課程標準 1.通過方程的解,認識復數(shù). 2.理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個復數(shù)相等的含義. 3.掌握復數(shù)的四則運算,了解復數(shù)加、減運算的幾何意義.
1.復數(shù)的有關概念(1)復數(shù)的定義:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復數(shù),其中___是復數(shù)z的實部,____是復數(shù)z的虛部,i為虛數(shù)單位.
(2)復數(shù)的分類:復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
(ac-bd)+(ad+bc)i
4.i的乘方具有周期性i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N).i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
1.判斷下列結論是否正確(正確的在括號內打“√”,錯誤的在括號內打“×”).(1)復數(shù)z=a-bi(a,b∈R)中,虛部為b.(  )(2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念,因此復數(shù)可以比較大?。?  )(3)已知z=a+bi(a,b∈R),當a=0時,復數(shù)z為純虛數(shù).(  )(4)復數(shù)的模實質上就是復平面內復數(shù)對應的點到原點的距離,也就是復數(shù)對應的向量的模.(  )
解析:復數(shù)的虛部是虛數(shù)單位的系數(shù),復數(shù)不能比較大小,當a=0且b≠0時,復數(shù)z為純虛數(shù),故(1)(2)(3)不正確.
2.已知復數(shù)z滿足z(1+i)=2+3i,則在復平面內z對應的點位于(  )A.第一象限    B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
3.若z=(m2+m-6)+(m-2)i為純虛數(shù),則實數(shù)m的值為__________.
4.已知復數(shù)z滿足(3+4i)·z=5(1-i),則z的虛部是________.
(2)(2022·浙江卷)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位),則(  )A.a(chǎn)=1,b=-3    B.a(chǎn)=-1,b=3C.a(chǎn)=-1,b=-3 D.a(chǎn)=1,b=3
1.復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題,只需把復數(shù)化為代數(shù)形式,列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.2.解題時一定要先看復數(shù)是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實部和虛部.
2.(2020·浙江卷)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù),則a=(  )A.1 B.-1C.2 D.-2解析:∵(a-1)+(a-2)i為實數(shù),∴a-2=0,∴a=2.
1.復數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算.2.復數(shù)的除法關鍵是分子、分母同乘分母的共軛復數(shù).
設出具體復數(shù),依然根據(jù)復數(shù)的四則運算進行證明或化簡求值.
3.設復數(shù)z滿足|z-1|=2,z在復平面內對應的點為(x,y),則(  )A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4C.x2+(y-1)2=4 D.x2+(y+1)2=4解析:z在復平面內對應的點為(x,y),則復數(shù)z=x+yi(x,y∈R),則|z-1|=|(x-1)+yi|=2,由復數(shù)的模長公式可得(x-1)2+y2=4.
[解析] 設復數(shù)z在復平面內對應的點為Z,因為復數(shù)z滿足|z+i|=|z-i|,所以由復數(shù)的幾何意義可知,點Z到點(0,-1)和(0,1)的距離相等,所以在復平面內點Z的軌跡為x軸.又|z+1+2i|表示點Z到點(-1,-2)的距離,所以問題轉化為x軸上的動點Z到定點(-1,-2)距離的最小值,所以|z+1+2i|的最小值為2.
根據(jù)題意列問題式,數(shù)形結合利用幾何意義或通過求最值的方法(導數(shù)、基本不等式、函數(shù)單調性等)進行計算.

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