1.(2024·北京房山區(qū)開學考)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq \r(5)，其中一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－2)2＝1交于A，B兩點，則|AB|＝ eq \f(2\r(5),5) .
[解析] 由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，c2＝a2＋b2得eq \f(b,a)＝2，∴漸近線方程為2x－y＝0，又圓心(2,2)到漸近線的距離d＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，∴|AB|＝2eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq \f(2\r(5),5).
2．(2024·江蘇南京六校聯(lián)合調(diào)研)已知直線l：λx－y－λ＋1＝0和圓C：x2＋y2－4y＝0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為( D )
A．2 B．eq \r(2)
C．4 D．2eq \r(2)
[解析] 直線l：λ(x－1)－y＋1＝0過定點P(1,1)，顯然P在圓內(nèi)，則直線l與圓必有兩交點，因為圓心C(0,2)到直線l的距離d≤eq \r(?1－0?2＋?1－2?2)＝eq \r(2)，所以|AB|＝2eq \r(22－d2)≥2eq \r(2).故選D.
[引申]本例中|AB|最小時AB的方程為 x－y＝0 .
[解析] |AB|最小時P為AB的中點，且kAB＝－eq \f(1,kPC)＝1，∴AB的方程為y－1＝x－1，即x－y＝0.
角度2 弦的中點問題
(2024·湖北云學新高考聯(lián)盟聯(lián)考)若點A、B在圓C1：(x－2)2＋y2＝3上運動，|AB|＝2eq \r(2)，P為AB的中點．Q點在圓C2：(x＋2)2＋y2＝1上運動，則|PQ|的最小值為( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵點A、B在圓C1：(x－2)2＋y2＝3上運動，|AB|＝2eq \r(2)，∴AB中點P到圓心C1(2,0)的距離為eq \r(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))2)＝1，由圓的定義可知，點P的運動軌跡為以C1(2,0)，半徑1的圓(x－2)2＋y2＝1，
又∵Q點在圓C2：(x＋2)2＋y2＝1，
∴|PQ|的最小值為|C1C2|－1－1＝2.故選B.
名師點撥：
1．求直線被圓截得的弦長的常用方法
2.若弦AB的中點為(x0，y0)，圓的方程為x2＋y2＝r2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)＝r2，,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)＝r2，))∴kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(x0,y0).
【變式訓練】
1．(角度1)(2024·云南曲靖一中月考)直線l與直線x－y＋3＝0垂直，且被圓(x－2)2＋(y－3)2＝8截得的弦長為2eq \r(6)，則直線l的一個方程為 x＋y－3＝0或x＋y－7＝0 .(寫出一個方程即可)
[解析] 由直線l與直線x－y＋3＝0垂直，可設l：x＋y＋m＝0，圓(x－2)2＋(y－3)2＝8的圓心坐標為(2,3)，半徑為2eq \r(2)，因為弦長為2eq \r(6)，所以圓心到直線l的距離為d＝eq \r(?2\r(2)?2－?\r(6)?2)＝eq \r(2)，即eq \f(|2＋3＋m|,\r(2))＝eq \r(2)，解得m＝－7或m＝－3，則直線l的方程為x＋y－3＝0或x＋y－7＝0.
2．(角度2)(2024·山東臨沂聯(lián)考)已知A，B為圓O：x2＋y2＝1上的兩點，|AB|＝eq \r(3)，M為AB的中點，則M到直線l：x－eq \r(3)y＋2＝0距離的最小值為 eq \f(1,2) .
[解析] 由垂徑定理可知2eq \r(1－|OM|2)＝eq \r(3)，∴|OM|＝eq \f(1,2)，∴M的軌跡是以O為圓心，eq \f(1,2)為半徑的圓，O到l的距離d＝eq \f(2,\r(4))＝1，∴M到直線l距離的最小值為d－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).幾
何
法
直線被圓截得的半弦長eq \f(l,2)，弦心距d和圓的半徑r構成直角三角形，且r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2＋d2
代
數(shù)
法
聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉化為關于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關系即可求得弦長|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2)(k≠0)

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