1.平面向量的基本定理
2.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
考點1 平面向量基本定理的應用
[名師點睛]
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算.一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系.
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.
[典例]
【例1-1】(1)在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝3eq \(EA,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,3)a＋eq \f(5,12)b B.eq \f(1,3)a－eq \f(13,12)b
C.－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b D.－eq \f(1,3)a＋eq \f(13,12)b
答案 C
解析 eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a－eq \f(5,12)b.
(2)在△ABC中，點P是AB上一點，且eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))，則t的值為________.
答案 eq \f(3,4)
解析 如圖所示.
∵A，M，Q三點共線，
∴eq \(CM,\s\up6(→))＝xeq \(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(CA,\s\up6(→))
＝eq \f(x,2)eq \(CB,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(CA,\s\up6(→))，
又∵eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CM,\s\up6(→))＝teq \(CP,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＝\f(1,3)t，,1－x＝\f(2,3)t，))解得t＝eq \f(3,4).
【例1-2】（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC交于點M．設，．
(1)試用向量，表示；
(2)在線段AC上取點E，在線段BD上取點F，使EF過點M，設，，其中，．證明：為定值，并求出該定值．
【解】(1)設，
由A，M，D三點共線，可知存在（，且），使得，
則，
因為，所以，
由平面向量基本定理得，即，①
同理，由B，M，C三點共線，可知存在（，且），使得，
則，
又，所以，
由平面向量基本定理得 即，②
由①②得，，
故；
(2)由于E，M，F三點共線，則存在實數（，且）使得，即，
于是，
又，，
所以，
由平面向量基本定理得，消去，
得，
故為定值，該定值為5.
[舉一反三]
1．（2022·湖北·高三開學考試）在平行四邊形中，是的中點，是的中點，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】因為，分別用表示出，代入即可得出答案.
【詳解】因為是的中點，是的中點，
所以，而，，
所以.
故選：D.
2．（2022·江蘇省木瀆高級中學模擬預測）如圖所示，的面積為，其中，AD為BC邊上的高，M為AD的中點，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：，
所以，
因為AD為BC邊上的高，
所以，
因為M為AD的中點，
所以
，
又因為，
所以，
所以.
故選：C.
3．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知平行四邊形的對角線相交于點，過點的直線與所在直線分別交于點，，滿足，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用向量表示，再利用點M，O，N共線列式計算作答.
【詳解】因平行四邊形的對角線相交于點，則，
而，于是得，又點M，O，N共線，
因此，，即，又，解得，
所以.
故選：B
4．（2022·全國·高三專題練習）在中，是上一點，，是線段上一點，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得，設，其中，利用平面向量的線性運算可得出，根據平面向量的基本定理可得出關于、的方程組，即可解得的值.
【詳解】因為，則，所以，，
，
因為是線段上一點，設，其中，
所以，，解得.
故選：D
考點2 平面向量的坐標運算
[名師點睛]
平面向量坐標運算的技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.
(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.
[典例]
【例2】（2022·全國·高三專題練習）在正方形ABCD中，M是BC的中點．若，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算求解作答.
【詳解】在正方形ABCD中，以點A為原點，直線AB，AD分別為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖，
令，則，，
，因，
于是得，解得，
所以的值為.
故選：B
[舉一反三]
1.在平行四邊形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點O，則eq \(CO,\s\up6(→))的坐標為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5))
答案 C
解析 因為在平行四邊形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點O，所以eq \(CO,\s\up6(→))＝－eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)).
2.向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設每個小正方形邊長為1)，
則A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1，1)，b＝eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，2)，c＝eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3).
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得λ＝－2，μ＝－eq \f(1,2)，
∴eq \f(λ,μ)＝eq \f(－2,－\f(1,2))＝4.
3.已知O為坐標原點，點C是線段AB上一點，且A(1，1)，C(2，3)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，則向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐標是________.
答案 (4，7)
解析 由點C是線段AB上一點，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|，得eq \(BC,\s\up6(→))＝－2eq \(AC,\s\up6(→)).
設點B為(x，y)，
則(2－x，3－y)＝－2(1，2)，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－x＝－2，,3－y＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝7.))
所以向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐標是(4，7).
4.如圖，平面內有三個向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq \(OA,\s\up6(→))與eq \(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為________.
答案 6
解析 以O為原點，OA為x軸建立直角坐標系，
則A(1，0)，C(2eq \r(3)cs 30°，2eq \r(3)sin 30°)，
B(cs 120°，sin 120°).
即A(1，0)，C(3，eq \r(3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
由eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)μ＝3，,\f(\r(3),2)μ＝\r(3).))
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(μ＝2，,λ＝4.))∴λ＋μ＝6.
考點3 平面向量共線的坐標表示
[名師點睛]
1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
2.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數.當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解.
[典例]
【例3-1】（2022·河北滄州·二模）已知向量，且，則實數__________.
【答案】
【分析】首先求出的坐標，然后根據向量共線的坐標表示可建立方程求解.
【詳解】由題意得，因為，所以，解得.
故答案為：
【例3-2】（2022·全國·高三專題練習）已知向量，，，且A，B，C三點共線，則k的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求向量和，再將三點共線轉化成向量共線求參數的取值.
【詳解】，.
因為A，B，C三點共線，所以共線，
所以，解得.
故選：A
【例3-3】（2022·全國·高三專題練習）已知點，則滿足的的坐標為______.
【答案】.
【分析】設的坐標為，結合向量的坐標運算公式，列出方程，即可求解.
【詳解】設的坐標為，且，
因為，可得，
可得，所以的坐標為.
故答案為：.
[舉一反三]
1．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預測）若，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意，向量，，
可得，，
因為，可得，解得.
故選：A.
2．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預測）已知向量，，若與反向共線，則的值為（ ）
A．0B．48C．D．
【答案】C
【詳解】由題意，得，
又與反向共線，故，此時，故.
故選：C.
3．（2022·全國·高三專題練習）若平面向量與向量平行，且，則（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【詳解】由題.又且平面向量與向量平行.
故,即或.
故選：C
4．（2022·全國·高三專題練習）已知、，點P是線段上的點，且，則P點的坐標為________．
【答案】
【詳解】設的坐標為，
因為、，所以，
又，所以，
故，，
即P點的坐標為,
故答案為：
5．（2022·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）設向量，，若，則__________．
【答案】
【詳解】因為，所以，解得，
故答案為：．
6．（2022·全國·高三專題練習）已知向量，若B，C，D三點共線，則________.
【答案】
【詳解】因為，
所以，
，
因為B，C，D三點共線，
所以，即，
所以.
故答案為：.
7．（2022·全國·高三專題練習）平面內給定兩個向量，.
(1)求；
(2)若，求實數的值.
【解】(1)由已知，因此，.
(2)由已知，，
因為，則，解得.
條件
e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論
對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底

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