(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程；
(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？
(3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
[解析] (1)過點(diǎn)P的直線l與原點(diǎn)的距離為2，而點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－1)，顯然，過點(diǎn)P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件，
此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2.
若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得eq \f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq \f(3,4).
此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0.
綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作圖可得過點(diǎn)P與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過點(diǎn)P且與PO垂直的直線，如圖．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2.
由直線方程的點(diǎn)斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.
所以直線2x－y－5＝0是過點(diǎn)P且與原點(diǎn)O的距離最大的直線，最大距離為eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5).
(3)由②可知，過點(diǎn)P不存在到原點(diǎn)的距離超過eq \r(5)的直線，因此不存在過點(diǎn)P且到原點(diǎn)的距離為6的直線．
2．(2024·河南豫南名校質(zhì)檢、河北金科聯(lián)考)若直線l1：x＋ay－2＝0與l2：2x＋(a2＋1)y－2＝0平行，則兩直線之間的距離為( C )
A.eq \r(2) B．1
C．eq \f(\r(2),2) D．2
[解析] 依題意，2a＝a2＋1，解得a＝1，所以兩直線分別為x＋y－2＝0，x＋y－1＝0，所以兩直線之間的距離為eq \f(|2－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，故選C.
名師點(diǎn)撥：距離的求法
1．點(diǎn)到直線的距離
可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式．
2．兩平行直線間的距離
(1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；
(2)利用兩平行線間的距離公式．
提醒：在應(yīng)用兩條平行線間的距離公式時(shí)，應(yīng)把直線方程化為一般形式，且使x、y的系數(shù)分別相等．
【變式訓(xùn)練】
1．(2020·高考全國Ⅲ)點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為( B )
A．1 B．eq \r(2)
C.eq \r(3) D．2
[解析] 解法一：由y＝k(x＋1)可知直線過定點(diǎn)P(－1,0)，設(shè)A(0，－1)，當(dāng)直線y＝k(x＋1)與AP垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線y＝k(x＋1)距離最大，即為|AP|＝eq \r(2)，故選B.
解法二：因?yàn)辄c(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離d＝eq \f(|1＋k|,\r(k2＋1))＝eq \r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq \r(1＋\f(2k,k2＋1))；∵要求距離的最大值，故需k>0；可得d＝eq \r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))≤eq \r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào))，故選B.
2．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq \f(2\r(13),13)，則c的值是 2或－6 .
[解析] 6x＋ay＋c＝0?3x＋eq \f(a,2)y＋eq \f(c,2)＝0，由題意知eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)－?－1?)),\r(32＋?－2?2))＝eq \f(2\r(13),13)，解得c＝2或－6.
3．(多選題)(2024·河南部分學(xué)校聯(lián)考)已知點(diǎn)A(1,3)，B(－5,1)到直線l的距離相等，則直線l的方程可以是( ABD )
A．x－3y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．2x＋y＋2＝0
[解析] 由點(diǎn)A(1,3)，B(－5,1)到直線l的距離相等，得直線l過線段AB的中點(diǎn)或l∥AB，對(duì)于A，直線AB的方程為eq \f(y－3,1－3)＝eq \f(x－1,－5－1)，即x－3y＋8＝0，故A符合；對(duì)于B，將線段AB的中點(diǎn)(－2,2)代入得3×(－2)＋2＋4＝0，所以直線3x＋y＋4＝0過線段AB的中點(diǎn)，故B符合；對(duì)于C，將線段AB的中點(diǎn)(－2,2)代入得3×(－2)－2＋6＝－2≠0，所以直線3x－y＋6＝0不過線段AB的中點(diǎn)，故C不符合；對(duì)于D，將線段AB的中點(diǎn)(－2,2)代入得2×(－2)＋2＋2＝0，所以直線2x＋y＋2＝0過線段AB的中點(diǎn)，故D符合．故選ABD.

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