2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點突破訓(xùn)練題第8章平面解析幾何第2講兩條直線的位置關(guān)系考點3對稱問題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
[解析] 由ax＋y＋3a－1＝0，可得y－1＝－a(x＋3)，所以M(－3,1)，(M不在直線2x＋3y－6＝0上)
解法一：設(shè)點N(x，y)為所求方程直線上一點，則點(－6－x,2－y)在直線2x＋3y－6＝0上，∴2(－6－x)＋3(2－y)－6＝0，即所求直線方程為2x＋3y＋12＝0.故選D.
解法二：設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于M點對稱的直線方程為2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，則eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程為2x＋3y＋12＝0，故選D.
解法三：在直線2x＋3y－6＝0上取點A(0,2)、B(3,0)，則A、B關(guān)于M的對稱點分別為A′(－6,0)，B′(－9,2)，又kA′B′＝eq \f(2－0,－9－?－6?)＝－eq \f(2,3)，故所求直線方程為y＝－eq \f(2,3)(x＋6)，即2x＋3y＋12＝0.故選D.
角度2 點關(guān)于線的對稱
(2024·山東濟(jì)南中學(xué)月考)一入射光線經(jīng)過點M(2,6)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(－3,4)，則反射光線所在直線方程為( D )
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
[解析] 設(shè)點M(2,6)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－6,a－2)＝－1，,\f(a＋2,2)－\f(b＋6,2)＋3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝5，))∴M′(3,5)，∴kM′N＝eq \f(5－4,3－?－3?)＝eq \f(1,6).∴所求直線方程為y－4＝eq \f(1,6)(x＋3)，即x－6y＋27＝0.故選D.
(注：當(dāng)對稱軸斜率為±1時，可用代入法直接求得對稱點坐標(biāo)，
如：將x＝2代入x－y＋3＝0得y＝5，
將y＝6代入x－y＋3＝0得x＝3，
從而知M(2,6)關(guān)于x－y＋3＝0的對稱點為M′(3，5)．)
[引申]本例中入射光線所在直線的方程為 6x－y－6＝0 .
[解析] N(－3,4)關(guān)于直線l的對稱點N′(1,0)，
又k＝eq \f(6－0,2－1)＝6，
∴所求直線方程為y＝6(x－1)，即6x－y－6＝0.
角度3 線關(guān)于線的對稱
(2022·合肥模擬)已知直線l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直線l2與l1關(guān)于l對稱，則l2的方程是( B )
A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
[解析] 解法一：因為l1與l2關(guān)于l對稱，所以l1上任一點關(guān)于l的對稱點都在l2上，故l與l1的交點(1,0)在l2上．又易知(0，－2)為l1上一點，設(shè)它關(guān)于l的對稱點為(x，y)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋0,2)－\f(y－2,2)－1＝0，,\f(y＋2,x)×1＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，))即(1,0)，(－1，－1)為l2上兩點，可得l2的方程為x－2y－1＝0.
解法二：在l1上取兩點A(0，－2)，B(1,0)，則A、B關(guān)于l的對稱點分別為A′(－1，－1)，B′(1,0)，∴kA′B′＝eq \f(0－?－1?,1－?－1?)＝eq \f(1,2).∴l(xiāng)2的方程為y－0＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0.故選B.
解法三：設(shè)P(x，y)是直線l2上任一點，則P關(guān)于直線l的對稱點為P′(y＋1，x－1)，又P′∈l1，∴2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即直線l2的方程為x－2y－1＝0.故選B.
名師點撥：對稱問題的解法
以光線反射為代表的很多實際問題，都可以轉(zhuǎn)化為對稱問題，關(guān)于對稱問題，一般常見的有：
1．中心對稱：轉(zhuǎn)化為中點問題處理
(1)點P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))
(2)直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決．
有兩種解法：①在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程．
②求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．
2．軸對稱：轉(zhuǎn)化為垂直平分線問題處理
(1)點A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
(2)直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決．
分兩種情況：①若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點，求出該點關(guān)于軸的對稱點，然后用點斜式求解．
②若直線與對稱軸相交，則先求出交點，然后再取直線上一點，求該點關(guān)于軸的對稱點，最后由兩點式求解．
【變式訓(xùn)練】
已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：
(1)(角度2)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)；
(2)(角度3)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；
(3)(角度1)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．
[解析] (1)設(shè)A′(x，y)，由已知條件得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13).))
∴A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33,13)，\f(4,13))).
(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M′必在直線m′上．
設(shè)對稱點M′(a，b)，則
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
設(shè)直線m與直線l的交點為N，則
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．
又∵m′經(jīng)過點N(4,3)，
∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.
(3)設(shè)P(x，y)在l′上任意一點，
則P(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)，
∵點P′在直線l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.