∴橢圓方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，且F(－1,0)，A(2,0)，
解法一：設(shè)P(x，y)，由上述解法知eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－x－2＝eq \f(1,4)(x－2)2(－2≤x≤2)，顯然當(dāng)x＝－2時(shí)，eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))最大且最大值為4.
解法二：設(shè)P(2cs θ，eq \r(3)sin θ)，則eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝(－1－2cs θ，－eq \r(3)sin θ)·(2－2cs θ，－eq \r(3)sin θ)＝cs2θ－2cs θ＋1＝(cs θ－1)2≤4.
當(dāng)且僅當(dāng)cs θ＝－1時(shí)取等號(hào)，
故eq \(PF,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))的最大值為4.
2．(2024·云南曲靖一中階段測(cè)試)曲線(xiàn)eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上點(diǎn)到直線(xiàn)x－2y＋8＝0距離的最小值為 eq \f(3\r(5),5) .
[解析] 解法一：令x－2y＋m＝0與eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1相切，聯(lián)立整理可得25y2－16my＋4m2－36＝0，
所以Δ＝256m2－400(m2－9)＝0，可得m＝±5，
當(dāng)x－2y＋5＝0，此時(shí)與x－2y＋8＝0的距離為eq \f(|8－5|,\r(1＋4))＝eq \f(3\r(5),5)，
當(dāng)x－2y－5＝0，此時(shí)與x－2y＋8＝0的距離為eq \f(|8＋5|,\r(1＋4))＝eq \f(13\r(5),5)，
所以曲線(xiàn)到直線(xiàn)距離的最小值為eq \f(3\r(5),5).
解法二：設(shè)x＝3cs θ，則y＝2sin θ，則曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)x－2y＋8＝0的距離d＝eq \f(|3cs θ－4sin θ＋8|,\r(5))＝eq \f(|5cs?θ＋φ?＋8|,\r(5))≥eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5).eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(4,3)，且cs?θ＋φ?＝－1時(shí)取等號(hào) ))，即dmin＝eq \f(3\r(5),5).
名師點(diǎn)撥：與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的解法
1．利用數(shù)形結(jié)合，利用橢圓的性質(zhì)或直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系求解．
2．利用基本不等式求解．
3．構(gòu)造函數(shù)，利用橢圓方程消元，化為二次函數(shù)求解．注意自變量的取值范圍．
4．橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的點(diǎn)到定點(diǎn)或定直線(xiàn)距離相關(guān)的最值問(wèn)題，可用三角換元法求解，即令x＝acs θ，y＝bsin θ，將其化為三角函數(shù)最值問(wèn)題求解．
【變式訓(xùn)練】
(2024·江蘇南通海安中學(xué)月考)P為橢圓C：eq \f(x2,4)＋y2＝1上一點(diǎn)，A(1,0)，則|PA|最小值為( D )
A．1 B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(6),3)
[解析] 解法一：設(shè)P(x，y)，則|PA|＝eq \r(?x－1?2＋y2)＝eq \r(\f(3,4)x2－2x＋2)＝eq \r(\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3)))2＋\f(2,3))，由于－2≤x≤2，故當(dāng)x＝eq \f(4,3)時(shí)，|PA|min＝eq \f(\r(6),3).故選D.
解法二：設(shè)P(2cs θ，sin θ)，θ∈R，則|PA|＝eq \r(?2cs θ－1?2＋sin2θ)＝eq \r(4cs2θ－4cs θ＋1＋sin 2θ)＝eq \r(3cs2θ－4cs θ＋2)＝eq \r(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ－\f(2,3)))2＋\f(2,3))，由于－1≤cs θ≤1，故當(dāng)cs θ＝eq \f(2,3)時(shí)，|PA|取最小值eq \f(\r(6),3)，故選D.

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