角度2 截距型最值
(2024·江蘇常州一中調(diào)研)點(x，y)在曲線y＝eq \r(4－x2)－2上，則|3x－4y＋4|的取值范圍為( B )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(18,5))) B．[2,18]
C．[1,9] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(9,5)))
[解析] 解法一：如圖，曲線y＝eq \r(4－x2)－2為圓x2＋(y＋2)2＝4的上半圓，圓心A(0，－2)，半徑為2，B(2，－2)，
令3x－4y＝t，則當(dāng)直線l：3x－4y－t＝0過點B(2，－2)時，t＝14；
當(dāng)直線l與半圓相切時eq \f(|t－8|,\r(32＋42))＝2(t2，
即直線3x－4y＋4＝0與圓相離，點B到直線3x－4y＋4＝0的距離|BC|＝eq \f(|3×2－4×?－2?＋4|,\r(32＋?－4?2))＝eq \f(18,5)，|3x－4y＋4|最小值為5(|AD|－2)＝2，|3x－4y＋4|最大值為5|BC|＝18，則|3x－4y＋4|的取值范圍為[2,18]．
角度3 與距離有關(guān)的最值
(2024·江蘇南京金陵中學(xué)月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線x＝eq \r(2y－y2)上的點P到直線l：x－y－2＝0的距離的最大值為a，最小值為b，則a－b的值為( C )
A.eq \f(\r(2),2) B．eq \r(2)
C.eq \f(\r(2),2)＋1 D．2
[解析] 將x＝eq \r(2y－y2)化為x2＋(y－1)2＝1，x≥0，所以圓心(0,1)，半徑r＝1，因為圓心到直線x－y－2＝0的距離d＝eq \f(3\r(2),2)，所以圓上的點到直線的最小距離b＝eq \f(3\r(2),2)－1，最大值為(0,2)到直線的距離，即a＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，則a－b＝eq \f(\r(2),2)＋1.故選C.
[引申]本例中若P(x，y)，則x2＋y2＋2x的最大值為 2＋2eq \r(2) .
[解析] x2＋y2＋2x＝(x＋1)2＋y2－1表示半圓上的點到(－1,0)距離的平方減1，而半圓上點到(－1，0)距離的最大值為eq \r(2)＋1，∴x2＋y2＋2x的最大值為(eq \r(2)＋1)2－1＝2＋2eq \r(2).
名師點撥：與圓有關(guān)的最值問題的常見解法
要明確目標(biāo)代數(shù)式的幾何意義
(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題．
(4)圓上的點到定點(定直線)距離的最大值與最小值可轉(zhuǎn)化為圓心到定點(定直線)距離與半徑的和與差．
【變式訓(xùn)練】
(2024·江西穩(wěn)派上進(jìn)名校聯(lián)盟聯(lián)考)“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”．如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點P(x，y)是陰影部分(包括邊界)的動點，則eq \f(y,x－2)的最小值為( C )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(4,3) D．－1
[解析] 記A(2,0)，則k＝eq \f(y,x－2)為直線AP的斜率，故當(dāng)直線AP與半圓x2＋(y－1)2＝1(x>0)相切時，得k最小，此時設(shè)AP：y＝k(x－2)，故eq \f(|－1－2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝0(舍去)，即kmin＝－eq \f(4,3).故選C.

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