時(shí)，列出不等式組是解決本題的關(guān)鍵.屬于一道較難的題.
15. 已知函數(shù)在處有極大值，則______.
【答案】
【解析】
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由求得值，然后對(duì)所得結(jié)果加以檢驗(yàn)即可．
【詳解】由已知，
可得，
令，解得或，
由可得，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
不是極大值點(diǎn)，舍去；
由可得，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．
綜上．
故答案為：．
16. 有4個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子去參加籃球和乒乓球的體育活動(dòng)，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去打籃球，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去打乒乓球。用，分別表示這4個(gè)人中去打籃球和乒乓球的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為______.
【答案】##
【解析】
【分析】由條件確定隨機(jī)變量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.
【詳解】由已知可得隨機(jī)變量的取值有，
因?yàn)橐粋€(gè)人去打籃球的概率為，去打乒乓球的概率為，
所以，
，
，
所以隨機(jī)變量分布列如下：
所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.
故答案為：.
17. 從集合的非空子集中隨機(jī)任取兩個(gè)不同的集合和，則使得的不同取法的概率為________（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出集合的非空子集個(gè)數(shù)，依題意對(duì)集合、中元素的個(gè)數(shù)分類討論，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；
【詳解】解：集合的非空子集有個(gè)，
從中任取兩個(gè)不同的集合和共有種，
要使，
①中含有個(gè)元素，中也含有個(gè)元素，有種，
②中含有個(gè)元素，中含有個(gè)元素，有種，
③中含有個(gè)元素，中含有個(gè)元素，有種，
即滿足的集合、的取法有種；
故概率；
故答案為：
18. 設(shè)集合，則集合中的元素從小到大排列的第 個(gè)數(shù)是_______
【答案】135
【解析】
【分析】利用分析中集合包含所有正奇數(shù)，所有4的整數(shù)倍的正整數(shù)，而所有被4除余2的正整數(shù)都不屬于，由此可得出結(jié)論．
【詳解】，則，因此所有正奇數(shù)都屬于集合，
又，，
因此所有4的整數(shù)倍的正整數(shù)也屬于，
若，，
則和中一定是一個(gè)取奇數(shù)，一個(gè)取偶數(shù)，但是時(shí)，與同奇偶，
所以此時(shí)無解，即所有被4除余2的正整數(shù)都不屬于，
前130個(gè)正整數(shù)中屬于集合的數(shù)的個(gè)數(shù)是，以后依次為131,132,133,135，
第101個(gè)數(shù)是135．
故答案為：135．
三、解答題（每題12分，共60分）
19. 已知函數(shù).
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求的值；
（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值.
【答案】（1）；（2）最大值是 1，最小值是．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求解；
（2）先求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值，比較極值和端點(diǎn)值最大的為最大值，最小的為最小值．
【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
因?yàn)榍€在點(diǎn)，處的切線斜率為，
所以，
即，
解得．
（2）令，即，
解得，或，
因?yàn)?，?br>當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如表所示：
所以在區(qū)間，上的最大值是 1，最小值是．
20. 某校組織防控疫情知識(shí)競賽活動(dòng)，某班經(jīng)過層層篩選后剩下甲?乙兩名同學(xué)爭奪一個(gè)參賽名額，該班設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲方案決定誰去參加，規(guī)則如下：一個(gè)袋中裝有6個(gè)大小相同的小球，其中標(biāo)號(hào)為i的球有i個(gè)，2，，甲同學(xué)從6個(gè)球中隨機(jī)摸取3個(gè)球記下球的標(biāo)號(hào)之和后放回，乙同學(xué)再從中摸出3個(gè)球記下其標(biāo)號(hào)之和，兩人中所取球的標(biāo)號(hào)之和多者獲勝.
（1）求甲所取球的標(biāo)號(hào)之和為7的概率；
（2）求甲獲勝的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）假設(shè)標(biāo)號(hào)為1的球?yàn)椋瑯?biāo)號(hào)為2的球?yàn)?，，?biāo)號(hào)為3的球?yàn)?，，，利用列舉法能求出甲所取球的標(biāo)號(hào)之和為7的概率．
（2）每人標(biāo)號(hào)之和為、、、、的概率，再利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式及互斥事件的概率公式求出甲獲勝的概率．
【小問1詳解】
解：記標(biāo)號(hào)為1的球?yàn)椋瑯?biāo)號(hào)為2的球?yàn)?，，?biāo)號(hào)為3的球?yàn)?，，?br>則每位同學(xué)取球標(biāo)號(hào)的所有情況為：，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共20種，
甲所取球的標(biāo)號(hào)之和為7的情況為：，，，，，共6種，
所以甲所取球的標(biāo)號(hào)之和為7的概率．
【小問2詳解】
解：由（1）知，每人標(biāo)號(hào)之和為5的概率，
標(biāo)號(hào)之和為6的概率，標(biāo)號(hào)之和為8的概率，標(biāo)號(hào)之和為9的概率為，標(biāo)號(hào)之和為7的概率，
則甲獲勝的概率．
21. 2022年冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)主辦城市是北京，北京成為第一個(gè)舉辦過夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)以及亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)三項(xiàng)國際賽事的城市！為迎接冬奧會(huì)的到來，某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：
（1）在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所來調(diào)查研究，求這3所學(xué)校參與“自由式滑雪”都超過40人的概率；
（2）“單板滑雪”參與人數(shù)超過45人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)?！?，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記為選出可作“基地學(xué)?！钡膶W(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試．規(guī)定：在一輪測試中，這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”．在集訓(xùn)測試中，小明同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測試互不影響．如果小明同學(xué)在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的平均值達(dá)到5次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪測試？
【答案】（1）；
（2）分布列見解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型結(jié)合組合公式求解；（2）寫出的可能取值，利用超幾何分布求得分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式求得期望；（3）先計(jì)算得小明同學(xué)一輪測試得“優(yōu)秀”的概率，再利用二項(xiàng)分布的期望公式列不等式求解.
