[解析] 當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線斜率不存在時(shí)，其方程為x＝1，顯然到圓心C(－1,2)的距離等于半徑2，故是圓的一條切線；當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，由eq \f(|－k－2－k＋3|,\r(k2＋1))＝2得k＝－eq \f(3,4)，故切線的方程為3x＋4y－15＝0.
[引申]本例2中過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程為 2x＋y－4＝0 .
[解析] 解法一：設(shè)兩切點(diǎn)為A、B，由CA⊥PA，CB⊥PB知P、A、C、B四點(diǎn)共圓且其方程為x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,2)))2＝eq \f(5,4)，兩圓方程相減得AB方程為2x＋y－4＝0.
解法二：kPC＝eq \f(1,2)，故可設(shè)過(guò)切點(diǎn)A、B的直線的方程為2x＋y＋c＝0，設(shè)AB交PC于H，由AC＝2，PC＝eq \r(5)知CH＝eq \f(AC2,PC)＝eq \f(4\r(5),5).即C到AB的距離eq \f(|c|,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，解得c＝－4或4(舍去)，故AB方程為2x＋y－4＝0.
名師點(diǎn)撥：解決直線與圓相切問(wèn)題的策略
【變式訓(xùn)練】
(2024·云南昆明一中雙基檢測(cè))已知圓O：x2＋y2＝2，點(diǎn)Q為直線l：x＋y－4＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，QE，QF是圓C的兩條切線，E，F(xiàn)是切點(diǎn)，當(dāng)四邊形OEQF面積最小時(shí)，直線EF的方程為( A )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋2y－1＝0 D．x－2y＋1＝0
[解析] 由題意可得，OE⊥QE，OF⊥QF，所以四邊形OEQF的面積S＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×|QE|×|OE|))＝|QE|×|OE|＝eq \r(|OQ|2－|OE|2)×|OE|＝eq \r(2)×eq \r(|OQ|2－2)，所以當(dāng)|OQ|最小時(shí)，四邊形OEQF的面積最小，此時(shí)直線OQ與直線l垂直，l的斜率為－1，則直線OQ的斜率為1，所以此時(shí)直線OQ的方程為y＝x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＋y－4＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))即得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,2)，則|OQ|＝2eq \r(2)，|QE|＝eq \r(?2\r(2)?2－2)＝eq \r(6)，以Q(2，2)為圓心，eq \r(6)為半徑的圓方程為(x－2)2＋(y－2)2＝6，即x2＋y2－4x－4y＋2＝0，與方程x2＋y2＝2兩式相減，并化簡(jiǎn)得x＋y－1＝0，即直線EF的方程為x＋y－1＝0.故選A.

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