【小問1詳解】
記“從10所學(xué)校中隨機(jī)選取3所學(xué)校參與“自由式滑雪”都超過40人”為事件A，
參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過40人的學(xué)校共4所，
隨機(jī)選擇3所學(xué)校共種，所以.
【小問2詳解】
的所有可能取值為，
參與“單板滑雪”人數(shù)在45人以上的學(xué)校共4所，
所以，，
，，
所以的分布列如下表：
所以.
【小問3詳解】
記“小明同學(xué)在一輪測試中要想獲得優(yōu)秀”為事件B，
則，
由題意，小明同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，
由題意列式，得，
因?yàn)?，所以的最小值為?br>故至少要進(jìn)行輪測試.
【點(diǎn)睛】超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．
22. 已知函數(shù)，其中常數(shù).
（Ⅰ）若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；
（Ⅱ）如果函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析；（Ⅱ）見解析.
【解析】
【詳解】試題分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)等價(jià)于或?qū)Τ闪?，分離參數(shù)即可求得實(shí)數(shù)的最大值；（Ⅱ）對(duì)進(jìn)行和分類討論，時(shí)，由（Ⅰ）可得函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，而，可得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得極值點(diǎn)，通過判斷可得，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，從而函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，再對(duì)進(jìn)行分類討論，從而可求得的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)椋渲?br>因?yàn)槭菃握{(diào)函數(shù)，所以或?qū)Τ闪?br>當(dāng)對(duì)成立時(shí)，，
即對(duì)成立
所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到
當(dāng)對(duì)成立時(shí)，，
即對(duì)成立
所以，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)這種情形不成立綜上，，所以實(shí)數(shù)的最大值為.
（Ⅱ）由（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，而，
（或者說：當(dāng)時(shí)，，時(shí)，）
所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，令，得，
當(dāng)時(shí)，
所以的變化情況如下表
因?yàn)?br>而，
所以
注意到
所以，
所以
所以在時(shí)，，
(或者說：注意到，因?yàn)闀r(shí)，，
所以）
所以函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，
而當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)，
其中（舍）
所以的變化情況如下表
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
函數(shù)的唯一的一個(gè)極小值，即最小值為，符合題意，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
則，而當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間上還有一個(gè)零點(diǎn)，矛盾
當(dāng)，即時(shí)
則，而此時(shí)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間上還有一個(gè)零點(diǎn)，矛盾
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或
點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題、其中分類討論思想.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題，解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出．本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等．
23. 已知集合，若集合，且對(duì)任意的，存在，，使得（其中），則稱集合為集合的一個(gè)元基底．
（1）分別判斷下列集合是否為集合的一個(gè)二元基底，并說明理由；
①，；
②，．
（2）若集合是集合的一個(gè)元基底，證明：；
（3）若集合為集合的一個(gè)元基底，求出的最小可能值，并寫出當(dāng)取最小值時(shí)的一個(gè)基底．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）見解析
【解析】
【分析】（1）利用二元基底的定義加以驗(yàn)證，可得不是的一個(gè)二元基底.，是的一個(gè)二元基底.．
（2）設(shè)，計(jì)算出的各種情況下的正整數(shù)個(gè)數(shù)并求出它們的和，結(jié)合題意得，即．
（3）由（2）可知，所以，并且得到結(jié)論“基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)”．再討論當(dāng)時(shí)，集合的所有情況均不可能是的4元基底，而當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底，由此可得 的最小可能值為5．
【小問1詳解】
①不是的一個(gè)二元基底.
理由是；
②是的一個(gè)二元基底.
理由是，
.
【小問2詳解】
不妨設(shè)，則
形如 的正整數(shù)共有個(gè)；
形如 的正整數(shù)共有個(gè)；
形如 的正整數(shù)至多有個(gè)；
形如 的正整數(shù)至多有個(gè).
又集合含個(gè)不同的正整數(shù)，為集合的一個(gè)元基底.
故，即.
【小問3詳解】
由（2）可知，所以.
當(dāng)時(shí)，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè). *
假設(shè)為的一個(gè)4元基底，
不妨設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)或.
如果，則由，與結(jié)論*矛盾.
如果，則或.易知和都不是4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，均不可能是4元基底.
當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要寫出一個(gè)即可.
綜上，的最小可能值為5.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.1
0
0
1
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
1
0
0
極大
極小
0
極小

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